广西百色市右矿中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

广西百色市右矿中学2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．（3分）下列函数不是反比例函数的是（　　） A． B．y＝2023x﹣1 C．xy＝2023 D． 2．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2 B．ax2+bx+c＝0 C．2x2﹣3＝0 D．2x2+y＝1 3．（3分）下列各点中，在反比例函数图象上的是（　　） A．（2，4） B．（﹣1，8） C．（2，﹣4） D．（﹣16，﹣2） 4．（3分）对于线段a和b，若a：b＝2：3，则下列式子一定正确的是（　　） A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C． D． 5．（3分）下列说法错误的是（　　） A．任意两个正方形一定相似 B．任意两个等边三角形一定相似 C．任意两个菱形一定相似 D．任意两个等腰直角三角形一定相似 6．（3分）如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝1，那么这个方程是（　　） A．x2＝1 B．x2+1＝0 C．（x﹣1）2＝0 D．（x+1）2＝0 7．（3分）方程2x2﹣6x﹣15＝0的一次项系数和常数项分别是（　　） A．2，15 B．﹣6，15 C．6，﹣15 D．﹣6，﹣15 8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列说法中正确的个数是（　　） ①AC•BC＝AB•CD ②AC2＝AD•DB ③BC2＝BD•BA ④CD2＝AD•DB． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（3分）若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（1，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b 10．（3分）如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D． ①△OB1C∽△OA1D； ②OA•OC＝OB•OD； ③OC•G＝OD•F1； ④F＝F1． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（3分）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，菜地就变成正方形，则原菜地的长是（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 12．（3分）如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加（　　） A．（44）m B．4m C．（44）m D．4m 二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分） 13．（2分）点A，B为反比例函数y图象上两点，其中点A坐标为（1，2），B点坐标为（﹣2，m），则m＝　 　． 14．（2分）已知△ABC∽△A′B′C′且，则S△ABC：S△A′B′C′为 　 　． 15．（2分）如图，△ABC∽△CBD，AB＝4，BD＝6，则BC＝　 　． 16．（2分）若方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为　 　． 17．（2分）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式2x1+2x2＝　 　． 18．（2分）学习雷锋好榜样．学校计划建一座高度为4米的雷锋雕像，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，那么该雕像的下部高度是 　 　米． 三．解答题（共8小题，满分72分） 19．（6分）计算：． 20．（6分）解下列方程： 2（x+3）＝（x+3）2． 21．（10分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB．连接DE． （1）求证：△ABD∽△ADE； （2）若CD＝3，CE，求AE的长． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）． （1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且相似比为2：1，点A，C的对应点分别为A1，C1； （2）直接写出点A1和点C1的坐标：A1（ 　 　，　 　），C1（ 　 　，　 　）． 23．（10分）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到﹣4℃时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到﹣20℃时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到﹣4℃时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当0≤x＜4时，温度y是时间x的一次函数；当4≤x＜t时，温度y是时间的反比例函数． （1）求t的值； （2）当前冷柜的温度﹣10℃，经过多长时间温度下降到﹣20℃？ 24．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B坐标为（0，2）． （1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y的解析式； （2）求△COD的面积． 25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）． （1）求a，b的值． （2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值． 26．（10分）如图，E为平面内一点，以正方形ABCD的顶点A为旋转中心，将线段AE顺时针旋转90°得到线段AF，连接BF． （1）如图（1），当点E在边CD上时，求证：DE＝BF； （2）如图（2），当点E在对角线BD上时，连接EF，若AB＝4，BE＝3DE，求EF的长； （3）如图（3），当点E在线段DF上时，连接CF，若BE＝3DE，直接写出的值． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A C C C D C D D B 题号 12 答案 C 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1． 解：A、y是反比例函数，不符合题意； B、y＝2023x﹣1是反比例函数，不符合题意； C、xy＝2023可化为y是反比例函数，不符合题意； D、y是一次函数，符合题意． 故选：D． 2． 解：A．x2为分式方程，所以A选项不符合题意； B．ax2+bx+c＝0当a≠0时方程为一元二次方程，所以B选项不符合题意； C．2x2﹣3＝0为一元二次方程，所以C选项符合题意； D．2x2+y＝1为二元二次方程，所以D选项不符合题意． 故选：C． 3． 解：∵， ∴xy＝8， A、∵2×4＝8， ∴点（2，4）在反比例函数图象上，故本选项符合题意； B、∵﹣1×8＝﹣8≠8， ∴点（﹣1，8）不在反比例函数图象上，故本选项不合题意； C、∵2×（﹣4）＝﹣8≠8， ∴点（2，﹣4）不在反比例函数图象上，故本选项不合题意； D、∵﹣16×（﹣2）＝32≠8， ∴点（﹣16，﹣2）不在反比例函数图象上，故本选项不合题意． 故选：A． 4． 解：∵a：b＝2：3， ∴3a＝2b，， ，无法得到b﹣a＝1． 故选：C． 5． 解：∵如果两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似， A、正方形的四个角都是直角，各边都相等， ∴任意两个正方形一定相似，不符合题意； B、等边三角形三个角都是60°，三边得相等， ∴任意两个等边三角形一定相似，不符合题意； C、菱形四条边相等，但是四个角不一定相等， ∴任意两个菱形不一定相似，符合题意； D、等腰直角三角形中，两个角为45°，一个角为90°，且边长满足勾股定理， ∴任意两个等腰直角三角形一定相似，不符合题意． 故选：C． 6． 解：A．x2＝1的根为x1＝1，x2＝﹣1； B．x2+1＝0无实数根； C．（x﹣1）2＝0的根为x1＝x2＝1； D．x+1）2＝0的根为x1＝x2＝﹣1； 故选：C． 7． 解：方程2x2﹣6x﹣15＝0的一次项系数和常数项分别是﹣6，﹣15． 故选：D． 8． 解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠BCA＝∠CDA＝90°， ∵∠A＝∠A，∠B＝∠B， ∴△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA， ∴，， ∴AC•AB＝BC•CD，故①正确； BC2＝BD•BA，故③正确； ∴△ACD∽△CBD， ∴，， ∴AC2＝AD•AB，CD2＝AD•DB， 故②错误， ④正确． 下列说法中正确的个数是3个． 故选：C． 9． 解：∵k＜0， ∴图象在二四象限， ∵﹣2＜﹣1＜0＜1， ∴c＜a＜b； 故选：D． 10． 解：∵B1C⊥OA，A1D⊥OA， ∴B1C∥A1D， ∴△OB1C∽△OA1D，故①正确； ∴， 由旋转的性质得，OB＝OB1，OA＝OA1， ∴OA•OC＝OB•OD，故②正确； 由杠杆平衡原理，OC•G＝OD•F1，故③正确； ∴是定值， ∴F1的大小不变， ∴F＝F1，故④正确． 综上所述，说法正确的是①②③④． 故选：D． 11． 解：∵长减少2m，菜地就变成正方形， ∴设原菜地的长为x米，则宽为（x﹣2）米， 根据题意得：x（x﹣2）＝120， 解得：x＝12或x＝﹣10（舍去）， 故选：B． 12． 解：建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线解析式为y＝ax2， 由题意可得，点（2，﹣2）在该抛物线上， ∴﹣2＝a×22， 解得a， ∴yx2， 当y＝﹣4时，﹣4x2，得x1＝2，x2＝﹣2， ∴如果水面下降4m，则水面宽度增加：[2（﹣2）]﹣4＝（44）m， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分） 13． 解：把点A坐标为（1，2）代入y中得，2， ∴k＝2， ∴反比例函数的解析式为y， 把B点坐标为（﹣2，m）代入y得，m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 14． 解：∵△ABC∽△A′B′C′，， ∴（）2＝1：4， 故答案为：1：4． 15． 解：∵△ABC∽△CBD， ∴， ∴CB2＝AB⋅BD＝24， ∵CB＞0， ∴， 故答案为：． 16． 解：∵方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根为x1、x2， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣5， 则原式＝x1x2﹣x1﹣x2+1 ＝x1x2﹣（x1+x2）+1 ＝﹣5﹣3+1 ＝﹣7， 故答案为：﹣7． 17． 解：由题意得，x1+x2＝4， ∴， ∴2x1+2x2 ＝4x1+2023﹣2x1+2x2 ＝2023+2x1+2x2 ＝2023+2（x1+x2） ＝2023+2×4 ＝2031， 故答案为：2031． 18． 解：设该雕像的下部高度是x米，则上部高度为（4﹣x）米， 由题意得：， 解得：x＝22或x＝﹣22， 经检验：x＝22或x＝﹣22都是原方程的根， ∵x＞0， ∴x＝22， ∴该雕像的下部高度是（22）米，， 故答案为：（22）． 三．解答题（共8小题，满分72分） 19． 解：原式＝41（）2 ＝43 ＝7． 20． 解：∵2（x+3）＝（x+3）2． ∴（x+3）（﹣x﹣1）＝0， 则x+3＝0或﹣x﹣1＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣1． 21． （1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠EAD． ∵AD2＝AE•AB， ∴， ∴△ABD∽△ADE； （2）解：∵△ABD∽△ADE， ∴∠ADB＝∠AED． ∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠DAE，即∠CDE＝∠CAD． 又∵∠DCE＝∠ACD， △DCE∽△ACD， ∴， ∴， ∴AC＝4， ∴AE＝AC﹣CE＝4． 22． 解：（1）如图，△A1BC1即为所求． （2）由图可得，A1（1，1），C1（﹣3，﹣1）． 故答案为：1；1；﹣3；﹣1． 23． 解：（1）设反比例函数的关系式为． 把（4，﹣20）代入，得：． ∴k＝﹣80． ∴． 当y＝﹣4时，， ∴t＝20． （2）设一次函数函数的关系式为y＝kx﹣4． 把（4，﹣20）代入，得：﹣20＝4k﹣4，解得：k＝﹣4， ∴y＝﹣4x﹣4， 当在温度下降过程中，﹣10＝﹣4x﹣4，x＝1.5， ∴4﹣1.5＝2.5（min） 此时，在经过2.5分钟温度可降至﹣20°C．当在温度上升过程中时，，x＝8， ∴20﹣8+4＝16（min）．此时，再经过16分钟温度可降至﹣20°C． 24． 解：（1）∵点C（2，4）在反比例函数y的图象上， ∴k2＝2×4＝8， ∴y2； ∵B（0，2），C（2，4），B、C在y＝k1x+b的图象上， ∴， 解得k1＝1，b＝2， ∴一次函数为y＝x+2； （2）由，解得或， ∴D（﹣4，﹣2）， ∴S△COD＝S△BOC+S△BOD2×22×4＝6． 25． 解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，， 解得：； （2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1， 把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6， ∴y2＝12﹣y1＝6， ∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2， ∴m＝4﹣5＝﹣1． 26． （1）证明：∵将线段AE顺时针旋转90°得到线段AF， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°，AD＝AB， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴△DAE≌△BAF（SAS）， 则DE＝BF． （2）解：同（1）可证△DAE≌△BAF（SAS）， ∴∠ADE＝∠ABF，DE＝BF， ∵点E在对角线BD上， ∴∠ADE＝∠ABF＝∠ABD＝45°， ∴∠EBF＝90°， ∵AB＝AD＝4， ∴， ∵BE＝3DE， ∴，， ∴， 在Rt△EBF中，由勾股定理得，EF2＝BF2+BE2＝2+18＝20， 则． （3）解：延长FD至M，使ED＝DM，连接MC，如图， 同（1）可证△DAE≌△BAF，则BF＝DE＝DM，∠ABF＝∠ADE， 设∠ADE＝α，则∠CDE＝90°﹣α， ∴∠CDM＝180°﹣∠EDC＝90°+α，∠FBC＝∠ABC+∠ABF＝90°+α， ∵四边形ABCD为正方形， ∴DC＝BC， 在△FBC和△MDC中， ， ∴△FBC≌△MDC（SAS）， ∴FC＝MC，∠FCB＝∠MCD， 则∠FCM＝∠DCF+∠DCM＝∠DCF+∠BCF＝90°， 故△FCM为等腰直角三角形， 在四边形BCDF中，∠FBC＝90°+α，∠CDE＝90°﹣α，则∠BFD＝90°， ∴△BFE为直角三角形， 设DE＝x， ∵BE＝3DE， ∴BE＝3x， ∴， 则， ∵， ∴， 则． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$