精品解析：天津市新华中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段性练习反馈数学试题

新华中学2024级高一年级第一学期第二次阶段性练习反馈 数学学科 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，用时90分钟.将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共12题，每题3分，共36分.在每题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 一、单选题（本大题共12小题，共36分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意知，解得且， 即的定义域为. 故选：D. 2. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数，对数函数的单调性分别求解不等式，再由充分条件以及必要条件的定义，即可判断. 【详解】因为在上单调递增， 由可得，即，所以， 但无法保证，故不一定成立，充分性不满足； 由可得，所以一定成立，故必要性满足； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再利用零点存在定理判断即可. 【详解】解：因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，，由， 所以在上存在唯一零点. 故选：D 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知中，由指数函数的单调性和对数函数的单调性，我们可以判断出与0，1的大小关系，进而得到答案． 【详解】， ，即 且，即 ， 即 故 故选：C 5. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可排除A，利用定义域可排除C，根据时的函数值的正负可排除D，进而即得. 【详解】由题可得函数的图象关于原点对称，定义域为， 对于A，，函数关于y轴对称，故A错误； 对于C，因为的定义域为，故C错误； 对于D，当，时，，不符合图象，故D错误； 对于B，，函数的图象关于原点对称，且时，，符合题意，所以B正确. 故选：B. 6. 设，，都是正数，且，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据指数与对数的关系将指数式化为对数式，再由换底公式及对数的运算法则计算可得. 【详解】解：由，，都是正数，令，则，，， 所以，，， 对于A：，故A错误； 对于B：，， 所以，故B正确； 对于C：， 所以，故C错误； 对于D：， 所以，故D错误； 故选：B． 7. 若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知a的取值范围. 【详解】因为，所以， ∴，即对恒成立， ∵， ∴恒成立， 当时，有最小值-4， ∴， 故选：A 8. 已知函数是奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】化简，根据为奇函数即可求出其值. 【分析】， 又时，，且为奇函数， ∴. 故选：B. 9. 若在区间内恒有，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合可确定,再结合对数型复合函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，因为，所以， 又函数在区间内恒有，所以， 由得函数的定义域为， 因为在单调递增，在单调递减，为减函数， 由复合函数的单调性可知单调递增区间为， 故选:C. 10. 我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是，一年后是，则一年后“进步”的是“落后”的约（ ）（参考数据：） A. 99倍 B. 101倍 C. 292倍 D. 832倍 【答案】D 【解析】 【分析】直接计算，根据所给数值求解. 【详解】 ， 故. 故选：D 11. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性、单调性、对数函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】由题可知函数的定义域为， ∵， ∴是偶函数， ∴由可得，即. 当时，， ∵和在上都是单调递增的， ∴在上单调递增，又因是偶函数， ∴在上单调递减. 又∵，由函数的定义域知有， ∴由可得，解得：； 由可得，解得：. 综上，不等式的解集为. 故选：D. 12. 已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得，，，，则.令，，即可求解. 【详解】函数的图象如下： 根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且， 则，，， ，， ∴则. 令，，而函数在单调递增. 所以，则. 故选：D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共10题，共64分. 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 13. 幂函数在上单调递增，则（且）的图象过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和单调性可求出m的值，可得出函数的解析式，令真数为1，可求得函数的图象所过定点的坐标. 【详解】因为幂函数在上单调递增，则解得， 所以，，令，可得，且， 故函数的图象过定点. 故答案为：. 14. 设，，若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】结合换底公式化简方程，解方程可求结果. 【详解】方程可化为， 所以， 所以， 所以或， 所以或. 故答案为：或. 15. 已知，，，则当的值为______时，取得最大值为______. 【答案】 ①. 4 ②. 4 【解析】 【分析】由题意得，当取得最大值时，和都是正数，所以，再利用基本不等式可得 【详解】由于，则要使取最大，则， ， 当且仅当时，等号成立，即当时，取得最大值. 故答案为：4；4 16. 若函数是偶函数，则实数a的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据偶函数定义，结合对数运算化简可得. 【详解】的定义域为， ， 因为函数是偶函数， 所以， 所以恒成立，故，即 故答案为： 17. 若在区间内单调递增，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性判断方法求函数的单调递增区间，由条件列不等式求结论. 【详解】由，可得， 故函数的定义域为， 设，， 因为函数为减函数， 函数的单调递减区间为， 所以函数的单调递增区间为， 由已知，且， 所以，且， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 18. 已知，若正数a，b满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先判断出的单调性和奇偶性，再由得出a与b满足的等式，再由基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】∵恒成立，∴函数的定义域为R. ，有成立， ， ， ∴，∴为定义在R上的奇函数. 由复合函数的单调性易知，当时，与均单调递减， ∴在区间上单调递减， 又∵为定义在R上的奇函数，且函数在处连续，， ∴在R上单调递减. ∴由得， ∴正数a，b满足，即， ∴由基本不等式，， 当且仅当，即，时等号成立， ∴的最小值为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，共40.0分） 19. （1）化简（式中字母均为正数）； （2）已知，求的值； （3）求的值； （4）求的值. 【答案】（1）1（2）47（3）（4）11 【解析】 【分析】（1）根据根式与分式指数幂的互化即可求解， （2）由得，即可再次平方求解； （3）根据指数幂运算即可求解； （4）根据对数运算法则即可求解. 【详解】（1）. （2）， 化简得；再次平方，得. （3）原式 . （4） ， 又， 所以，原式. 20. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数a的范围； （2）若函数的值域为，求实数a的范围； （3）若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若函数的定义域为，则对数函数的真数大于零恒成立，对a分类讨论解不等式即可求出a的范围； （2）若函数的值域为，则对数函数的真数要取遍所有正数，对a分类讨论解不等式即可求出a的范围； （3）若函数在区间上是增函数，根据同增异减法则可知，内函数单调递减，且真数大于零恒成立，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 ∵函数的定义域为，∴时，恒成立， ①当时，，∴与相矛盾，故不符合题意；- ②当时，则，∴ 综上所述：实数a的范围为. 【小问2详解】 ∵函数的值域为，∴要取遍所有正数， ①当时，，符合题意； ②当时，则，∴ 综上所述：：实数a的范围为：. 【小问3详解】 ∵单调递减，且函数在区间上是增函数， ∴在上单调递减，且恒成立. ①当时，，且，∴在上单调递减，且恒成立，符合题意； ②当时，则，∴. ③当时，则，∴，∴. 综上所述：实数a的范围为：. 21. 已知函数，函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的值域； （3）若不等式对任意实数恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过换元，借助二次函数的单调性及指数函数单调性求解即可； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【小问1详解】 ， 令，得，在递减，递增， 又为增函数， 所以由复合函数的单调性可知： 的单调递减区间是，单调递增区间是 【小问2详解】 由，可得： ， ∵，∴， 即的值域为. 【小问3详解】 不等式对任意实数恒成立 ∴. ， 令，∵，∴， 设，， 当时，取得最小值-3，即， ∴，即， ∴，即，解得， ∴实数x的取值范围为. 22. 已知函数，，其中且. （1）若，求函数在的最小值； （2）若当时，恒有，试确定a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）时，，求得，利用动轴定区间讨论求得函数最小值； （2）由得，令，其对称轴为，讨论在上单调性，可得在上单调递减，得答案. 【小问1详解】 时，， ， 令，∵，∴， 即求函数在的最小值. ∵对称轴， ①当，即时，函数在上单调递增， 当时函数取最小值，最小值为； ②当，即时，函数在上单调递减， 当时函数取最小值，最小值为； ③当，即时，当时函数取最小值， 最小值为； 综上，时，函数的最小值为 ； 【小问2详解】 由得，即， ∵∴，即， 由可得：， 即，即， 令，其对称轴为， ∵，∴，∴在上单调递增， ∴在上单调递减， ∴，， 又，则，解得， 所以a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛： （1）“动轴定区间法”，轴动区间定：比较对称轴与区间端点的位置关系，根据函数的单调性数形结合判断y的范围，需要分类讨论； （2）复合函数单调区间满足“同增异减”，外部函数与内部函数的单调性均要判断； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新华中学2024级高一年级第一学期第二次阶段性练习反馈 数学学科 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，用时90分钟.将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共12题，每题3分，共36分.在每题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 一、单选题（本大题共12小题，共36分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，都是正数，且，那么（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 8. 已知函数是奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 若在区间内恒有，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 10. 我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是，一年后是，则一年后“进步”的是“落后”的约（ ）（参考数据：） A. 99倍 B. 101倍 C. 292倍 D. 832倍 11. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共10题，共64分. 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 13. 幂函数在上单调递增，则（且）的图象过定点______. 14. 设，，若，则______． 15. 已知，，，则当的值为______时，取得最大值为______. 16. 若函数是偶函数，则实数a的值为______. 17. 若在区间内单调递增，则实数的取值范围为______． 18. 已知，若正数a，b满足，则的最小值为______. 三、解答题（本大题共4小题，共40.0分） 19. （1）化简（式中字母均为正数）； （2）已知，求的值； （3）求的值； （4）求的值. 20. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数a的范围； （2）若函数的值域为，求实数a的范围； （3）若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围. 21. 已知函数，函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的值域； （3）若不等式对任意实数恒成立，求实数x的取值范围. 22. 已知函数，，其中且. （1）若，求函数在的最小值； （2）若当时，恒有，试确定a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $