吉林省长春市南关区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年吉林省长春市南关区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若有意义，则a的值可以是(    ) A. B. 0 C. 4 D. 6 2.下列各式计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是(    ) A. B. C. D. 4.关于x的一元二次方程根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5.一架梯子的示意图如图所示，其中，且为了使梯子更加稳固，在A、之间加绑一条安全绳线段分别交、、于点F、G、量得米，则安全绳线段的长为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.如图，是经过位似变换得到的，点O是位似中心，若的面积为3，则的面积为(    ) A. 6 B. 9 C. 18 D. 27 7.在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 8.已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则n的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.计算：______. 10.已知m是一元二次方程的一个根，则的值为______. 11.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是______. 12.如图，燃烧的蜡烛竖直放置经小孔O在屏幕竖直放置上成像，若，，小孔O到AB的距离，则小孔O到的距离为______ 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D，则线段CD的长为______. 14.如图，在中，，于点D，E是AC的中点，过点E作交CD于点F，延长AF交BC于点给出下面四个结论：①；②；③当，时，；④当时，上述结论中，所有正确结论的序号是______. 三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题6分 计算： 16.本小题6分 解方程： 17.本小题6分 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同.小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字.用画树状图或列表的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率. 18.本小题7分 如图，一艘船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的北偏东方向，距离它76海里的A处；上午10时到达C处，看到灯塔在它的正北方向，求这艘船航行的速度？精确到1海里/时【参考数据：，，】 19.本小题7分 某超市今年“十一黄金周”期间开展促销活动，前六天的总营业额为200万元，第七天的营业额是前六天总营业额的 求该超市今年“十一黄金周”七天的总营业额； 该超市今年7月份的营业额为150万元，8、9月份营业额的月增长率相同，9月份的营业额等于“十一黄金周”七天的总营业额.求该超市今年8、9月份营业额的月增长率. 20.本小题7分 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上.以的一边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在的其它边上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法. 要求：在图①、图②、图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形的面积均不相等. 21.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，抛物线经过点C和点 点C的坐标为______，点 D的坐标为______； 求抛物线的函数表达式； 将正方形OABC沿x轴向右平移，使点B落在抛物线上，求平移的距离. 22.本小题9分 【感知】如图①，在中，，，D是AC的中点，连结DB，延长BC至点E，使，延长ED交AB于点易证：∽不需要证明 【探究】如图②，在中，，D是AC的中点，连结DB，延长BC至点E，使，延长ED交AB于点 求证：∽； 求的值； 【应用】如图③，在中，，D是AC的中点，点M在BC上且，连结DM，延长BC至点E，使，延长ED交AB于点则的值为______. 23.本小题10分 阅读华师版九年级上册数学教材第34页的部分内容，解答下列问题. 概括 二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程的两根为、，那么， 方程的两个实数根分别为、，则的值为______，的值为______； 方程的两个实数根分别为、，求的值； 若、是关于x的方程的两个实数根且，求m的值. 24.本小题12分 如图，在中，，，动点P从点B出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与的顶点重合时，过点P作于点D，以PD为边作矩形PDEF，使点F、点C始终在直线PD的同侧，且设点P的运动时间为t秒. 当点P在BC边上时，用含t的代数式表示线段PF的长； 当点F落在的平分线上时，求t的值； 连结FC，当为钝角时，求t的取值范围； 作点C关于直线PF的对称点，连结，当直线与的边平行时，直接写出t的值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：由题意得：， 解得：， 则a的值可以是6， 故选： 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出a的范围，判断即可． 本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：A、原式，错误； B、原式，正确； C、原式，错误； D、原式，错误， 故选B 原式各项利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可做出判断． 此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：， ， ， 故选： 方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解： ， 方程有两个不相等的两个实数根． 故选： 先计算根的判别式的值得到，从而可判断，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 5.【答案】C  【解析】解：， ， ， ， ， ， 米 故选： 根据平行线分线段成比例定理解答即可得到答案． 本题考查了平行线分线段成比例定理，两条直线截一组平行线，截得的对应线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：是由经过位似变换得到的， ∽， ：， ， ：：3， ：： 的面积为3， 的面积为 故选： 由与位似，可得到∽，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，由题意可知D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，可得DE是的中位线，由中位线的性质即可求得结果． 本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 7.【答案】B  【解析】解：将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为： 故选： 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握左加右减，上加下减是解题关键． 8.【答案】B  【解析】解：将转化为顶点式：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 关于对称轴对称的点坐标为， 当时，函数取得最小值， ， ， 故选： 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，从而得出结论． 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 9.【答案】3  【解析】解：原式 故填 根据二次根式的乘法法则计算． 主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则 10.【答案】  【解析】解：是一元二次方程的一个根， ， ， 故答案为： 根据一元二次方程的解的定义，可得，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算即可． 本题考查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值，正确记忆方程的解的概念是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：由题意，抛物线为， 抛物线的顶点坐标为 故答案为： 依据题意，由抛物线为，从而即可判断得解． 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能化成顶点式是关键． 12.【答案】15  【解析】解：设小孔O到的距离为x cm， 由题意可得：∽， 则， 解得： 答：小孔O到的距离为15cm， 故答案为： 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛竖直放置经小孔O在屏幕竖直放置上成像，设，，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到的距离为利用已知得出：∽，进而利用相似三角形的性质求出即可． 此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 13.【答案】4  【解析】解：由题意，抛物线过、， 对称轴是直线 抛物线为 又令， 又， 或 故答案为： 依据题意，由抛物线过、，从而对称轴是直线，故，进而可得抛物线为，再令，则，结合，求出或，故可判断得解． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活利用对称轴公式是关键． 14.【答案】①②④  【解析】解：①是AC的中点，， 是的中位线， ， 故结论①正确； ②，， ，， ， ，， ， 即， 又是AC的中点， 是AC的垂直平分线， ， ， ， 故结论②正确； ③设， 是的中位线， ， 又， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ∽， ， ， ， 解得：， ， 故结论③不正确； ④过点F作于H，如图所示： 设， 在中，， ， 由勾股定理得：， ，， ， 又， 是的中位线， ， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， ， 故结论④正确， 综上所述：所有正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④． ①根据E是AC的中点，得EF是的中位线，根据三角形中位线可对结论结论①进行判断； ②先证明，再证明EF是AC的垂直平分线得，则，由此可对结论②进行判断； ③设，则，，由勾股定理得：，证明和相似，利用相似三角形的性质可求出，由此可对结论③进行判断； ④过点F作于H，设，根据得，，证明FH是的中位线得，则，，在中，根据得，，则，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，灵活运用相似三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 15.【答案】解：原式   【解析】化简各个二次根式再合并同类二次根式即可． 本题考查二次根式的加减法，二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 16.【答案】解：因为，，，分 所以，分 代入公式，得，分 所以原方程的根为，每个根各1分分  【解析】观察原方程，可用公式法求解，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解． 用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；②求出的值； ③若，则把a、b、c及的值代入一元二次方程的求根公式，求出、；若，则方程没有实数根． 17.【答案】解：列表如下： 步 步 高 步 步，步 步，步 步，高 步 步，步 步，步 步，高 高 高，步 高，步 高，高 共有9种等可能的结果，其中小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有4种， 小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率为  【解析】列表可得出所有等可能的结果数以及小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 18.【答案】解：，，海里， ， 海里， 航行的速度是：海里/时  【解析】在直角中，根据三角函数的定义求得BC的长，即船行进的路程，除以时间即可求得航行的速度． 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟悉方向角和三角函数的定义是解题的关键． 19.【答案】解：万元， 答：该超市今年“十一黄金周”七天的总营业额为216万元； 设该超市今年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去 答：该超市今年8、9月份营业额的月增长率为  【解析】根据该超市今年“十一黄金周”这七天的总营业额=前六天的总营业额+第七天的营业额，列式计算即可； 设该超市今年8、9月份营业额的月增长率为x，根据9月份的营业额等于“十一黄金周”七天的总营业额，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20.【答案】解：如图①中，或即为所求； 如图②中，即为所求； 如图③中，即为所求．   【解析】如图①中，取AB的中点D，连接CD，或即为所求； 如图②中．取格点P，Q，连接PQ交AB于点E，连接CE，即为所求； 如图③中，取格点M，连接CM交AB一点F，连接CF，即为所求． 本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21.【答案】    【解析】解：由题意，三个小正方形的边长均为1， ， 故答案为：； 由，， 又、D在抛物线上， 抛物线为 由题意，当时， 解得：不符合题意应舍去或 ， 平移的距离为： 依据题意，由三个小正方形的边长均为1，从而可得，，进而可以判断得解； 依据题意，由，，结合C、D在抛物线上，从而，计算即可判断得解； 依据题意，当时，从而可得，进而求出不符合题意应舍去或，故，从而，则可以判断得解． 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化-平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 22.【答案】  【解析】【感知】证明：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∽； 【探究】证明：， ， ， ， ， ， ∽； ∽， ， 是AC的中点，， ， ，， ； 【应用】解：如图③，取BC的中点N，连接DN， 点D是AC的中点，点N是BC的中点， ，， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ≌， ， ， ， ， ∽， ， 设，， ，， ， 故答案为： 【感知】根据等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【探究】根据等腰三角形的性质得到，，求得得到根据相似三角形的判定定理即可得到结论； 根据相似三角形的性质得到，求得，于是得到； 【应用】由“AAS”可证≌，可得，通过证明∽，可得，即可求解． 本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 23.【答案】    【解析】解：由题意，方程为， ， 故答案为：； 由题意，方程为， ， 由题意，方程为， ， 又， 或 依据题意，直接根据，，进行计算出结果； 依据题意，利用完全平方公式对式子进行变形，再用代入法求出式子的值； 依据题意，先根据根与系数的关系得到两根之和、两根之积的式子，再利用完全平方公式将进行变形，最后将两根之和、两根之积的式子代入，进而建立关于m的方程计算即可求出结果． 本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的一般形式，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 24.【答案】解：在中，，， 则， 由题意得， ， ， ， ∽， ，即， ，， ， ， 四边形PDEF是矩形， ； 当点P在BC边上时，如图1，连接AF，BF，CF，过点F作于点G，作于点H， 平分，，， ， 四边形PDEF是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形CGFH是矩形， ， ， ， 即， 解得：； 当点P在AC边上时，如图2，过点F作于点G，作于点H，连接AF，BF，CF， 由题意得， ，， ∽， ，即， ，， ， ， 四边形PDEF是矩形， ，， ， 平分，，， ， 同理可得四边形CGFH是矩形， ， ， ， 即， 解得：， 当时，点P与点A重合，不符合题意； 综上所述，t的值为； 当点P在BC边上，时，如图3，连接CF， 则C、F、E在同一条直线上， ，， ∽， ，即， ，， ， ， ， ， ∽， ，即， 解得：， ； 当点P在AC边上，时，如图4， 同理可得：， ； 综上所述，当为钝角时，t的取值范围为或； 当点P在BC边上，时，如图5，延长交BC于点H，设直线PF交于点K，交AB于点G， 则，， ∽， ，即， ，， 由题意得：，， 由知：，，， ， ， ∽， ，即， ， ， ∽， ，即， ， 点C与点关于直线PF对称， ， ，， ∽， ，即， ， ， ， 解得：； 当点P在BC边上，时，如图6，过点E作于点H，过点作于点T， 则，，，， 同理可得∽， ，即， ， 四边形是矩形， ， 即， 解得：； 当点P在AC边上，时，如图7，过点E作于点L，过点作于点H， 则，，，，， ， ， ， ， ∽， ， ， ，， ∽， ， ， 点C与点关于直线PF对称， ， 同理可得：， ，，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当点P在AC边上，时，如图8， 则，，，，， ，， 同理可得：， 又， 同理可得， ，，， 四边形是矩形， ， 即， 解得：不符合题意，舍去； 综上所述，当直线与的边平行时，t的值为或或  【解析】运用勾股定理求得，再证得∽，根据全等三角形的性质即可求得答案； 分两种情况：当点P在BC边上时，当点P在AC边上时，分别求出t的值即可； 当点P在BC边上，时，可证得∽，∽，利用相似三角形性质求得t的值；当点P在AC边上，时，同理求得t的值，即可得出t的取值范围； 分四种情况：当点P在BC边上，时，当点P在BC边上，时，当点P在AC边上，时，当点P在AC边上，时，分别利用相似三角形性质求得t的值即可． 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题关键是运用分类讨论思想及方程思想解决问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$