3.2 正弦交变电流的描述-【金版教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第二册创新导学案教用Word（教科版2019）

物理 选择性必修 第二册(教科) 2．正弦交变电流的描述 1．掌握正弦交变电流的周期和频率的含义，以及角速度、周期和频率之间的关系。2．掌握交变电流峰值的含义及有效值的含义和计算方法，知道正弦交变电流有效值与峰值的关系。3．会区分正弦交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值在实际情境中的应用。4．会用公式和图像描述正弦交变电流。 一　周期和频率 1．周期：交变电流做一次周期性变化所需的时间，用符号T表示，单位是s。 2．频率：交变电流完成周期性变化的次数与所用时间的比，用符号f表示，单位是Hz。 3．周期、频率与角速度的关系式：T＝，ω＝＝2πf。 4．正弦交流电的表达式 (1)i＝Imsint＝Imsin2πft。 (2)u＝Umsint＝Umsin2πft。 5．正弦交流电的图像 根据上述正弦交流电的表达式，可以画出正弦交流电随时间变化的图像，如图所示。 6．我国使用的交流电的频率标准为50 Hz，相应周期为0．02 s。 二　峰值和有效值 1．峰值：正弦交流电表达式中的Um和Im分别称为电压和电流的峰值，分别表示了在一个周期内电压和电流所能达到的最大值。 2．有效值 (1)如果交流电与某一直流电通过同一电阻，在交流电的一个周期内产生的热量相等，则这个直流电的电流和电压值，就分别称为相应交流电电流和电压的有效值。 (2)交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的。交流电电压、电流的有效值分别用符号U、I来表示。 3．正弦交流电的峰值和有效值之间的关系是U＝，I＝。 判一判 (1)若交变电流是由线圈在匀强磁场中匀速转动形成的，则交变电流的周期也是线圈做圆周运动的周期。(　　) (2)正弦交流电在1 s内电流方向变化的次数就是它的频率。(　　) (3)教室中电路的电压220 V指的是有效值。(　　) (4)交变电流的有效值一定是峰值的0．707倍。(　　) (5)用公式和图像都可以全面描述正弦交流电的变化情况。(　　) 提示：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 探究　正弦交流电的描述 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 活动1：正弦交变电流应用非常广泛，它的电流、电压等随时间变化的规律是正弦函数的规律，与我们以前学习过的简谐运动和简谐波有类似之处。那么可以用哪些物理量表示正弦交变电流变化的快慢？ 提示：与任何周期性过程一样，正弦交变电流也可以用周期或频率表示其变化的快慢。 活动2：由前一节的学习我们知道，闭合线圈在匀强磁场中匀速转动，就产生正弦交流电。如果线圈转动的角速度为ω，ω与上述物理量有什么关系？正弦交流电的表达式还可以写成什么形式？ 提示：线圈转动一周所需的时间是正弦交流电的一个周期T，再根据f＝，可得ω＝＝2πf。因此正弦交流电的表达式还可以写成i＝Imsint＝Imsin2πft，u＝Umsint＝Umsin2πft。 活动3：根据上述正弦交流电的表达式，可以画出正弦交流电随时间变化的图像，如图甲所示。用振幅可以描述振动的强弱，那么如何描述交变电流的类似特征？ 提示：交变电流的峰值Im或Um可以描述交变电流的大小。 活动4：如图乙所示，两个相同的密闭的容器A和B，内部盛有质量相同的同种液体(例如煤油或水)，液体中各有一个阻值相等的电阻丝(例如都等于5 Ω)，盖紧上盖并各插入一支温度计。A容器中的电阻丝接到交流电源两端，通以交变电流；B容器中的电阻丝则与直流电源、滑动变阻器及开关连接成闭合电路。闭合开关，调节滑动变阻器，即调节通过B容器中电阻丝的电流，直到两支温度计能在相同的时间里升高相同的温度。这说明了什么？ 提示：这说明通过A中电阻丝的交流电与通过B中电阻丝的直流电，在相等的时间里产生的热量相等，或者说，通过A中电阻丝的交流电与通过B中电阻丝的直流电在热效应上相等。 活动5：用示波器观察A中电阻丝两端交流电电压波形并测出电压的峰值Um，用直流电压表测出B中电阻丝两端直流电压的数值U，则称电压U为该交流电压的有效值。根据实验观测，正弦交流电峰值与有效值之间有什么定量关系？有效值是否就是平均值呢？ 提示：正弦交变电流的有效值与峰值的关系为U＝0．707Um，I＝0．707Im。根据平均值的定义可知，交流电i的平均值，等于i­t图像与t轴所围面积除以所用时间t，则一个周期内交流电的平均值为0，则有效值不是平均值。 1．周期和频率 (1)理解：交变电流的周期T是指交变电流做一次周期性变化所需的时间；交变电流的频率f是指交变电流在单位时间内完成周期性变化的次数。周期和频率都是表征交变电流变化快慢的物理量，且f＝。 (2)线圈在匀强磁场中的转速与交变电流的周期和频率的关系 ①交变电流的周期就是线圈在磁场中转动一周所用的时间，频率就是线圈在磁场中1 s内转动的圈数。 ②交变电流的周期和频率跟线圈转动的角速度ω或转速n有关，其关系为T＝，ω＝2πf＝2πn。 2．峰值 (1)理解：正弦交变电流的峰值Im和Um分别表示了在一个周期内电流和电压所能达到的最大值，线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动时产生的感应电动势的峰值Em＝NBSω。 (2)意义：可以用来表示交流电的大小。 (3)应用 ①电容器所能承受的电压要高于交流电压的峰值，否则电容器就可能被击穿。 ②电气元件或设备上所标的耐压值指该元件或设备所能承受的电压的最大值。 3．有效值 (1)理解：交变电流的有效值的“有效”指的是电流热效应的等效。“有效值”是等效思想应用的又一个实例。 (2)正弦交变电流的有效值和峰值的关系 E＝≈0．707Em，U＝≈0．707Um，I＝≈0．707Im。 (3)有效值的几点说明 ①在计算交变电流通过导体的电功、产生的热量和电功率时，要用交变电流的有效值。 ②保险丝的熔断电流为有效值。 ③各种使用交变电流的电气设备上所标的额定电压、额定电流均指有效值。 ④交流电表的示数为有效值。(它只适用于测量正弦交流电) ⑤我国家庭使用的交流电电压220 V和工农业生产所使用动力电路电压380 V都是指有效值。 ⑥若无特别说明，通常所说的交变电流的电压、电流、电动势都是指有效值。 (4)有效值的计算 ①对于正弦交变电流，可根据交变电流的有效值和峰值关系求解。例如可先根据Em＝NBSω求出电动势的最大值，然后根据E＝求出电动势的有效值。 ②若不是正弦交变电流，则必须根据电流的热效应来求解其有效值。具体做法： a．假设让交变电流通过电阻R，表示出交变电流在一个周期内产生的热量Q(一般分段计算再求和)。 b．再根据有效值的定义利用相应的恒定电流物理量I或U来表示通过电阻R产生的热量。 c．利用热量相等列方程，求出I或U，则I或U为相应交变电流的有效值。 4．平均值 (1)理解：交变电流的平均值是指交变电流的图像与时间轴所围面积与时间的比值。 　①交变电流的平均值是针对某一过程的物理量，在不同的时间内平均值一般不相同。 ②平均电动势不等于始、末两时刻电动势瞬时值的平均值，必须用法拉第电磁感应定律计算，即＝N。 (2)应用：最常见的是计算通过导体横截面的电荷量。q＝Δt，＝，＝N(或＝BL)。 5．正弦交变电流的表达式 以电压u为例(电流i、电动势e有类似的关系式)： u＝Umsint＝Usint； u＝Umsin2πft＝Usin2πft。 　如图所示为一交变电流的图像，则该交变电流的有效值为多大？ (1)此交变电流的特点是什么？ 提示：每一个周期内，前半个周期是正弦交变电流的一部分，后半个周期是方波电流的一部分。 (2)如何求解该交变电流的有效值？ 提示：可以采取分段的方法，利用两段电流的有效值的特点，先求出一个周期内该交变电流通过电阻R产生的热量，再根据交变电流有效值的定义来求解。 [规范解答]　令该交变电流通过一电阻R，它在前半个周期内通过电阻产生的热量 Q1＝R·＝ 它在后半个周期内通过电阻R产生的热量 Q2＝IR·＝ 故在一个周期内产生的热量 Q交＝Q1＋Q2＝IRT 设某一恒定电流I通过同一电阻R，则在相同的时间T内产生的热量为I2RT 由有效值的定义知IRT＝I2RT 得I＝I0。 [答案]　I0 　不完整正弦交变电流的有效值 若某个交变电流的每个周期的图像包含正弦交变电流的半周期图像，或者包含正弦交变电流的周期图像，且该周期图像的两端点分别对应零值和峰值，则这个交变电流的该部分的有效值可直接应用正弦交变电流有效值与最大值间的关系I＝、U＝求解。 [变式训练1-1]　如图所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B。一电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面且过O点的轴以角速度ω匀速转动(O点位于磁场边界上)。则线框内产生的感应电流的有效值为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　线框半径切割磁感线产生的感应电动势E＝BL＝BL＝BL2ω，由闭合电路欧姆定律可得，线框中的感应电流I＝＝；设线框转动的周期为T，分析可知，线框在一个周期中只有T的时间内有感应电流，则根据电流热效应有I2R·＝IRT，解得感应电流的有效值I有＝，故C正确，A、B、D错误。 [变式训练1-2]　有些国家家用电器的额定电压和我国是不同的，例如美国家用电器额定电压值为110 V。已知某电源输出的交变电压的表达式为u＝110sin(120πt) V，下列说法正确的是(　　) A．用电压表测该电源的电压，其示数为110 V B．将该电源接在110 Ω的电阻两端，则该电阻消耗的电功率为110 W C．该交流电的频率为60 Hz，电流方向每秒改变60次 D．用电压表测该电源两端的电压，当t＝0．1 s时，电压表示数为0 V 答案　B 解析　由表达式可知，该正弦交变电压的最大值为110 V，所以有效值为110 V，电压表显示的是电压的有效值，为110 V，A错误；将该电源接在110 Ω的电阻两端，则该电阻消耗的电功率为：P＝＝110 W，B正确；由ω＝2πf＝120π rad/s，可得该交流电的频率f＝60 Hz，故电流方向每秒改变120次，C错误；当t＝0．1 s时，u＝0，但电压表示数为交变电压有效值110 V，D错误。 　越来越多的电子设备开始支持无线充电技术。无线充电器是指利用电磁感应原理进行充电的设备，原理类似于变压器。如图甲所示为某兴趣小组在模拟手机无线充电工作原理的示意图。已知受电线圈的匝数n＝50匝，电阻r＝1．0 Ω，在它的c、d两端接一阻值R＝9．0 Ω的电阻。设在受电线圈内存在与线圈平面垂直的磁场，可在受电线圈中产生如图乙所示的正弦交变电动势。求： (1)受电线圈中产生电流的最大值； (2)在一个周期内，电阻R上产生的热量； (3)从t1到1×10－2 s这四分之一周期的时间内，通过电阻R的电荷量大小。(结果保留两位有效数字) (1)求某段时间内电阻产生的热量用交变电流的什么值？ 提示：有效值。 (2)求某段时间内通过电阻的电荷量用交变电流的什么值？ 提示：平均值。 [规范解答]　(1)由题图乙知受电线圈中产生的感应电动势的最大值为Em＝20．0 V 则受电线圈中产生的感应电流的最大值为 Im＝＝2．0 A。 (2)通过电阻R的电流的有效值为 I＝＝ A在一个周期内，电阻R上产生的热量为 Q＝I2RT 解得Q＝0．36 J。 (3)受电线圈中感应电动势的平均值为＝n 通过电阻R的电流的平均值为＝ 通过电阻R的电荷量为q＝·Δt 联立可得q＝n 从t1到1×10－2 s这四分之一周期的时间内， ΔΦ＝Φm＝BS，Em＝nBSω，ω＝ 解得q＝6．4×10－3 C。 [答案]　(1)2．0 A　(2)0．36 J　(3)6．4×10－3 C 　解决交变电流“四值”问题的关键 交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值称为交变电流的“四值”。 (1)用法拉第电磁感应定律把电磁感应和交变电流的瞬时值、峰值、平均值联系起来； (2)用交变电流的有效值把用电器的参数(额定功率、额定电压等)联系起来。 [变式训练2]　如图所示，某圆形N匝金属线圈放置在匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B，线圈的面积为S，电阻不计，线圈可绕OO′轴自由转动，并通过电刷与外电路相连，定值电阻的阻值为R，电压表为理想交流电表，现使线圈从图示位置匀速转动，周期为T，下列说法正确的是(　　) A．电容器的耐压值至少为 B．通过线圈的电流随时间变化的规律为i＝sint C．在0～时间内，定值电阻上产生的热量为 D．在0～时间内，通过电阻的电流平均值为0 答案　C 解析　当线圈平面和磁场平行时，感应电动势最大，最大值为Em＝NBSω＝，电容器的耐压值应大于等于定值电阻两端交流电压的最大值，又线圈电阻不计，故电容器的耐压值至少为Em＝，故A错误；从图示位置开始，通过定值电阻的瞬时电流iR＝sint＝sint，交变电流能够通过电容器，所以通过线圈的电流为通过定值电阻的电流和通过电容器的电流之和，其值大于sint，故B错误；定值电阻两端电压的有效值为U＝E＝＝，在0～时间内，定值电阻上产生的热量为Q＝×＝，故C正确；在0～时间内，穿过线圈的磁通量变化量ΔΦ＝2BS，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可知，通过电阻的电流平均值＝＝＝，故D错误。 1．(有效值的计算)如图甲所示是某种型号的电热毯的电路图，电热毯接在交变电源上，通过装置P使加在电热丝上的电压的波形如图乙所示。此时接在电热丝两端的交流电压表的读数为(　　) A．110 V B．156 V C．220 V D．311 V 答案　B 解析　交流电压表测量的是交流电压的有效值。题图乙所示波形为正弦式交变电流在时间轴上方的部分。取一个周期T的时间，根据有效值的定义有：·＝·T，所以U＝156 V，故选B。 2．(交变电流的公式)如图，实验室一台手摇交流发电机，内阻r＝1．0 Ω，外接R＝9．0 Ω的电阻。闭合开关S，当发电机转子以某一转速匀速转动时，产生的电动势e＝10sin(10πt) V，则(　　) A．该交变电流的频率为10 Hz B．该电动势的有效值为10 V C．外接电阻R所消耗的电功率为9 W D．电路中理想交流电流表的示数为 A 答案　C 解析　正弦交流电电动势瞬时值表达式为e＝Emsinωt，由此可知Em＝10 V，ω＝10π rad/s，则该交变电流的频率f＝＝5 Hz，故A错误；该电动势的有效值为E＝＝ V＝10 V，故B错误；电路中理想交流电流表的示数I＝＝ A＝1 A，外接电阻R所消耗的电功率P＝I2R＝12×9 W＝9 W，故C正确，D错误。 3．(交变电流的图像)在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图甲所示，产生的交变电动势随时间变化的图像如图乙所示，已知发电机线圈内阻为5 Ω，外接一只电阻为95 Ω的灯泡，则(　　) A．电压表V的示数为220 V B．电路中的电流方向每秒改变5次 C．灯泡实际消耗的功率为459．8 W D．电动势随时间变化的瞬时值表达式为e＝220cos(5πt) V 答案　C 解析　由题图乙知，电动势最大值为Em＝220 V，周期为T＝0．2 s，所以电动势有效值为E＝＝220 V，角速度ω＝＝10π rad/s。电压表测的是路端电压，为U＝R＝×95 V＝209 V，A错误；交流电的频率为f＝＝5 Hz，每一周期电流方向改变两次，所以每秒电流方向改变10次，B错误；灯泡实际消耗的功率为P＝＝ W＝459．8 W，C正确；电动势随时间变化的瞬时值表达式为e＝Emcosωt＝220cos(10πt) V，D错误。 4．(有效值的计算)如图所示电路中，电阻R1与电阻R2阻值相同，都为R，和R1并联的D为理想二极管(正向电阻可看成零，反向电阻可看成无穷大)，在A、B间加一正弦交变电流u＝20sin(100πt) V，则加在R2上的电压的有效值为(　　) A．10 V B．20 V C．15 V D．5 V 答案　D 解析　由二极管的单向导电性可知，一个周期内，有半个周期二极管导通，此时加在R2上的电压的有效值为20 V，余下半个周期二极管截止，R1、R2串联，则加在R2上的电压的有效值为10 V。由有效值的定义可得·＋·＝·T，解得U＝5 V，D正确。 5．(综合)(多选)如图甲为风力发电的简易模型，在风力的作用下，风叶带动与其固定在一起的永磁体转动，转速与风速成正比。某一风速时，线圈中产生的正弦电流如图乙所示，则(　　) A．磁体的转速为10 r/s B．电流的表达式为i＝0．6sin(10πt) A C．风速加倍时电流的表达式为i＝1．2sin(10πt) A D．风速加倍时线圈中电流的有效值为 A 答案　BD 解析　由题图乙可知，该正弦交变电流的周期为T＝0．2 s，故磁体的转速为n＝＝5 r/s，A错误；由题图乙可知电流的最大值为0．6 A，周期T＝0．2 s，故ω＝＝10π rad/s，故电流的表达式为i＝0．6sin(10πt) A，B正确；风速加倍时，磁体转动的角速度加倍，根据Em＝NBSω可知产生的感应电动势最大值加倍，则感应电流最大值加倍，故风速加倍时电流的表达式为i＝1．2sin(20πt) A，C错误；根据C项的分析，风速加倍时线圈中感应电流的最大值Im＝1．2 A，故有效值为I＝＝ A，D正确。 6．(描述交变电流的物理量)一矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，产生的交流电压随时间变化的关系如图所示。下列说法正确的是(　　) A．该交流电压的频率为5 Hz B．该交流电压可使额定电压为U0的电容器击穿 C．用交流电压表测量时电压表示数为U0 D．该交流电压可使最低发光电压为0．5U0的发光二极管在1 min内闪光600次 答案　D 解析　由题图可知，该交流电压的周期为0．1 s，故频率为10 Hz，A错误；额定电压为U0的电容器，其击穿电压大于U0，而该交流电压的最大值是U0，故不能使该电容器击穿，B错误；交流电压表测量的是电压的有效值，则电压表示数为，C错误；该交流电压的峰值大于二极管的最低发光电压0．5U0，由于发光二极管的单向导电性，故每个周期(T＝0．1 s)内闪光一次，故t＝1 min内闪光N＝＝600次，D正确。 7．(交变电流的图像)在同一匀强磁场中，两个完全相同的矩形闭合金属线圈分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图像如图中曲线a、b所示。则(　　) A．曲线a表示的交变电动势有效值为15 V B．曲线a表示的交变电动势频率为50 Hz C．曲线a、b对应的线圈转速之比为2∶3 D．由图中数据可计算出曲线b交流电的峰值 答案　D 解析　曲线a表示的交变电动势最大值为15 V，有效值为 V，故A错误；曲线a表示的交变电动势的周期为0．04 s，频率为25 Hz，故B错误；由图可知曲线b表示的交变电动势的周期为0．06 s，因转速与周期成反比，所以曲线a、b对应的线圈转速之比为3∶2，故C错误；根据Ema＝nΦmωa、Emb＝nΦmωb，可计算出Emb＝Ema＝Ema＝10 V，故D正确。 8．(交变电流的“四值”)(多选)半径为r的圆形导体框与小灯泡组成如图甲所示的回路，框内存在匀强磁场，磁感应强度随时间按正弦规律变化，如图乙所示(规定垂直纸面向里为磁场的正方向)，圆形导体框电阻为R1，小灯泡电阻为R2，其他电阻不计，磁感应强度最大值为B0，变化周期为T，电压表为理想交流电压表，下列说法正确的是(　　) A．导体框上感应电动势的最大值为 B．电压表的示数为 C．在～内流过小灯泡电流的方向为N→L→M，通过小灯泡的电荷量q＝ D．一个周期内回路中产生的热量为 答案　AD 解析　由图乙可知磁感应强度为B＝B0sinωt，其中ω＝，则回路中产生正弦式交变电流，感应电动势的最大值为Em＝nBSω＝，故A正确；导体框相当于电源，电源电动势的有效值为E有效＝，电压表示数为小灯泡两端电压的有效值，U＝＝，故B错误；在～内磁场垂直纸面向外增大，根据楞次定律可知，感应电流产生的磁场垂直纸面向里，由安培定则知，感应电流沿顺时针方向，故流过小灯泡电流的方向为N→L→M，通过小灯泡的电荷量为q＝·Δt＝Δt＝＝，故C错误；一个周期内回路中产生的热量Q＝T＝，故D正确。 9．(综合)(多选)如图所示，将一根电阻为R的带绝缘外皮的硬金属导线弯成一个标准的正弦曲线形状，其所在平面与纸面平行，其两端a、b通过小金属环保持与长直金属杆有着良好但无摩擦的接触，导线与杆相交处二者绝缘，金属导线两端a、b间距离为2d，最高点到ab连线的距离为L，金属杆电阻忽略不计，空间中存在有理想边界的匀强磁场，宽度为d，方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B，磁场的边界与ab连线垂直，M和N位于磁场区域的边界上，在外力的作用下，导线以恒定的速度v向右匀速运动，从b位于M左侧的某一位置运动到a位于N右侧的某一位置，则在此过程中，以下说法正确的是(　　) A．导线中有电流通过的时间为 B．导线的电流为正弦式电流 C．金属导线所产生的焦耳热为 D．外力所做的功为 答案　AD 解析　导线上有电流通过即导线在磁场中切割磁感线的过程，导线运动的距离为3L，所以时间为Δt＝，故A正确。将金属导线b端运动到M点记为t＝0时刻，在0～时间内，由右手定则可知，金属导线中的电流从b到a，设为正方向，切割磁感线的有效长度y1＝Lsinωt，又T＝，则ω＝＝，则感应电动势的瞬时值为e1＝By1v＝BLvsinωt；同理，在～时间内，金属导线中的电流从a到b，切割磁感线的有效长度y2＝2Lsinω，感应电动势的瞬时值为e2＝－By2v＝2Blvsinωt；在～时间内，金属导线中的电流从b到a，切割磁感线的有效长度y3＝Lsinω(t－T)，感应电动势的瞬时值为e3＝By3v＝BLvsinωt；综上可知，感应电动势不是按正弦函数规律变化，则导线的电流也不是正弦式电流，B错误。外力所做的功W等于金属导线所产生的焦耳热Q总，在0～和～时间内，感应电动势有效值为E1＝，产生的焦耳热为Q1＝·，在～时间内，感应电动势有效值为E2＝，产生的焦耳热Q2＝·，则W＝Q总＝Q1＋Q2＝，故C错误，D正确。 14 学科网（北京）股份有限公司 $$