江苏省南京外国语学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学卷

1 初三年级数学学科阶段练习 2 姓名_________ 班级_________ 学号_________ 成绩__________ 一、选择题（每题 2 分，共 12 分） 1．下列函数中，属于二次函数的是（ ） A．y＝2x2﹣x B．y＝x3﹣3x2+1 C． x y 1  D．y＝3x﹣1 2．二次函数 y＝3（x﹣3）2+2 的图象先向左平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，得到一个新的二次函数 表达式是（ ） A．y＝3（x﹣7）2﹣1 B．y＝3（x﹣7）2+5 C．y＝3（x+1）2﹣1 D．y＝3（x+1）2+5 3．抛物线 y＝x2+6x+c 的顶点在 x 轴上，则 c 的值为（ ） A．9 B． 2 3 C． 2 3  D．﹣9 4．如图，AB 是已知线段，经过点 B 作 BD⊥AB，使 ABBD 2 1  ，连接 DA，在 DA 上截取 DE＝DB；在 AB 截取 AC＝AE，点 C 就是线段 AB 的黄金分割点．若 AB＝2，则 BC＝（ ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上中线，F 是线段 AD 上一点，且 AF：FD＝2：3，连接 CF 并延长交 AB 于 E，则 AE：EB 等于（ ） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．3：5 6．如图，抛物线 )0(2  acbxaxy 与 x 轴交点为 A（-1，0）和 C，对称轴为直线 x= 2 3 且 1＜a ，且 顶点为 D，以下结论正确的个数是（ ） ①a+b+c＜0 ②2a+b> 1 ③4ac-b2＜0 ④ 02  cbxax 的解集为-1＜x＜4 ⑤△ACD 可以为等腰直角三角形也可以为等边三角形 ⑥在 x 轴上方且在抛物线内部满足横纵坐标均为 整数的点最多 15 个（不包括边界）. A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 2 二、填空题（每题 2 分，共 20 分） 7．若 , 5 3  d c b a 则    db ca 2 2 ． 8．已知点 A（4，y1），B（ 2 ，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数 y＝（x﹣2） 2﹣1 的图象上，则 y1、y2、 y3 的大小关系是 ． 9．抛物线 y＝﹣x2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y＞0，则 x 的取值范围是 ． 第 9 题图 第 13 题图 10．二次函数 y＝﹣2x2+3 在﹣1≤x≤4 内 y 的取值范围是 ． 11．下列各组的两个图形： ①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是 45°的两个 等腰三角形．其中一定相似的是 （只填序号） 12．抛物线 y＝ax2﹣bx + c 绕坐标原点旋转 180°所得的抛物线的解析式是 ． 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AB 运动；同时，点 Q 从点 B 出发，以 2cm/s 的速度沿 BC 运动．当点 Q 到达 C 时，P、Q 两点同时停止运 动．则△PBQ 的最大面积是 ． 14．若函数 y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为 ． 15.已知二次函数 y＝﹣x2+mx+2﹣m，当﹣1≤x≤2 时，二次函数 y＝﹣x2+mx+2﹣m 的最大值为 6，则 m 的 值为 ． 16．已知二次函数  012  abxaxy 的顶点在第二象限，且过点（1，0），当 a-b 为整数时，则 ab=_____. 三．解答题（共 10 小题，共 88 分） 17.（8 分）请利用配方法求出下列函数的最值. (1) 642 2  xxy (2) )0(2 ＞acbxaxy  3 18．（8 分）函数 42)2(  mmxmy 是关于 x 的二次函数，求： （1）满足条件的 m 值； （2）m 为何值时，抛物线有最低点？写出这个最低点坐标．这时，当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大？ （3）m 为何值时，函数有最大值？这时，当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小． 19.（6 分）观察下面两组多边形： （1）在图（1）中，矩形 ABCD 和矩形 A1B1C1D1 相似吗？为什么？ （2）在图（2）中，多边形 ABCDEF 和多边形 A1B1C1D1E1F1 都是各边相等，各角相等的六边形，它们 是相似图形吗？为什么？ 20．（6 分）已知线段 a、b、c 满足 623 cba  且 a+2b+c＝26． （1）求 a、b、c 的值； （2）若线段 x 是线段 a、b 的比例中项，求 x． 21．（7 分）对于抛物线 y＝x2﹣4x+3． （1）将抛物线的解析式化为顶点式． （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线． x … … y … … （3）结合图象，当 x2﹣4x+3＜3 时，x 的取值范围 ． 4 22.（8 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴， 抛物线 y＝﹣ x2+bx+c 经过 B、C 两点，点 D 为抛物线的顶点，连接 AC、BD、CD． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点 D 的坐标和四边形 ABDC 的面积． 23．（7 分）已知 m，n 是关于 x 的方程 x2﹣2ax+a+6＝0 的两实根，求 y＝（m﹣1）2+（n﹣1）2 的最小值． 24．（8 分）已知函数 y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m 为常数）． （1）该函数的图象与 x 轴公共点的个数是 ． A.0 B.1 C.2 D.1 或 2 （2）求证：不论 m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 y＝（x+1）2 的图象上． （3）当﹣2≤m≤3 时，直接写出该函数的图象的顶点纵坐标 y 的取值范围． 25．（9 分）某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是 40 元．超市规定每 盒售价不得少于 45 元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒，每盒 售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒． （1）直接写出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于 58 元．如果超市想要每天获得不 低于 6000 元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 5 26．（10 分）请阅读以下材料，并完成相应的问题． 作业 15 中有这样一道题：如图 1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，则 CD BD AC AB  . （1）如图 2，若 AE 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线，则  AC AB _______,请完成证明. （2）填空：如图 3，已知 Rt△ABC 中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD 平分∠BAC，则△ABD 的 面积与周长的比值是 ． （3）如图 4，请用直尺和圆规在⊙O 上画一点 P 使得 PA：PB=3：1.(写出必要的文字说明) 图 4 图 2 6 27.（11 分）已知抛物线 cbxxy  2 与 x 轴的两个交点 A（-1,0）和 B（3,0）与 y 轴交点为点 C （1）直接写出抛物线解析式. （2）如图 1，若在线段 BC 下方的抛物线上有一点 P，若 P 到 BC 距离最大，求 P 的横坐标. （3）如图 2，若在线段 BC 下方的抛物线上有两点 P 和 Q 且 PQ//BC,连接射线 CP 和 BQ 相交于点 M，请 猜想点 M 运动轨迹（填一条线段、一段抛物线、一段圆弧）并尝试证明你的猜想. （4）如图 3，用直尺和圆规容易在 BC 上画出一点 N 使得 NC:NB=3:1（AT：TB = 3:1），若点 N’在抛物线 上，你能利用直尺和圆规画出点 N’使得 N’C: N’B=3:1 吗？请尝试.(写出必要的文字说明) 图 1 图 2 图 3 初三年级数学学科阶段练习 2 姓名_________ 班级_________ 学号_________ 成绩__________ 一、选择题（每题 2分，共 12分） 1．下列函数中，属于二次函数的是（ A ） A．y＝2x2﹣x B．y＝x3﹣3x2+1 C． x y 1 D．y＝3x﹣1 2．二次函数 y＝3（x﹣3）2+2的图象先向左平移 4个单位，再向下平移 3个单位，得到一个新的二次函数 表达式是（ C ） A．y＝3（x﹣7）2﹣1 B．y＝3（x﹣7）2+5 C．y＝3（x+1）2﹣1 D．y＝3（x+1）2+5 3．抛物线 y＝x2+6x+c的顶点在 x轴上，则 c的值为（ A ） A．9 B． 2 3 C． 2 3  D．﹣9 4．如图，AB是已知线段，经过点 B作 BD⊥AB，使 ABBD 2 1  ，连接 DA，在 DA上截取 DE＝DB；在 AB截取 AC＝AE，点 C就是线段 AB的黄金分割点．若 AB＝2，则 BC＝（ C ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，AD是 BC边上中线，F是线段 AD上一点，且 AF：FD＝2：3，连接 CF并延长交 AB于 E，则 AE：EB等于（ C ） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．3：5 6．如图，抛物线 )0(2  acbxaxy 与 x轴交点为 A（-1，0）和 C，对称轴为直线 x= 2 3 且 1＜a ，且 顶点为 D，以下结论正确的个数是（ B ） ①a+b+c＜0 ②2a+b> 1 ③4ac-b2＜0 ④ 02  cbxax 的解集为-1＜x＜4 ⑤△ACD可以为等腰直角三角形也可以为等边三角形 ⑥在 x轴上方且在抛物线内部满足横纵坐标均为 整数的点最多 15个（不包括边界）. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第 4题图 第 5题图 第 6题图 二、填空题（每题 2分，共 20分） 7．若 , 5 3  d c b a 则    db ca 2 2 5 3 ． 8．已知点 A（4，y1），B（ 2 ，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数 y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则 y1、y2、 y3的大小关系是 y3＞y1＞y2． ． 9．抛物线 y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若 y＞0，则 x的取值范围是 ﹣3＜x＜1 ． 第 9题图 第 13题图 10．二次函数 y＝﹣2x2+3在﹣1≤x≤4内 y的取值范围是 -29 ≤ y ≤ 3 ． 11．下列各组的两个图形： ①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是 45°的两 个等腰三角形．其中一定相似的是 ③④ （只填序号） 12．抛物线 y＝ax2﹣bx + c绕坐标原点旋转 180°所得的抛物线的解析式是 cbxaxy  2 ． 13．如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点 P从点 A出发，以 1cm/s的速度沿 AB 运动；同时，点 Q从点 B出发，以 2cm/s的速度沿 BC运动．当点 Q到达 C时，P、Q两点同时停止运 动．则△PBQ的最大面积是 4 9 ． 14．若函数 y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与 x轴有且只有一个交点，则 a的值为 1或-1或 2 ． 15.已知二次函数 y＝﹣x2+mx+2﹣m，当﹣1≤x≤2时，二次函数 y＝﹣x2+mx+2﹣m的最大值为 6，则 m的 值为 8或-2.5 ． 16．已知二次函数  012  abxaxy 的顶点在第二象限，且过点（1，0），当 a-b为整数时，则 ab=__ 4 1 __. 三．解答题（共 10小题，共 88分） 17.（8分）请利用配方法求出下列函数的最值. (1) 642 2  xxy (2) )0(2 ＞acbxaxy  解：   412 2  xy ....................3分 a bac a bxay 4 4 2 22         ..................3分 当 x=1，y max= -4................................4分 当 x= a b 2  时， a bacy 4 4 2 min   ............4分 18．（8分）函数 4 2 )2(  mmxmy 是关于 x的二次函数，求： （1）满足条件的 m值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当 x为何值时，y随 x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？这时，当 x为何值时，y随 x的增大而减小． 解：（1）根据题意得 m+2≠0且 m2+m﹣4＝2， 解得 m1＝2，m2＝﹣3， 所以满足条件的 m值为 2或﹣3；.....................................................................................................3分 （2）当 m+2＞0时，抛物线有最低点， 所以 m＝2，抛物线解析式为 y＝4x2， 所以抛物线的最低点为（0，0），当 x≥0时，y随 x的增大而增大；........................................6分 （3）当 m＝﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为 y＝﹣x2，这时，当 x≥0时，y随 x的增大而减小．........................................8分 19.（6分）观察下面两组多边形： （1）在图（1）中，矩形 ABCD和矩形 A1B1C1D1相似吗？为什么？ （2）在图（2）中，多边形 ABCDEF和多边形 A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形，它们 是相似图形吗？为什么？ 解：（1）∵矩形 ABCD和矩形 A1B1C1D1， ∴矩形的四个角都是直角，即相等，........................................................................................................1分 ∵ ，.......................................................................................................................2分 ∴矩形 ABCD和矩形 A1B1C1D1不相似；................................................................................................3分 （2）∵多边形 ABCDEF和多边形 A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形，.................5分 ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形．..................................................................................6分 20．（6分）已知线段 a、b、c满足 623 cba  且 a+2b+c＝26． （1）求 a、b、c的值； （2）若线段 x是线段 a、b的比例中项，求 x． 解：（1）设 ＝ ＝ ＝k， 则 a＝3k，b＝2k，c＝6k，所以，3k+2×2k+6k＝26， 解得 k＝2，.............................................................................................................................................2分 所以，a＝3×2＝6， b＝2×2＝4，c＝6×2＝12；.................................................................................................................4分 （2）∵线段 x是线段 a、b的比例中项， ∴x2＝ab＝6×4＝24，..........................................................................................................................5分 ∴线段 x＝2 ．.................................................................................................................................6分 21．（7分）对于抛物线 y＝x2﹣4x+3． （1）将抛物线的解析式化为顶点式． （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线． x … … y … … （3）结合图象，当 x2﹣4x+3＜3时，x的取值范围 ． 解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．....................................................2分 （2）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ﹣1 0 3 … 函数图象如图所示： .........................................................................................5分 表格 1分、描点 1分、连线 1分（解析式未写不扣分） （3） 0＜x ＜4 ..................................................................................................................7分 22.（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的边长为 4，顶点 A、C分别在 x轴、y轴的正半轴， 抛物线 y＝﹣ x2+bx+c经过 B、C两点，点 D为抛物线的顶点，连接 AC、BD、CD． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点 D的坐标和四边形 ABDC的面积． 解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4）， 把 B与 C坐标代入 y＝﹣ x2+bx+c得： ， 解得：b＝2，c＝4， 则解析式为 y＝﹣ x2+2x+4；.............................................................................................................4分 （2）∵y＝﹣ x2+2x+4＝﹣ （x﹣2）2+6， ∴抛物线顶点坐标为（2，6），...........................................................................................................6分 则 S 四边形 ABDC＝S△ABC+S△BCD＝ ×4×4+ ×4×2＝8+4＝12．....................................................8分 23．（7分）已知 m，n是关于 x的方程 x2﹣2ax+a+6＝0的两实根，求 y＝（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值． 解：依题意Δ＝4a2﹣4（a+6）≥0， 即 a2﹣a﹣6≥0，................................................................................................................................2分 ∴a≤﹣2或 a≥3.................................................................................................................................3分 由 m+n＝2a，mn＝a+6， y＝m2+n2﹣2（m+n）+2 ＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2 ＝4a2﹣6a﹣10， ＝4（a﹣ ）2﹣ ，.......................................................................................................................6分 ∴a＝3时，y的最小值为 8．...........................................................................................................7分 24．（8分）已知函数 y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）． （1）该函数的图象与 x轴公共点的个数是 ． A.0 B.1 C.2 D.1或 2 （2）求证：不论 m为何值，该函数的图象的顶点都在函数 y＝（x+1）2的图象上． （3）当﹣2≤m≤3时，直接写出该函数的图象的顶点纵坐标 y的取值范围． 解：（1）D；..........................................................................................................................................2分 （2）y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣（x﹣ ）2+ ，.........................................................4分 把 x＝ 代入 y＝（x+1）2得：y＝（ +1）2＝ ，..................................................5分 则不论 m为何值，该函数的图象的顶点都在函数 y＝（x+1）2的图象上；...............................6分 （3）0≤y≤4．..................................................................................................................................8分 25．（9分）某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是 40元．超市规定每 盒售价不得少于 45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒 45元时，每天可以卖出 700盒，每盒售 价每提高 1元，每天要少卖出 20盒． （1）直接写出每天的销售量 y（盒）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于 58元．如果超市想要每天获得不 低于 6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 解：（1）由题意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45≤x≤80 ）；.....................................2分 （2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，..................4分 ∵x≥45，a＝﹣20＜0，∴当 x＝60时，P 最大值＝8000元，，..............................................................6分 即当每盒售价定为 60元时，每天销售的利润 P（元）最大，最大利润是 8000元； （3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000， 解得 x1＝50，x2＝70．∵抛物线 P＝﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下， ∴当 50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于 6000元的利润． 又∵x≤58，∴50≤x≤58．.................................................................................................................8分 ∵在 y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0， ∴y随 x的增大而减小，∴当 x＝58时，y 最小值＝﹣20×58+1600＝440，..................................9分 即超市每天至少销售粽子 440盒． 26．（10分）请阅读以下材料，并完成相应的问题． 作业 15中有这样一道题：如图 1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则 CD BD AC AB  . （1）如图 2，若 AE是△ABC的外角平分线，则  AC AB _______,请完成证明. （2）填空：如图 3，已知 Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的 面积与周长的比值是 ． （3）如图 4，请用直尺和圆规在⊙O上画一点 P使得 PA：PB=3：1.(写出必要作图的文字说明) 解：(1) EC EB AC AB  ...............................................................................1分 证明：过点 C作 CF//AE交 AB于点 F...............................................2分 ∵ AECF // ∴ EC EB AF AB  .................................................................3分 ∵AE是∠CAD 的平分线 ∴∠1 = ∠2 ∴∠1 =∠ACF；∠2 = ∠AFC ∴∠ACF =∠AFC ，即 AF=AC...........................................................4分 ∴ EC EB AC AB  .........................................................................................5分 法 2：面积法参考给分 （2） 4 539 .......................................................................................8分 （3）......................................................................................................10分 图 4图 2 F 27.（11分）已知抛物线 cbxxy  2 与 x轴的两个交点 A（-1,0）和 B（3,0）与 y轴交点为点 C （1）直接写出抛物线解析式. （2）如图 1，若在线段 BC下方的抛物线上有一点 P，若 P到 BC距离最大，求 P的横坐标. （3）如图 2，若在线段 BC下方的抛物线上有两点 P和 Q且 PQ//BC,连接射线 CP和 BQ相交于点 M，请 猜想点 M运动轨迹（填一条线段、一段抛物线、一段圆弧）并尝试证明你的猜想. （4）如图 3，用直尺和圆规容易在 BC上画出一点 N使得 NC:NB=3:1（AT：TB = 3:1），若点 N’在抛物线 上，你能利用直尺和圆规画出点 N’使得 N’C: N’B=3:1吗？请尝试.(写出必要作图的文字说明) 解：（1） 322  xxy .................................................................2 分 （2）∵B(3,0),C(0,-3)且 BC//经过点 P的直线 l ∴ lBC kk  =1 设直线 l 的函数关系式： bxy  ................................................3 分 联立：      322 xxy bxy 则： 0332  bxx ..................................................................4 分 ∵要使得点 P到 BC距离最大，则 l与抛物线相切 ∴方程有两个相等的实数根 则Δ=0，解得： 4 21, 2 3  bx ∴P的横坐标为 2 3 .........................................................................5 分 （3）___一条线段____...............................................................6 分 法 1：点参法 )32()32,( 22  nnnPmmmQ ，设： 则：       32: 131:   xnyL mxmyL CP BQ 联立上述两条直线：           32 131 xny mxmy 解得： ① mn mxM    3 3 ∵ 1 PQBC kk ,∴   13232 22    nm nnmm 则：m+n=3②； 联立①和②得： 2 3 Mx ∴点 M 运动轨迹是直线 2 3 x 上的一条线段. 图 1 图 2 图 3 l ..........................................................................................................................................9 分 法 2：线参法 设： txyL xkyL kxkyL PQ CP BQ    : 3: 3: 2 11 分别将直线 BQ和 CP与抛物线 322  xxy 联立利用韦达定理得：      2 1 2 1 kx kx P Q 再将直线 PQ和抛物线 322  xxy 联立利用韦达定理得： 3 QP xx 得： 221  kk ① 再将 3: 3: 2 11   xkyL kxkyL CP BQ 联立得： 21 1 33 kk kxM    ② 联立①和②联立： 2 3 Mx ∴点 M 运动轨迹是直线 2 3 x 上的一条线段. ..........................................................................................................................................9 分 (4)...................................................................................................................................................................11 分