第三章圆锥曲线的方程单元卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆锥曲线章节专题检测卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的长轴端点为，，短轴端点为，，焦距为，若为等边三角形，则椭圆的方程为（    ）． A． B． C． D． 3．已知椭圆的焦距为，且成等差数列，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．24 B．25 C．7 D．8 5．已知为椭圆上的一个点，点M，N分别为圆和圆上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．10 D．13 6．设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与抛物线：交于，两点，为抛物线上一动点，与线段交于点，且，则面积的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，当为以点为直角顶点的等腰直角三角形时，其面积为（   ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列双曲线中，渐近线方程是的为（    ） A． B． C． D． 10．已知曲线：，则（    ） A．当时，是双曲线，其渐近线方程为 B．当时，是椭圆，其离心率为 C．当时，是圆，其圆心为，半径为 D．当，时，是两条直线 11．在平面直角坐标系中，点是抛物线的焦点，两点、在抛物线上，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B． C．以为直径的圆的方程是 D．、、三点共线 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面、已知塔的总高度为137.5m，塔顶直径为90m，塔的最小直径(喉部直径)为60m，喉部标高112.5m，则双曲线的标准方程为 . 13．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，交准线于，且，则直线的倾斜角的正弦值为 14．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：． (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求． 16．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 17．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称. (i)求m的取值范围； (ii)求证：直线过定点. 18．已知双曲线，设其左､右顶点分别为A，B，中心为O. (1)求双曲线的焦距和虚轴长； (2)斜率为的直线交双曲线于C，D两点，且，求弦长； (3)设双曲线右支上两点M，N满足直线AM与BN在y轴上的截距之比为1∶3，判断直线MN是否过定点，并说明理由. 19．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. (1)判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； (2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (3)已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D B B A A AD AC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标. 【详解】由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为， 则，解得，所以焦点坐标为. 故选:D. 2．B 【分析】根据为等边三角形可得，结合焦距和计算即可得出结果. 【详解】∵为等边三角形， ∴，又，， 解得，，， 则椭圆的方程为， 即， 故选：B. 3．A 【分析】先由条件得，然后两边平方，利用消去，解关于的方程可得离心率. 【详解】成等差数列， ， ， 整理得，即， 或（舍去）， . 故选：A. 4．D 【分析】由双曲线方程确定，再根据，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 所以，则. 故选：D 5．B 【解析】先求椭圆焦点和定义定值，圆心、半径，利用圆的性质判定与焦点连线时最小，再计算即得结果. 【详解】依题意可知，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，根据定义，两圆半径为， 故椭圆上动点与焦点连线时与圆相交于M，N时， 最小，最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查了圆的性质和椭圆的定义，属于中档题.解题关键在于两圆圆心是椭圆的焦点，结合椭圆定义和圆的性质即解决最小距离问题. 6．B 【分析】联立直线和抛物线求出两根积，结合抛物线定义得出焦半径，最后求值即得. 【详解】 . 故选：B. 7．A 【分析】联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求得弦长，进而求出，由，得，根据表达式求出最值即可． 【详解】由得， 设，则， ， 到直线的距离， ∴， ∵，∴， ∴当时，取最小值4． 故选：A． 8．A 【分析】根据给定条件，借助抛物线的定义探求点M的位置，即可计算作答. 【详解】抛物线的焦点，准线， 令点在准线上的射影为，即有，而是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 即，则，点与重合，此时，，，则轴，， 所以的面积为. 故选：A 9．AD 【分析】焦点在轴上的双曲线，渐近线为，焦点在轴上的双曲线，渐近线为，代入即可求得. 【详解】A选项，，，故A选项正确； B选项，，，故B选项错误； C选项，，故C选项错误； D选项，，故D选项正确. 故选：AD 10．AC 【分析】根据圆锥曲线的方程及其性质，对选项逐个验证即可． 【详解】对于选项A，或， 当时，原方程可化为，所以是焦点在轴上的双曲线， 其渐近线方程为， 当时，原方程可化为，所以是焦点在轴上的双曲线， 其渐近线方程为，故A正确； 对于选项B，当时，，原方程可化为， 所以是焦点在轴上的椭圆，所以， 所以，故B错误； 对于选项C，当时，原方程可化为，所以是圆， 其圆心为，半径为，故C正确； 对于选项D，若，时，原方程可化为， 当时，，此时是两条直线， 当时，上面方程无解，此时不表示任何图形，故D错误． 故选：AC． 11．ABD 【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，结合，求出的值，可判断A选项；将点的坐标代入抛物线的方程，结合求出的值，可判断B选项；求出以为直径的圆的方程，可判断C选项；根据、的关系可判断D选项. 【详解】对于A，因为在抛物线上，所以，又，解得， 所以，抛物线的方程为，故A正确； 对于B，因为在抛物线上，所以， 又，解得，故B正确； 对于C，，，则以为直径的圆的圆心为， 半径， 所以，以为直径的圆的方程是， 即，故C错误； 对于D，因为、、， 所以，，所以， 所以，，三点共线，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】根据喉部直径可得实半轴的长，根据喉部标高、塔的总高度、塔顶直径可得双曲线过点，两者结合可求双曲线的标准方程. 【详解】设双曲线的标准方程为，如图所示： 为喉部直径，故，故双曲线方程为. 而的横坐标为塔顶直径的一半即， 其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即，故， 故，所以，故双曲线方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查双曲线在实际问题中的应用，一般地，求双曲线的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等，此类问题属于基础题. 13． 【分析】过点作准线，则，又，所以，即，然后利用数形结合即可求解． 【详解】如图所示：过点作准线， 则，又， 所以，即， 所以，设直线与准线的夹角为，直线的倾斜角为， 则，且，，， 所以， 故答案为：． 14．4 【分析】 由已知可得，利用基本不等式可求的最小值． 【详解】 设圆心为，则为抛物线的焦点．设，则， 要使最小，则需最大，，且， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值是4． 故答案为：4．      15．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程和椭圆面积公式，即可求解； （2）直线与椭圆方程来努力，利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）椭圆的方程为，所以，， 则，， 所以椭圆的面积； （2）联立，得， ，，， . 16．(1) (2)或 【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程； （2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围. 【详解】（1）由条件可知，，且，解得：，， 所以双曲线方程为； （2）设直线的方程为， 联立，， 时，，得； 当时，时，，得，满足条件， 综上可知，或. 17．(1) (2)(i)；(ii)证明见解析 【分析】(1)根据双曲线渐近线方程和虚轴长，列方程组解出，，可得双曲线方程； (2) (i)联立直线和双曲线方程，根据题意，，计算可得m的取值范围； (ii)假设定点的坐标为，所以，，因为，再利用向量坐标的乘法运算即可得到定点. 【详解】（1）由已知得解得，，所以双曲线的方程为； （2）(i)设，，则，联立， 消去得， 则，，， 可得. 所以的取值范围为：； (ii)由(i)得，， 由对称性可知BD过的定点在轴上，设定点的坐标为， 由，， 所以 ， 可得， 所以直线BD过定点. 18．(1)焦距为4，虚轴长为; (2); (3)过定点，理由见解析. 【分析】（1）根据双曲线的标准方程求解即可； （2）设直线，联立双曲线方程，由根与系数关系及求，再由弦长公式求解即可； （3）设，故由截距之比可设，联立双曲线方程，分别求出坐标，由对称性若过定点则定点为，利用斜率求解即可. 【详解】（1） ， 故， 所以焦距为，虚轴长为. （2）设直线， 则，消元得， 成立， 由韦达定理可得，由于，故， 即，化简可得， 所以，解得， 由弦长公式可得. （3）设，故由截距之比可设， 由，消元得， 所以，故， 由，消元得， 所以，故 故，， 若直线MN过定点，根据对称性在x轴设定点为， 则，化简可得， 故，解得， 即直线MN过定点. 19．(1)这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据“相似椭圆”的定义判断即可； （2）根据充要条件的定义及“相似椭圆”的定义证明即可； （3）由题意可求得的面积为，再根据的面积与的面积的比为，求解即可. 【详解】（1）解: 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， 椭圆中， ， 则 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为 （2）证明：必要性： 若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等. 如图，若， 则， ， 所以， 又因为 ， 所以； 充分性： 若离心率相等，则，所以， 则，， 则； 同理，，， 则， 所以； 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）解：设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，椭圆与相似， 所以椭圆的离心率也为， 若的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解“相似椭圆”的定义. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$