利用基本不等式求最值专练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 利用基本不等式求最值 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题（共9小题） 1. 函数f(x)＝＋x(x<3)的最大值是(　　) A. －4 B. 1 C. 5 D. －1 2. 已知a>0，b>0，a＋2b＝4，则ab的最大值是(　　) A. B. 2 C. 2 D. 4 3. 已知x>0，y>0且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为(　　) A. B. 2 C. D. 2 4. 若正数a，b满足a＋4b＝ab，则a＋b的最小值是(　　) A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知a>0，b>0，则 ＋ ＋2 的最小值是(　　) A. 2 B. 2 C. 4 D. 5 7. 已知a>0，b>0，ab＝1，且m＝b＋ ，n＝a＋ ，则m＋n的最小值是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则 的最小值为（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 已知x，y为正实数，且xy＝4，则x＋4y的最小值是(　　) A. 4　　　　　　　 B. 8 C. 16 D. 32 二、多选题（共2小题） 10. 若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A. x＋y≤1 B. x＋y≥－2 C. x2＋y2≤2 D. x2＋y2≥1 11. 设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A. ＋的最小值为4 B. 的最大值为 C. ＋的最大值为 D. a2＋b2的最小值为 三、填空题（共6小题） 12.已知，，则的最小值是________． 13. 设，则的最小值为______. 14. 已知正实数a，b满足a＋b＝4，则 ＋ 的最小值为________． 15. 当x＜时，代数式x＋的最大值为________，此时x的值为________． 16. 若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． 17. 若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________． 四、解答题（共2小题） 18.已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 19. 设a>0，b>0，a＋b＝5，求＋的最大值. 参考答案 1. 【答案】D 【解析】因为x<3，所以3－x>0，所以f(x)＝－＋3≤－2＋3＝－1.当且仅当＝3－x，即x＝1时等号成立，所以f(x)的最大值是－1. 2. 【答案】B 【解析】∵a>0，b>0，a＋2b＝4， ∴ab＝a·2b≤2＝×2＝2， 当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时，等号成立． ∴ab的最大值为2. 3. 【答案】D 【解析】∵x>0，y>0，x＋2y≥2 ， ∴4xy－(x＋2y)≤4xy－2 ， ∴4≤4xy－2 ， 则( －2)( ＋1)≥0， ∴ ≥2，∴xy≥2. 4. 【答案】B 【解析】因为正数a，b满足a＋4b＝ab， 所以＋＝1. 则a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝且＋＝1， 即b＝3，a＝6时取等号， 故a＋b的最小值是9. 5. 【答案】C 【解析】由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值9. 故选：C. 6. 【答案】C 【解析】∵a>0，b>0，∴ ＋ ＋2 ≥2 ＋2 ≥4 ＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 7. 【答案】B 【解析】∵ab＝1，∴m＋n＝b＋ ＋a＋ ＝a＋b＋ ＝2(a＋b)≥4 ＝4. 当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 8. 【答案】D 【解析】∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴ab≤ ，等号在a＝b＝ 时成立. ∴ ， 故选：D. 9. 【答案】B 【解析】∵x＞0，y＞0，∴x＋4y≥2＝8，当且仅当x＝4y且xy＝4，即x＝4，y＝1时取等号，∴x＋4y的最小值为8.故选B. 10. 【答案】BC 【解析】因为ab≤2≤ (a，b∈R)， 由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤32， 解得－2≤x＋y≤2， 当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2， 当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤， 解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确； 因为x2＋y2－xy＝1可变形为2＋y2＝1， 设x－＝cos θ， y＝sin θ， 所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ， 因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋ ＝＋sin∈， 所以当x＝，y＝－时满足等式， 但是x2＋y2≥1不成立，所以D错误． 11. 【答案】ABCD 【解析】对于A，＋＝(a＋b)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确； 对于B，0＜≤(a＋b)＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B正确； 对于C，∵(＋)2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，∴＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确； 对于D，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确． 故选A、B、C、D. 12. 【答案】9 【解析】由得，又， 所以， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值是9. 故答案为：9. 13. 【答案】 【解析】 ， 当且仅当，即时成立， 故所求最小值为． 故答案为：. 14. 【答案】 【解析】∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴ ＋ ＝ [(a＋1)＋(b＋3)] ＝ ≥ (2＋2 )＝ ，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴ ＋ 的最小值为 . 15. 【答案】－　－ 【解析】x＋＝(2x－3)＋＋＝－＋. 当x＜时，3－2x＞0，∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号． 于是x＋≤－4＋＝－，即代数式x＋的最大值为－. 16. 【答案】 【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1， ∴(x＋y)2＝xy＋1≤ 2＋1. ∴ (x＋y)2≤1.∴x＋y≤ ， 当且仅当x＝y＝ 时等号成立． 17. 【答案】2 【解析】∵a>0，b>0， ∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2， 当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立， ∴＋＋b的最小值为2. 18. 【答案】解：(1)因为，， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. (2)因为，，， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为8. 19. 【答案】解　设＝m，＝n， ∴m>0，n>0，且m2＋n2＝a＋b＋4＝9. 由(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)，即(m＋n)2≤18， ∴m＋n≤3，当且仅当m＝n＝时，等号成立，即＋的最大值为3. 答案第2页 总2页 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$