13.3.2 等边三角形 知识梳理与同步练习 2024—2025学年人教版八年级数学上册

13.3.2等边三角形知识梳理与同步练习人教版2024—2025学年八年级上册 学号： 姓名： 一、知识梳理 1. 定义：三条边都相等的三角形是等边三角形. 2. 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 3. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 4. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 5. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 二、同步练习 （一）选择题 1．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　） A．25° B．60° C．85° D．95° 第1题图 第3题图 第4题图 2．已知，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长是（　　） A．9 B．8 C．6 D．12 3．如图，等边△ABC的边长为2，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0.5 4．如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC边的延长线上一点，CE＝CD，DM⊥BC于点M．下列结论错误的是（　　） A．BM＝3CM B．BM＝EM C．CMCE D．DM＝2CM 5．下列条件不能得到等边三角形的是（　　） A．有两个内角是60°的三角形 B．三个外角都相等的三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．有一个角是60°的等腰三角形 6．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上，当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，则轮船航程AD的距离是（　　） A．20海里 B．40海里 C．60海里 D．80海里 第6题图 第7题图 第8题图 7．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图， （1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A．S四边形ABDC＝AD•BC B．△BCD是等边三角形 C．AD垂直平分BC D．∠ABC＝∠ADB 8．如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论： （1）∠PBC＝15°；（2）AD∥BC；（3）直线PC与AB垂直；（4）四边形ABCD是轴对称图形． 其中正确结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 第9题图 第10题图 第11题图 10．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 12．如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，1），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2023A2024A2025，则点A2025的纵坐标为（　　） A．（）2022 B．（）2023 C．（）2024 D．（）2025 第12题图 第13题图 （二）填空题 13．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝　 　°． 14．如图所示，在等边△ABC上，点D为BC边的中点，E为AB边上靠近A点的三等分点，则△EBD与△ABC的面积之比为　 　． 15．如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为　 　． 第14题图 第15题图 第16题图 16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝24，BD平分∠ABC，点E是AB的动点，点F是BD上的动点，则AF+EF的最小值为　 　． （三）解答题 17．如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上． 求证：（1）CE＝AC+DC；（2）∠ECD＝60°． 18．已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°． （1）如图1，若∠1＝50°，求∠2； （2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC． 19．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 三、课后巩固练习 （一）选择题 1．如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α＝（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，将边长为5cm的等边三角形ABC沿边BC向右平移3cm，得到△DEF，则四边形ADFB的周长为（　　）cm． A．20 B．21 C．22 D．23 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABD＝60°，∠ADB＝78°，∠BDC＝24°，则∠DBC＝（　　） A．18° B．20° C．25° D．15° 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（　　） A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 第4题图 第5题图 5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（　　） A．10m B．5m C．2.5m D．9.5m 6．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝120°，则∠3的度数为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 7．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　） A． B． C． D．不能确定 第6题图 第7题图 第8题图 8．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 9．如图，在等边△ABC中，BD＝2DC，DE⊥BE，CE，AD相交于点P，则（　　） A．AP＞AE＞EP B．AE＞AP＞EP C．AP＞EP＞AE D．EP＞AE＞AP 第9题图 第10题图 第11题图 10．在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（　　） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小 11．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定 12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G．下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，△AEF是等边三角形，其中正确的结论的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 第12题图 第13题图 第14题图 （二）填空题 13．如图，点D为等边△ABC内部一点，且∠ABD＝∠BCD，则∠BDC的度数为　 　． 14．如图，△ABC为等边三角形，以边AC为腰作等腰△ACD，使AC＝CD，连接BD，若∠ABD＝32°，则∠CAD＝　 　°． 15．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝　 　度． 第15题图 第16题图 16．如图，两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC＝4，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于　 　． （三）解答题 17．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CEBC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F. 求证： （1）EF⊥AB； （2）DE＝2DF． 18．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M． （1）求∠DMB的度数； （2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH． 19． 小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小 崔，小明作了一个等边△ABC，如图，并在边AC上任意取了一点F（点F不与点A、点C重合），过点F作FH⊥AB交AB于点H，延长CB到G，使得BG＝AF，连接FG交AB于点I． （1）若AC＝10，求HI的长度； （2）延长BC到D，再延长BA到E，使得AE＝BD，连接ED，EC，求证：∠ECD＝∠EDC． 20．如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC． （1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由； （2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由； （3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由． 21.如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形． 22．如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 　 　厘米，BP的长为 　 　厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$