基本不等式中的恒成立问题专项训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 基本不等式中的恒成立问题 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题（共10小题） 1. 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 2. 若正实数x，y满足x＋y＝2，且 ≥M恒成立，则M的最大值为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知a>0，b>0， ＋ ＝ ，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 4. 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A. {m|m＜6} B. {m|m≤6} C. {m|m≤8} D. {m|m＜8} 5. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 对任意的正实数x，y，不等式x＋4y≥m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A. {m|0＜m≤4}　　　　　　 B. {m|0＜m≤2} C. {m|m≤4} D. {m|m≤2} 7. 当x>1时，不等式x＋ ≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A. {a|a≤2} B. {a|a≥2} C. {a|a≥3} D. {a|a≤3} 8. （2023·重庆市永川区永川中学联考）已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 25 9. （2023·云南省曲靖市第一中学月考）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 10. 若对任意x>0， ≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、多选题（共2小题） 11. 已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为(　　) A. ≥ab　　　　　　　 B. ＋≥2 C. ab≤2 D. 2≤ 12. 若x＞0，y＞0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　) A. ＞ B. ＋≥1 C. ≤2 D. ≥1 三、填空题（共4小题） 13. （2023·江西省上饶市广丰中学月考）若正实数满足，且恒成立，则的最大值为______． 14. 已知对任意x>a，不等式2x＋ ≥7恒成立，则实数a的最小值为________． 15. 已知不等式2x＋m＋ >0对任意x>1恒成立，则实数m的取值范围为________． 16. 设a>0，若对于任意满足m＋n＝8的正数m，n，都有 ≤ ＋ ，则a的取值范围是________． 四、解答题（共1小题） 17. 已知函数f(x)＝x2－mx＋2m－4(m∈R). (1)当m＝1时，求不等式f(x)≥0的解集； (2)当x>2时，不等式f(x)≥－1恒成立，求m的取值范围. 参考答案 1. 【答案】B 【解析】因为a>0，b>0，所以2a＋b>0， 所以要使＋≥恒成立， 只需m≤(2a＋b)恒成立， 又(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9， 当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9. 故实数m的最大值为9. 2. 【答案】A 【解析】因为正实数x，y满足x＋y＝2， 所以xy≤ ＝ ＝1，所以 ≥1； 又 ≥M恒成立，所以M≤1， 即M的最大值为1. 3. 【答案】C 【解析】由已知，可得6 ＝1， ∴2a＋b＝6 ×(2a＋b)＝6 ≥6×(5＋2 )＝54， 当且仅当 ＝ 时，即a＝b＝18时，等号成立， ∴9m≤54，即m≤6. 4. 【答案】D 【解析】x＋2y＝(x＋2y)·＝4＋＋≥4＋2＝8， 所以x＋2y＞m恒成立，只需(x＋2y)min＞m.所以m＜8.故选D. 5. 【答案】C 【解析】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，因为恒成立，所以， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 6. 【答案】C 【解析】由题设可得m≤＝＋4，又＋4≥2＝4， 当且仅当x＝4y时，等号成立，所以m≤4.故选C. 7. 【答案】D 【解析】∵当x>1时，不等式x＋ ≥a恒成立， 即a≤x＋ 对一切实数x>1均成立， 由于x＋ ＝x－1＋ ＋1≥2 ＋1＝3， 当且仅当x－1＝ ，即x＝2时取等号， 故x＋ 的最小值等于3， ∴a≤3. 8. 【答案】D 【解析】因为，所以， ， 当且仅当， 即时，等号成立， 因不等式恒成立，只需， 因此，故实数的最大值为25． 故选：D. 9. 【答案】D 【解析】因为， 当且仅当且时取等号， 所以，整理得，解得， 故正实数的最小值为9. 故选：D. 10. 【答案】D 【解析】由题意，对任意x>0， 则有 ＝ ＝ ≤ ＝ ，当且仅当x＝ ，即x＝1时，等号成立， 即 的最大值为 . 又对任意x>0， ≤a恒成立，所以a≥ ， 即实数a的取值范围为 . 11. 【答案】ACD 【解析】由a，b∈R，得≥ab，A正确； 由a，b∈R，得与不一定是正数，故B不一定成立； ab－2＝－≤0，故C正确； 2－＝－≤0，故D正确，故选A、C、D. 12. 【答案】BC 【解析】若x＞0，y＞0，由x＋y＝4，得＝，故A错误； ＋＝(x＋y)＝≥×(2＋2)＝1，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故B正确； ∵x＞0，y＞0，x＋y＝4，且x＋y≥2，∴≤2，故C正确； ∵≤2，∴xy≤4，∴≥，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故D错误． 13. 【答案】1 【解析】正实数满足， ，， 又恒成立，，即的最大值为1． 故答案为：1. 14. 【答案】 【解析】因为x>a， 所以2x＋ ＝2(x－a)＋ ＋2a≥2 ＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7， 所以a≥ .即a的最小值为 . 15. 【答案】{m|m>－10} 【解析】因为2x＋m＋ >0对任意x>1恒成立， 所以m>－2x－ ＝－2 ＝－2 －2 ≤－2 －2＝－10，当且仅当x－1＝ ，即x＝3时取等号；所以m>－10. 16. 【答案】{a|a≥1} 【解析】由m＋n＝8可得m＋n＋1＝9， 故 ＋ ＝ (m＋n＋1) ＝ ≥ × ＝ ＝1， 当且仅当n＋1＝2m，即m＝3，n＝5时等号成立， 故只需 ≤1，即a≥1. 17. 【答案】解　(1)∵m＝1，∴f(x)＝x2－x－2. ∴x2－x－2≥0，即(x－2)(x＋1)≥0，解得x≤－1或x≥2. 故f(x)≥0的解集为{x|x≤－1或x≥2}. (2)f(x)≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x>2恒成立， 令g(x)＝x2－mx＋2m－3， ①若≤2，即m≤4，则如图. 只需g(2)≥0，即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立， ∴m≤4满足题意； ②若>2，即m>4，则如图. 只需Δ＝m2－4(2m－3)≤0，则(m－2)(m－6)≤0，∴2≤m≤6. 综上所述，m的取值范围为{m|m≤6}. 答案第2页 总2页 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$