2025年贵州省九年级中考数学一轮复习课件：专题5二次函数综合题

专题五　二次函数综合题 二次函数性质综合题(8年2考：2022·24，2019·24) 类型一 例1 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴相交于点C. (1)求此抛物线的表达式； 典例精析 典例精析 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C， ∴y＝a(x－1)(x－3)＝ax2－4ax＋3a. ∴3a＝3，即a＝1. ∴抛物线表达式为y＝x2－4x＋3. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(1，0)和点B(3，0)，代入即可求解. (2)若P是直线BC下方的抛物线上一动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m. ①用含有m的代数式表示线段PD的长； 解：如答图，设直线BC表达式为y＝kx＋b，①由y＝ x2－4x＋3可知，对称轴为直线x＝2，点C(0，3)， 将点B(3，0)，C(0，3)代入直线BC表达式y＝kx＋b， 则解得 ∴直线BC表达式为：yBC＝－x＋3. 设P(m，m2－4m＋3)， ∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D， ∴D(m，－m＋3). ∴PD＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m. ②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标. 解：S△PBC＝S△CPD＋S△BPD＝OB·PD＝－m2＋m＝－＋， ∴当m＝时，S有最大值. 此时，m2－4m＋3＝－.∴P. ∴△PBC的面积最大时点P的坐标为. ①求出点C坐标及BC表达式，根据过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，即可用含m的代数式表示出点P和D的坐标，进而求解； ②用含m的代数式表示出△PBC的面积，可得S是关于m的二次函数，即可求解. 1.(2024毕节三模)如图1，是一间学校体育场的遮阳棚截面图，某校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳棚截面模型，它的截面图是抛物线的一部分(如图2所示)，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与横梁AB相互垂直，且CO＝5，AB＝10. 针对训练 (1)建立如图2平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； 解：∵CO＝5，AB＝10，∴C(0，5)，A(－5，0)，B(5，0).设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋5，把B(5，0)代入得25a＋5＝0，解得a＝－.∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋5. (2)若为了使遮阳棚更加牢固，在遮阳棚内部设计了一个矩形框架(如图2所示)，且DE∶EF＝4∶3，求EF的长； 解：∵四边形DEFG是矩形，∴∠FEO＝90°.∵DE∶EF＝4∶3，∴设DE＝4a，EF＝3a.∴F(2a，3a).把F(2a，3a)代入y＝－x2＋5得3a＝－×(2a)2＋5，解得a＝(负值舍去).∴EF＝. (3)根据(1)中求解得到的函数表达式，若当p≤x≤p＋1时，函数的最大值与最小值的差为1，求p的值. 解：∵a＝－＜0，对称轴为直线x＝0，∴当x＜0时，y随着x的增大而增大；当x＞0时，y随着x的增大而减小. ①p＜0，∴当p≤x≤p＋1时，y随着x的增大而增大.∴函数的最大值为y＝－(p＋1)2＋5，函数最小值为y＝－p2＋5.∵函数的最大值与最小值的差为1，即－(p＋1)2＋5＋p2－5＝1，∴p＝－3； ②p＞0，∴当p≤x≤p＋1时，y随着x的增大而减小.∴函数的最小值为y＝－(p＋1)2＋5，函数最大值为y＝－p2＋5.∵函数的最大值与最小值的差为1，∴－p2＋5＋(p＋1)2－5＝1.∴p＝2. 综上所述，p的值为－3或2. 角度1　特殊三角形存在性问题 1.求二次函数与等腰三角形(含等边三角形)存在性问题中的动点坐标 二次函数几何综合题(8年2考：2018·25，2017·25) 类型二 核心技法 题目类型 典型问题 基本模型(找点) 基本方法 两定 一动 已知点A，点B坐标，在x轴上取点C，使得△ABC是等腰三角形 两圆一线 1.两圆：分别以点A，B为圆心，以线段AB为半径作圆，与x轴交点即为满足条件的点C，有AB＝AC，BA＝BC 2.一线：作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA＝CB 代数法 几何法 设点C坐标(m，0)，利用两点间的距离公式表示三边，借助三边两两相等，分情况： ①AB＝BC， ②AB＝AC， ③BC＝AC，列方程计算即可 注意：需排除三点共线的情况 构造直角三角形，利用勾股定理求解     注意：需排除三点共线的情况 一定 两动 先分析完整的动态过程，再抓住固定的角，在每一个象限内分情况讨论，一种情况是定角作为底角，一种情况是定角作为顶角 2.求二次函数与直角三角形存在性问题中的动点坐标 题目类型 典型问题 基本模型(找点) 基本方法 两定 一动 已知点A，点B的坐标，在x轴上找一点C，使得△ABC是直角三角形 一圆两线 1.两线：分别过点A，B作AB的垂线，垂线与x轴的交点即为所求的点C 2.一圆：以线段AB为直径作圆，圆与x轴的交点即为所求的点C 代数法 几何法 设点C的坐标为(m，0)，利用两点间的距离公式表示三边，借助勾股定理，分情况： ①AB2＝AC2＋BC2， ②AC2＝AB2＋BC2， ③BC2＝AB2＋AC2，列方程，计算即可 过锐角顶点向直角顶点所在的直线作垂线，构造相似或全等的直角三角形 两动一定 利用垂直构造直角三角形，找到固定的角，然后根据直角顶点或斜边分类讨论 例2 (2024眉山)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，点D在抛物线上. (1)求该抛物线的表达式； 解：把A(－3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c得解得∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3. 把A(－3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c求解即可. (2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标； 解：过点D作DK∥y轴交AC于点K，如答图， 由A(－3，0)，C(0，3)得直线AC的表达式为y＝x＋3.设D(t，－t2－2t＋3)，则K(t，t＋3)，∴DK＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t.∵△ACD的面积为3， ∴DK·｜xA－xC｜＝3， 即(－t2－3t)×3＝3.解得t＝－1或t＝－2. ∴D的坐标为(－1，4)或(－2，3). 第一步：过点D作DK∥y轴交AC于点K，求得直线AC的表达式为y＝x＋3； 第二步：设D(t，－t2－2t＋3)，则K(t，t＋3)，故DK＝－t2－3t； 第三步：由△ACD的面积为3，得DK·｜xA－xC｜＝3，即(－t2－3t)×3＝3，解出t的值即可得D的坐标. (3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.点P的坐标为(0，3)或(，)或(，)或(，－). 第一步：求出A(－3，0)，B(1，0)，直线BC表达式为y＝－3x＋3； 第二步：设P(m，－3m＋3)，D(n，－n2－2n＋3)，过点P作PN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥y轴于点M； 第三步：分情况分别画出图形，根据等腰直角三角形性质和全等三角形判定与性质解答即可. 2.(2024达州)如图1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点. (1)求抛物线的表达式； 针对训练 解：由题意，得y＝a(x＋3)(x－1)＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋bx－3，解得a＝1，b＝2，∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3. (2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标； 解：由抛物线的表达式知，点C(0，－3)，D(－1，－4)， 抛物线的对称轴为直线x＝－1，过点D作直线DG∥AC交y 轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线LP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，如图，由点A，C坐标，得直线AC的表达式为y＝－x－3.∵DG∥AC，∴直线DG的表达式为y＝－(x＋1)－4.∴点G(0，－5)，则CG＝5－3＝2，则CL＝4.∴点L的坐标为(0，1).∴直线LP的表达式为y＝－x＋1.联立上式和抛物线的表达式，得x2＋2x－3＝－x＋1，解得x＝1或x＝－4. 即点P(1，0)或(－4，5). (3)若N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在，点N的坐标为(－1，±)或(－1，－1)或(－1，－3＋). 角度2　相似三角形的存在性问题 核心技法 题目类型 典型问题 基本方法 “两个定三 角形”判定 相似   设A(xA，yA) B(xByB)， C(xC，yC) 已知一角相等，证相似 等角分显性和隐性，方法如下： ①运用两点间的距离公式求出已知角的两条边，若是“相似”，对应边成比例有两种情况，分类求解； ②利用定角定比结论，即确定的角，其三角函数值确定，巧用三角函数求解 没有角相等，证相似 运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看是否成比例.若成比例则相似，否则不相似 题目类型 典型问题 基本方法 “一定一 动”两三角 形相似 如图，在抛物线上是否存在点P，使△AOC与△ACP相似   设A(xA，yA)，B(xB，yB)， C(xC，yC)，P(m，n) 已知有一个角相等的情形 ①把动点坐标表示出来(用字母表示)； ②让形成相等的夹角的那两边对应成比例； ③列出方程；④解方程，去掉不合题意的点 未知是否有一角相等的情形 ①找特殊角：在定三角形中，先用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用锐角三角函数的方法得出特殊角的度数；②求(动)点坐标：在动点坐标用字母表示后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助特殊角为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标；③再验证：验证已知角的两边是否成比例 例3 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4交x轴于点A(－1，0)和B(4，0)，交y轴于点C. (1)求二次函数的表达式； 典例精析 典例精析 解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋4交x轴于点A(－1，0)和B(4，0)， ∴把A，B代入y＝ax2＋bx＋4，得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋3x＋4. 把A(－1，0)和B(4，0)代入抛物线表达式得出二元一次方程组求出a，b的值，即可得出二次函数的表达式. (2)如图，在第一象限有一点M，到O点距离为2，线段BN与BM的夹角为45°，且BN＝BM，连接CN，求CN的长度； 解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋4交y轴于点C，∴对于y＝ －x2＋3x＋4，当x＝0时，y＝4，∴C(0，4).∵B(4，0)，∴OB＝OC＝4.∴∠OCB＝∠OBC＝45°.∴BC＝＝4.∴＝＝.又∵BN＝BM，∴＝.∴＝.∵∠OBM＋∠MBC＝45°，∠MBC＋∠CBN＝45°，∴∠OBM＝∠CBN.在△CBN和△OBM中，∵∠OBM＝∠CBN，＝，∴△CBN∽△OBM.∴＝.∴＝.∴CN＝2. 证明△CBN∽△OBM，根据相似三角形的性质求解即可. (3)对称轴交抛物线于点D，交BC交于点E，在对称轴的右侧有一动直线l垂直于x轴，交线段BC于点F，交抛物线于点P，动直线在沿x轴正方向移动到点B的过程中，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 解：存在，如答图： ∵y＝－x2＋3x＋4＝－＋，∴点D. 设直线BC的表达式为y＝kx＋b，把B(4，0)， C(0，4)代入得解得∴BC所在直线的表达式为y＝－x＋4，将x＝代入y＝－x＋4得y＝－＋4＝，∴点E. 由题意得PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP.∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE.∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE.∴＝.∵D，E，∴DE＝－＝.设点P为(t，－t2＋3t＋4)，则F为(t，－t＋4)，∴PF＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t.∴CE＝＝，CF＝＝t.∴＝.解得t＝.当t＝时，－t2＋3t＋4＝.∴点P坐标为. 由平行线的性质得出∠CED＝∠CFP，当∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，则＝，得出方程，解方程即可. 3.(2024内江)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E. 针对训练 (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； 解：令y＝0，则－2x＋6＝0，x＝3.令x＝0，则y＝6，∴A(3，0)，B(0，6).把A(3，0)，B(0，6)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得∴抛物线所对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋6. (2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； 解：存在点D，使得△BDE和△ACE相似，设点D(t，－t2＋t＋6)，则E(t，－2t＋6)，C(t，0).∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t. ∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE. ①如答图1，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°， ∴BD∥AC.∴点D纵坐标为6.∴－t2＋t＋6＝6.解得t＝0(舍去)或t＝1.∴D(1，6)； ②如答图2，当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE，过点B作BH⊥DC于点H，∴H(t，6)，DH＝－t2＋t，DE＝－t2＋3t，BH＝t.∴∠BHD＝90°.∴＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝. ∴＝＝2.解得t＝0(舍去)或t＝. ∴D. 综上所述，点D的坐标为(1，6)或. (3)F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标. 解：如答图3，∵四边形EGFD为菱形，∴DE∥FG， DE＝FG＝EG.设点D(m，－m2＋m＋6)，E(m，－2m ＋6)，F(n，－n2＋n＋6)，G(n，－2n＋6)，∴DE＝－m2＋3m，FG＝－n2＋3n.∴－m2＋3m＝－n2＋3n，即(m－n)(m＋n－3)＝0.∵m－n≠0，∴m＋n－3＝0，即n＝3－m.∵A(3，0)，B(0，6)，∴AO＝3，BO＝6.∴AB＝＝3.过点G作GK⊥DE于点K，∴KG∥AC.∴∠EGK＝∠BAC. ∴＝cos∠EGK＝cos∠BAC＝，即＝.∴EG＝(n－m)＝(3－2m).∵DE＝EG，∴－m2＋3m＝(3－2m).解得m＝(舍去)或m＝.∴点D的横坐标为. 角度3　特殊四边形存在性问题 核心技法 题目类型 典型问题 基本模型 基本方法 三定 一动 已知平面内不共线的三点A，B，C(三定)，求一点D(一动)，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形 分别过点A，B，C作对边的平行线，三条平行线的交点均为所求点D 1.以AC为对角线，平移BA至CD1，确定点D的坐标. 2.以AB为对角线，平移CB至AD3确定点D的坐标. 3.以BC为对角线，平移AC至BD2确定点D的坐标 题目类型 典型问题 基本模型 基本方法 两定 两动 已知平面内的两点A，B(两定)，求坐标轴上的两点C，D(两动)，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形 已知两点A，B，求两点C，D，题目中的C，D两动点位置受特殊四边形的条件约束.分两种情况：如图1，若以AB为一边，根据题目约束条件，可将AB进行上下左右平移，找到适合条件的两个点的坐标；如图2，若以AB为对角线，找出AB的中点，旋转AB寻找适合条件的两个点的坐标 1.利用平行四边形对边平行且相等，构造全等三角形解决. 2.设点C(x，0)，点D(0，y)，利用平行四边形对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等，列方程组解决 注意：①探究菱形存在性问题时，一般会用到菱形对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式； ②探究矩形存在性问题时，一般会用到对边相等、对角线相等列关系式求解；或根据邻边互相垂直，利用勾股定理列关系式求解； ③探究正方形存在性问题时，一般会用到正方形对角线互相垂直平分且相等的性质列式计算. 例4 (2024广元)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝－x2＋bx＋c经过点A(－3，－1)，与y轴交于点B(0，2). 典例精析 典例精析 (1)求抛物线的函数表达式； 解：将A(－3，－1)，B(0，2)代入y＝－x2＋bx＋c， 得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋2. 用待定系数法求函数的表达式即可. (2)在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标； 解：如答图，过点C作x轴的垂线交 AB于点M，则CM∥y轴， ∴△CDM∽△ODB. ∴＝＝. 设直线AB的表达式为y＝mx＋n，把A(－3，－1)，B(0，2)代入表达式，得解得 ∴直线AB的表达式为y＝x＋2. 设C(t，－t2－2t＋2)，则M(t，t＋2)，∴CM＝－t2－2t＋2－t－2＝－t2－3t＝－＋.∵－3＜t＜0， ∴当t＝－时，CM有最大值，此时的最大值为， 此时点C的坐标为. 第一步：过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，可知△CDM∽△ODB，由此得到＝＝； 第二步：设C(t，－t2－2t＋2)，则M(t，t＋2)，所以CM＝－＋； 第三步：当t＝－时，CM有最大值，此时取得最大值，此时点C的坐标为. (3)作抛物线F关于直线y＝－1上一点的对称图象F'，抛物线F与F'只有一个公共点E(点E在y轴右侧)，G为直线AB上一点，H为抛物线F'对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标. 解：由中心对称可知，抛物线F与F'的公共点E为直线y＝－1与抛物线F的右交点，当－x2－2x＋2＝－1时， 解得x＝－3(舍去)或x＝1.∴E(1，－1). ∵抛物线F：y＝－x2－2x＋2的顶点坐标为(－1，3)， ∴抛物线F'的顶点坐标为(3，－5).设G(m，m＋2)， 当BE为平行四边形的对角线时，m＋3＝1， 解得m＝－2，∴G(－2，0)； 当BG为平行四边形的对角线时， m＝3＋1＝4， ∴G(4，6)； 当BH为平行四边形的对角线时，m＋1＝3， 解得m＝2，∴G(2，4)； 综上所述，G点坐标为(－2，0)或(4，6)或(2，4). 第一步：由中心对称可知，抛物线F与F'的公共点E为直线y＝－1与抛物线F的右交点，求出E(1，－1)，抛物线F'的顶点坐标为(3，－5)； 第二步：设G(m，m＋2)，当BE为平行四边形的对角线时，G(－2，0)；当BG为平行四边形的对角线时，G(4，6)；当BH为平行四边形的对角线时，G(2，4). 4.已知抛物线Q1：y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B两点，交y轴于点C(0，3). (1)请求出抛物线Q1的表达式； 针对训练 解：∵抛物线Q1：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3，0)，C(0，3)两点， ∴解得 ∴抛物线Q1的表达式为y＝－x2－2x＋3. (2)如图，在y轴上有一点D(0，－1)，点E在抛物线Q1上，F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在点E，F使得四边形DAEF为正方形. 如答图，过点E作EG⊥x轴于点G，则∠AGE＝90° ＝∠AOD. ∵A(－3，0)，D(0，－1)，∴OA＝3，OD＝1.∵四边 形DAEF是正方形， ∴AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°. ∴∠EAG＝∠ADO.∴△EAG≌△ADO(AAS). ∴AG＝OD＝1，EG＝OA＝3.∴点E的坐标为(－2，3). 当x＝－2时，y＝－x2－2x＋3＝－(－2)2－2×(－2)＋3 ＝3.∴点E在抛物线上. 过点F作FL⊥y轴于点L，同理，△DFL≌△ADO(AAS). ∴FL＝OD＝1，DL＝OA＝3. ∴OL＝DL－OD＝3－1＝2.∴点F的坐标为(1，2). 1.(2024北京)如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，OD平分∠AOC. (1)求证：OD∥BC； 证明：如图，连接AC交OD于点H， ∵AB是☉O的直径，∴AC⊥BC.∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD.∴＝.∴OD⊥AC.∴OD∥BC. 与圆的性质有关的证明与计算 4 3 2 1 (2)延长DO交☉O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作☉O的切线交DE的延长线于点P.若＝，PE＝1，求☉O半径的长. 解：∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF. ∴＝＝.设OE＝5x，BC＝6x， ∵AO＝OB，OH∥BC，∴AH＝CH.∴OH＝BC＝3x.∵PB是☉O的切线，∴∠OBP＝90°. ∴∠PBO＝∠AHO. 4 3 2 1 ∵∠BOP＝∠AOH， ∴△AOH∽△POB. ∴＝.∴＝. ∴x＝或x＝0(舍去).∴OE＝. 即☉O半径的长为. 4 3 2 1 2.(2024广元)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，☉O经过A，C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E. (1)求证：DE为☉O的切线； 与切线有关的证明与计算 证明：连接OD，如图， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴△ACB为等腰直角三角形.∴∠CAB＝45°. ∴∠COD＝2∠CAB＝90°. ∵DE∥CF，∴∠COD＋∠EDO＝180°. ∴∠EDO＝90°.又∵OD为☉的半径，∴DE为☉O的切线. 4 3 2 1 (2)若AC＝4，tan∠CFD＝2，求☉O的半径. 解：过点C作CH⊥AB于点H， 如图，∵△ACB为等腰直角三角形， AC＝4，∴CH＝AH＝AB＝2.∵tan∠CFD＝＝2，∴FH＝. 在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2＝CH2＋FH2，∴CF＝.∵tan∠CFD＝＝＝＝2，∴OD＝. 故☉O的半径为. 4 3 2 1 3.(2024齐齐哈尔)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F. (1)求证：CF是☉O的切线； 证明：连接OC，如图，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.∵将△CDB沿BC所在 的直线翻折，得到△CEB，∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°. ∴∠OCB＝∠CBE.∴OC∥BE. ∴∠OCF＝∠E＝90°. ∵OC是☉O的半径，∴CF是☉O的切线. 4 3 2 1 (2)若sin∠CFB＝，AB＝8，求图中阴影部分的面积. 解：∵sin∠CFB＝，∴∠CFB＝45°. ∵∠OCF＝90°，∴∠COF＝∠CFO＝45°. ∴CF＝OC＝AB＝4. ∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝∠COD＝45°. ∴CD＝OD＝OC＝2.∴S阴影＝S扇形AOC－S△COD＝－×2×2＝2π－4. 4 3 2 1 4.(2024雅安)如图，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B. (1)求证：PC是☉O的切线； 证明：如图，连接OC， ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°.∴∠BCO＋∠OCA＝90°.∵OB＝OC， ∴∠B＝∠BCO.∵∠PCA＝∠B，∴∠PCA＝∠BCO.∴∠PCA＋∠OCA＝90°.∴OC⊥PC. ∴PC是☉O的切线. 4 3 2 1 (2)若sinB＝，求证：AC＝AP； 证明：∵sin B＝，∴∠B＝30°.∴∠PCA＝∠B＝30°.由(1)知∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°.∴∠P＝∠CAB－∠PCA＝30°.∴∠PCA＝∠P.∴AC＝AP. 4 3 2 1 (3)若CD⊥AB于点D，PA＝4，BD＝6，求AD的长. 解：设AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB， ∠BCD＋∠ACD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°， ∴∠B＝∠ACD.∴△ACD∽△CBD.∴＝，即CD2＝AD·BD＝6x.∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，∴△PAC∽△PCB.∴＝.∴PC2＝PA·PB＝4(6＋4＋x)＝4(10＋x).在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2＋CD2＝PC2，即(4＋x)2＋6x＝4(10＋x).整理，得x2＋10x－24＝0.解得x1＝2，x2＝－12(舍去).故AD＝2. 4 3 2 1 强化练习 1.在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t. (1)若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值； 二次函数性质综合题 解：∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，∴a＋b＋c＝4a＋2b＋c.∴3a＋b＝0.∴＝－3. ∵对称轴为x＝－＝，∴t＝. 4 3 2 1 (2)若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围. 解：∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴＜＜，x1＜x2.∵y1＜y2，a＞0，∴(x1，y1)离对称轴更近，x1＜x2，则(x1，y1)与(x2，y2)的中点在对称轴的右侧，∴＞t，即t≤. 4 3 2 1 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线L1交x轴于点A(1，0)，C(5，0)，顶点坐标为E(m1，k).抛物线L2交x轴于点B(2，0)，D(10，0)，顶点坐标为F(m2，k). (1)连接EF，求线段EF的长； 解：由题意，得m1＝＝3，m2＝＝6， ∴EF＝m2－m1＝6－3＝3. 4 3 2 1 (2)点M(－7，d1)在抛物线L1上，点N(16，d2)在抛物线L2上.比较大小：d1________d2； (3)若点P(n＋3，f1)，Q(2n－1，f2)在抛物线L1上， f1＜f2，求n的取值 范围. ＞ 4 3 2 1 解：∵f1＜f2，∴点P离对称轴更近，∴｜n＋3－3｜＜｜2n－1－3｜. ∴(n＋3－3)2－(2n－1－3)2＜0.∴(n＋2n－4)(n－2n＋4)＜0，即(3n－4)(－n＋4)＜0.∴或∴n＜或n＞4. 4 3 2 1 3.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－1， 0)和点B(3， 0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； 二次函数几何综合题 解：将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－3中， 得解得 则抛物线的表达式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.∴顶点坐标为(1，－4). 4 3 2 1 (2)若P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； 解：过点P作y轴的平行线交BC于点H， 如图，由点B(3，0)，C(0，－3)的坐标， 得直线BC的表达式为y＝x－3. 设点P(m，m2－2m－3)，则点H(m，m－3)，则PH＝m－3－m2＋2m＋3＝－m2＋3m，则S△PBC＝×OB×PH＝(－m2＋3m).∵－＜0，故函数有最大值，此时m＝，则点P. 4 3 2 1 (3)若P为抛物线上一点，Q是线段BC上一点(点Q不与两端点重合)，是否存在以P，Q，O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.点P的坐标为(3，0)或(0，－3)或. 4 3 2 1 4.(2024常州)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C. (1)OC＝_______； 3 4 3 2 1 (2)如图，已知点A的坐标是(－1，0). ①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s，t，s－t＝2，求m的值； ②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点(点B除外)，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ，PC.若DQ＝PC，求点P的横坐标. 4 3 2 1 解：将点A的坐标代入抛物线表达式，得0＝－1－b＋3，则b＝2，即抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3，则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为(1，4)，点B(3，0)； ①当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线的x＝1时，取得最大值，即s＝4， 当x＝m时，y取得最小值为t＝－m2＋2m＋3， 则4－(－m2＋2m＋3)＝2， 解得m＝1＋(不合题意的值已舍去). 4 3 2 1 ②设点P(m，－m2＋2m＋3)，则点D(m，0)， 由点A，C的坐标，得直线AC的表达式为y＝3x＋3， 当点P在x轴上方时，如图， ∵∠DPQ＝∠ACO，则直线PQ的表达式为 y＝3(x－m)－m2＋2m＋3，则点Q(0，－m2－m＋3)， 由点P，C，D，Q的坐标，得DQ2＝m2＋(－m2－m＋3)2，PC2＝m2＋(－m2＋2m)2， 4 3 2 1 ∵DQ＝PC，即m2＋(－m2－m＋3)2＝m2＋(－m2＋2m)2，解得m＝－1(舍去)或1或1.5； 当点P在x轴下方时， 同理可得点Q(0，－m2＋5m＋3)， 则DQ2＝m2＋(－m2＋5m＋3)2＝PC2＝m2＋(－m2＋2m)2， 解得m＝－1(舍去)或(舍去)或.　 综上，点P的横坐标为1或1.5或. 4 3 2 1 $$