2025年贵州省九年级中考数学一轮复习课件：专题4圆的综合题

专题四　圆的综合题 1.证明线段或角相等的思路 借助圆和其他几何图形的性质、与圆有关的位置关系，添加适当辅助线构造相等的角、边，或通过三角形全等建立等量关系. 2.求圆中线段长度的思路 在圆的背景下，识别和构造基本图形，如连接圆心和切点构造直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，利用圆的半径相等构造等腰三角形，利用圆中角之间的关系构造相似三角形，进而利用勾股定理、锐角三角函数、三角形相似求线段的长. 与圆的性质有关的证明与计算(8年4考：2024，2021，2018·23，2017·22) 类型一 核心技法 3.求弧长或阴影部分面积的思路 (1)利用弧长公式直接计算； (2)阴影部分是规则图形时，利用面积公式直接计算；阴影部分是不规则图形时，常通过和差法、等面积转化法等，构造规则图形，再运用公式计算. 例1 如图，AB是☉O的直径，AC与☉O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE，DB. (1)请从①DE与☉O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，已知：______，结论：______.将题目补充完整(填写序号)，并完成证明过程； 典例精析 典例精析 4 解：若选择：①作为条件，②作为结论，证明：连接OD，如图，∵DE与☉O相切于点D，∴∠ODE＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝ ∠DAB.∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO.∴∠EAD＝∠ADO.∴AE∥DO. ∴∠AED＝180°－∠ODE＝90°.∴DE⊥AC； 若选择：②作为条件，①作为结论. 证明：连接OD，如图1，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°.∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO.∴∠EAD＝∠ADO.∴AE∥DO.∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°.∵OD是☉O的半径，∴DE与☉O相切. 若选择：①作为条件，②作为结论，先根据切线的性质可得∠ODE＝90°，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得AE∥DO，然后利用平行线的性质可得∠AED＝90°，即可解答； 若选择：②作为条件，①作为结论，先根据垂直定义可得∠AED＝90°，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得AE∥DO，然后利用平行线的性质可得∠ODE＝90°，即可解答； (2)在(1)的前提条件下，若AF＝3，F是的中点，求阴影部分的面积. 解：连接DF，OF，如图，∵F是的中点，∴＝. ∴AF＝DF＝3.∴∠FAD＝∠ADF. ∵AE∥OD，∴∠FAD＝∠ADO.∴∠FDA＝∠ADO.∵AD⊥ OF，∴DF＝DO. ∴AF＝DF＝OD＝OA＝3.∴△AOF和△DOF是等边三角形.∴∠AOF＝∠DOF＝∠ODF＝60°.∴∠EDF＝30°.∴EF＝DF＝，DE＝. ∴S弓形DF＝S扇形DOF－S△DOF＝－×3×＝－. ∴S阴影＝S△DEF－S弓形DF＝××－＝－. 连接DF，OF，根据已知条件得到AF＝DF＝3，根据平行线的性质得到∠FAD＝∠ADO，求得∠FDA＝∠ADO，根据等边三角形的性质得到∠AOF＝∠DOF＝∠ODF＝60°，求得∠EDF＝30°，得到EF＝DF＝，DE＝，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论. 1.(2024乐山)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作☉O的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且＝. (1)求证：DC∥AE； 针对训练 证明：∵CD为☉O的切线，点C在☉O上，连接OC，如图， ∴∠OCD＝90°，∴∠DCA＋∠OCA＝90°.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠B＋∠OAC＝90°.∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA.∴∠B＝∠DCA.∵＝，∴∠B＝∠CAE. ∴∠CAE＝∠DCA.∴CD∥AE. (2)若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积. 解：连接OE，BE，如图，∵EF垂直平分OB，∴OE＝BE. ∵OE＝OB，∴△OEB为等边三角形. ∴∠BOE＝60°.∴∠AOE＝180°－60°＝120°.∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°.∵DC∥AE，∴∠D＝∠OAE＝30°.∵∠OCD＝90°，∴OD＝2OC＝OA＋AD.∵OA＝OC， ∴OC＝AD＝3.∴AO＝OE＝OC＝3.∴EF＝OE＝.∴S△OAE＝AO·EF＝. ∵S扇形OAE＝＝3π，∴S阴影＝S扇形OAE－S△OAE＝3π－. 1.切线的性质： (1)圆的切线垂直于经过切点的半径； (2)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； (3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 2.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 与切线有关的证明与计算(8年4考：2024，2022，2020，2019·23) 类型二 核心技法 3.常见的辅助线的作法： (1)判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； (2)有切线时，常常“遇切点连圆心得半径”. 例2 (2024赤峰)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，☉O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交☉O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F. (1)求证：EF是☉O的切线； 典例精析 典例精析 证明：连接OE，如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45°.∴∠COE＝2∠ABC＝90°. ∵EF∥CD，∴∠COE＋∠OEF＝180°.∴∠OEF＝90°. ∵OE是☉O的半径，∴EF是☉O的切线. 第一步：连接OE，根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠ABC＝45°； 第二步：根据圆周角定理得到∠COE＝2∠ABC＝90°； 第三步：根据平行线的性质得到∠OEF＝90°； 第四步：根据切线的判定定理得到结论. (2)若BM＝4，tan∠BCD＝，求OM的长. 解：如图，过点M作MH⊥BC于点H，连接BD， 则△BMH是等腰直角三角形，∵BM＝4，∴BH＝MH＝BM＝4.在Rt△CHM中，∵tan∠BCD＝＝，∴CH＝2MH＝8.∴CM＝＝4，CB＝CH＋BH＝12.∵CD是☉O的直径，∴∠CBD＝90°，即BD⊥BC. ∴MH∥BD，∴＝.∴＝.∴DM＝2.∴OD＝CD＝(CM＋DM)＝3.∴OM＝OD－DM＝. 第一步：过M作MH⊥BC于点H，根据等腰直角三角形的性质得到BH＝MH＝BM＝4； 第二步：根据三角函数的定义得到CH＝2MH＝8； 第三步：根据勾股定理得到CM＝＝4，CB＝CH＋BH＝12； 第四步：连接BD，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论. 2.(2024湖北)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的☉O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC. (1)求证：AB是☉O的切线； 针对训练 证明：连接OD，如图，在△OBD和△OBC中， ∴△OBD≌△OBC(SSS). ∴∠ODB＝∠OCB＝90°.∴OD⊥AB.∵OD是☉O的半径，∴AB是☉O的切线. (2)若AD＝，AE＝1，求的长. 解：设☉O的半径为R，在Rt△OAD中，AD＝，AE＝1，AO＝AE＋OE＝1＋R，OD＝R，AD2＋OD2＝AO2，∴()2＋R2＝(1＋R)2，解得R＝1.∴OD＝1. ∴tan∠AOD＝＝.∴∠AOD＝60°.∴∠COD＝120°. 由(1)知△OBD≌△OBC，∴∠BOD＝∠BOC＝∠COD＝60°.∴的长＝＝. 强化练习 1.(2024北京)如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，OD平分∠AOC. (1)求证：OD∥BC； 证明：如图，连接AC交OD于点H， ∵AB是☉O的直径，∴AC⊥BC.∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD.∴＝.∴OD⊥AC.∴OD∥BC. 与圆的性质有关的证明与计算 4 3 2 1 (2)延长DO交☉O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作☉O的切线交DE的延长线于点P.若＝，PE＝1，求☉O半径的长. 解：∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF. ∴＝＝.设OE＝5x，BC＝6x， ∵AO＝OB，OH∥BC，∴AH＝CH.∴OH＝BC＝3x.∵PB是☉O的切线，∴∠OBP＝90°. ∴∠PBO＝∠AHO. 4 3 2 1 ∵∠BOP＝∠AOH， ∴△AOH∽△POB. ∴＝.∴＝. ∴x＝或x＝0(舍去).∴OE＝. 即☉O半径的长为. 4 3 2 1 2.(2024广元)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，☉O经过A，C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E. (1)求证：DE为☉O的切线； 与切线有关的证明与计算 证明：连接OD，如图， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴△ACB为等腰直角三角形.∴∠CAB＝45°. ∴∠COD＝2∠CAB＝90°. ∵DE∥CF，∴∠COD＋∠EDO＝180°. ∴∠EDO＝90°.又∵OD为☉的半径，∴DE为☉O的切线. 4 3 2 1 (2)若AC＝4，tan∠CFD＝2，求☉O的半径. 解：过点C作CH⊥AB于点H， 如图，∵△ACB为等腰直角三角形， AC＝4，∴CH＝AH＝AB＝2.∵tan∠CFD＝＝2，∴FH＝. 在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2＝CH2＋FH2，∴CF＝.∵tan∠CFD＝＝＝＝2，∴OD＝. 故☉O的半径为. 4 3 2 1 3.(2024齐齐哈尔)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F. (1)求证：CF是☉O的切线； 证明：连接OC，如图，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.∵将△CDB沿BC所在 的直线翻折，得到△CEB，∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°. ∴∠OCB＝∠CBE.∴OC∥BE. ∴∠OCF＝∠E＝90°. ∵OC是☉O的半径，∴CF是☉O的切线. 4 3 2 1 (2)若sin∠CFB＝，AB＝8，求图中阴影部分的面积. 解：∵sin∠CFB＝，∴∠CFB＝45°. ∵∠OCF＝90°，∴∠COF＝∠CFO＝45°. ∴CF＝OC＝AB＝4. ∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝∠COD＝45°. ∴CD＝OD＝OC＝2.∴S阴影＝S扇形AOC－S△COD＝－×2×2＝2π－4. 4 3 2 1 4.(2024雅安)如图，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B. (1)求证：PC是☉O的切线； 证明：如图，连接OC， ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°.∴∠BCO＋∠OCA＝90°.∵OB＝OC， ∴∠B＝∠BCO.∵∠PCA＝∠B，∴∠PCA＝∠BCO.∴∠PCA＋∠OCA＝90°.∴OC⊥PC. ∴PC是☉O的切线. 4 3 2 1 (2)若sinB＝，求证：AC＝AP； 证明：∵sin B＝，∴∠B＝30°.∴∠PCA＝∠B＝30°.由(1)知∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°.∴∠P＝∠CAB－∠PCA＝30°.∴∠PCA＝∠P.∴AC＝AP. 4 3 2 1 (3)若CD⊥AB于点D，PA＝4，BD＝6，求AD的长. 解：设AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB， ∠BCD＋∠ACD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°， ∴∠B＝∠ACD.∴△ACD∽△CBD.∴＝，即CD2＝AD·BD＝6x.∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，∴△PAC∽△PCB.∴＝.∴PC2＝PA·PB＝4(6＋4＋x)＝4(10＋x).在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2＋CD2＝PC2，即(4＋x)2＋6x＝4(10＋x).整理，得x2＋10x－24＝0.解得x1＝2，x2＝－12(舍去).故AD＝2. 4 3 2 1 $$