2025年贵州省九年级中考数学一轮复习课件：专题2新定义阅读分析型问题

专题二　新定义阅读分析型问题 这类问题通常会在题目中给出新的数学公式，定理，性质，运算法则或解题思路等.例如，题目可能会介绍一个新的数学概念或公式，并要求考生利用这个新概念或公式去解答后续的题目，在阅读材料时注意标记关键信息，使用铅笔或下划线标记出题目和材料中的关键词汇，数据和重要信息点，将提炼出的信息转化为数学公式，方程或模型，便于进一步分析. 核心技法 例1 定义：平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)，点Q(c，d)，若c＝ka，d＝－kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”.例如，点(－4，6)是点(2，3)的“－2级变换点”. (1)函数y＝－的图象上是否存在点(1，2)的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； 典例精析 典例精析 解：函数y＝－的图象上存在点(1，2)的“k级变换点”，理由：根据“k级变换点”定义，点(1，2)的“k级变换点”为(k，－2k)，把点(k，－2k)代入y＝－中，得k·(－2k)＝－4，解得k＝±. 先假设存在，根据题目中给出的新定义写出点(1，2)的“k级变换点”，再代入函数y＝－中即可求解； (2)动点A与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点(m2，y1)，(m2，y2).若k≤－2，求证：y1－y2≥2； 证明：∵点B为点A的“k级变换点”，∴点B的坐标为.∴直线l1，l2的表达式分别为y＝x－2和y＝－x＋2k.当x＝m2时，y1－y2＝m2－2－＝m2－2k－2. ∵k≤－2，∴－2k－2≥2.∵m2≥0，∴m2－2k－2≥2. ∴y1－y2≥2. 求出点B的坐标后得到直线l1，l2的表达式，再根据k≤－2进行证明； (3)关于x的二次函数y＝nx2－4nx－5n(x≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝－x＋5上，求n的取值范围. 解：由题意，得二次函数y＝nx2－4nx－5n(x≥0)的图象上的点的“1级变换点”都在函数y＝－nx2＋4nx＋5n(x≥0)的图象上.由－nx2＋4nx＋5n＝－x＋5，整理得nx2－(4n＋1)x＋5－5n＝0. ∵Δ＝－4n(5－5n)＝36n2－12n＋1＝(6n－1)2≥0， ∴函数y＝－nx2＋4nx＋5n的图象与直线y＝－x＋5必有公共点.由y＝－nx2＋4nx＋5n＝－n(x－5)(x＋1)得该公共点为(5，0).①当n＞0时，由(6n－1)2≠0得n≠.由5n≤5得n≤1，∴0＜n≤1且n≠. ②当n＜0，x≥0时，两图象仅有一个公共点，不符合题意，舍去. 综上所述，n的取值范围为0＜n≤1且n≠. 根据题意找出已知函数图象上的点的“1级变换点”的关系式，由题知对应关系式与直线y＝－x＋5必有公共点.分当n＞0时和当n＜0，x≥0时分类讨论即可. 1.阅读材料：关于三角函数还有如下的公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，tan(α±β)＝. 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值. 例：tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝＝2－. 针对训练 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题. (1)计算：sin 15°； 解：sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝－＝. (2)乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一(图1)，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度.(精确到0.1米，参考数据≈1.732，≈1.414) 解：在Rt△BDE中，∵∠BED＝90°，∠BDE＝75°，DE＝AC＝7米，∴BE＝DE·tan∠BDE＝DE·tan 75°. ∵tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋， ∴BE＝7×(2＋)＝(14＋7)米. ∴AB＝AE＋BE＝DC＋BE＝1.62＋14＋7≈27.7(米). 答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米. 例2 (2024河南)综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究. 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形. (1)操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有__________(填序号)； 根据邻等对补四边形的定义判断即可； ②④ (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质. 如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线. ①写出图中相等的角，并说明理由； 解：∠ACD＝∠ACB，理由：延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE，如答图1，∵四边形ABCD是邻等对补四边形，∴∠ABC＋∠D＝180°.∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝∠D.∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADC(SAS).∴∠E＝∠ACD，AE＝AC.∴∠E＝∠ACB. ∴∠ACD＝∠ACB. 第一步：延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE； 第二步：根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出∠ABE＝∠D，证明△ABE≌△ADC(SAS)，得出∠E＝∠ACD，AE＝AC； 第三步：根据等边对等角得出∠E＝∠ACB，即可得出结论； ②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长(用含m，n，θ的式子表示)； 解：在答图1的基础上，过点A作AF⊥EC于点F，如答图2，  ∵AE＝AC，∴CF＝CE＝(BC＋BE)＝(BC＋DC)＝. ∵∠BCD＝2θ，∴∠ACD＝∠ACB＝θ. 在Rt△AFC中，cos θ＝，∴AC＝＝. 第一步：过A作AF⊥EC于点F，根据三线合一性质可求出CF＝； 第二步：由①可得∠ACD＝∠ACB＝θ，在Rt△AFC中，根据余弦的定义求解即可； (3)拓展应用 如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长. 解：BN的长为或. 分AB＝BM，AN＝AB，MN＝AN，BM＝MN四种情况讨论即可. 2.定义：直角顶点重合的两个等腰直角三角形称为“同根等腰直角三角形”.如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，则△ABC和△DCE为“同根等腰直角三角形”. (1)如图1，当点E在BC上，点D在AC上时，线段BE与AD的数量关系是________________，位置关系是________________； 针对训练 BE＝AD BE⊥AD (2)把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，(1)中的结论还成立吗？说明理由； 解：成立.理由： 如答图，AC与BE交于点M，AD与BE交于点N， 由题意可知∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE. ∴∠BCE＝∠ACD. 在△BCE与△ACD中， ∴△BCE≌△ACD(SAS). ∴BE＝AD，∠CAD＝∠CBE. 又∵∠ACB＝90°，∠BMC＝∠AMN， ∴∠MAN＋∠AMN＝∠CBE＋∠BMC＝90°. ∴∠ANM＝90°.∴BE⊥AD. 强化练习 1.在多项式x－y－z－m－n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”.例如：(x－y)－(z－m－n)＝x－y－z＋m＋n，x－y－(z－m)－n＝x－y－z＋m－n，…. 下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果. 其中正确的个数是(　　) A.0　　　 B.1　　 　C.2　　 　D.3 D 5 4 3 2 1 2.定义：若一个函数图象上存在横，纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如，点(1，1)是函数y＝x＋的图象的“等值点”. (1)请判断函数y＝x2－3x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； 解：存在.在y＝x2－3x中，令x＝x2－3x，解得x1＝0，x2＝4，∴函数y＝x2－3x的图象上有两个“等值点”，坐标为(0，0)或(4，4). 5 4 3 2 1 (2)设函数y＝x2(x＞0)，y＝－x＋b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C.当△ABC的面积为1时，求b的值. 解：在函数y＝x2(x＞0)中，令x＝x2，解得x＝1或x＝0(舍去).∴点A的坐标为(1，1).在函数y＝－x＋b中，令x＝－x＋b，解得x＝.∴点B的坐标为.∵BC⊥x轴，∴C的坐标为.∵△ABC的面积为1，∴××＝1，整理，得＝8.当b2－2b＝8时，解得b1＝－2，b2＝4.当b2－2b＝－8时，即b2－2b＋8＝0，∵Δ＝(－2)2－4×1×8＝－28＜0，∴方程b2－2b＋8＝0没有实数根. 综上所述，b的值为－2或4. 5 4 3 2 1 3.(2024深圳节选)垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”. (1)如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF＝，CE＝2，则AE＝_______，AB＝____； 1 5 4 3 2 1 (2)如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB＝BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由. 解：AF＝CD，理由如下：根据题意，在垂中平行四边形 ABCD中，AF⊥BD，且F为BC的中点，∴AD＝BC＝2BF， ∠AEB＝90°.又∵AD∥BC，∴△AED∽△FEB.∴＝＝＝2.设BE＝a，则DE＝2a，∵AB＝BD，∴AB＝BD＝BE＋ED＝a＋2a＝3a.∴AE＝＝＝2a，EF＝AE＝a.∴AF＝AE＋EF＝2a＋a＝3a. ∵AB＝CD，∴＝＝＝.∴AF＝CD. 5 4 3 2 1 4.著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则.” 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法. 5 4 3 2 1 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数(分式)拆分成一个整数(整式)与一个真分数(分式)的和(差)的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：＝＝x＋＝x－1＋，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x－1的和的形式. 5 4 3 2 1 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)假分式可化为带分式________形式； 1＋ 5 4 3 2 1 (2)利用分离常数法，求分式的取值范围； 解：＝＝2＋， ∵x2＋1≥1，∴0＜≤3.∴2＜≤5. 5 4 3 2 1 (3)若分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式为5m－11＋，则m2＋n2＋mn的最小值为________. 27 5 4 3 2 1 5.读一读 动态几何的问题背景往往是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置；要抓住变化中的不变，做到动中有静，动静结合，以不变应万变.) 研一研 给出一个新的定义：顶角相等且顶角的顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”. 5 4 3 2 1 【探索发现】(1)如图1，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，则∠BAD________∠CAE(填“＜”或“＝”或“＞”)； ＝ 5 4 3 2 1 【迁移应用】(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D，点E均在△ABC外，连接BD，CE交于点F，连接AF，求证：AF平分∠BFE； 证明：如图2，过点A作AG⊥BD于点G，AH⊥CE于H，∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌CAE(SAS).∴BD＝CE. ∵AG⊥BD，AH⊥CE，∴AG＝AH(全等三角形对应边上的高相等).∴AF平分∠BFE. 5 4 3 2 1 【拓展延伸】(3)如图3，若△ABC是等边三角形，D为边BC下方一动点，且满足∠BDC＝120°，连接AD，试探究线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明. 解：线段AD，BD，CD之间的数量关系为AD＝BD＋CD，证明如下： 如图3，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE. ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°. ∵∠BDC＝120°，∴∠ABD＋∠ACD＝360°－ ∠BDC－∠BAC＝360°－120°－60°＝180°. ∵∠ACE＋∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE. 5 4 3 2 1 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE(SAS).∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.∵∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝60°，∴∠DAC＋∠CAE＝60°.即∠DAE＝60°.∴△ADE是等边三角形.∴AD＝DE＝CE＋CD＝BD＋CD. 5 4 3 2 1 (3)在△DCE绕点C在平面内旋转过程中，若AC＝4，CE＝2，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是 . 2－2或2＋2　 $$