2025年贵州省九年级中考数学一轮复习 课件：第6讲一元二次方程及其应用

第二章　方程(组)与不等式(组) 第6讲　一元二次方程及其应用 数据聚焦 考点梳理 1 一元二次方程及其应用 概念：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是①_______的整式方程，叫作一元二次方程 一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数) 一 元 二 次 方 程 的 解 法 解法 适用情况 注意事项或步骤 直接开 平方法 1.当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)； 2.形如(x＋m)2＝n(n≥0) 开方后取值是“±” 2 一元二次方程及其应用 一 元 二 次 方 程 的 解 法 解法 适用情况 注意事项或步骤 公 式 法 适用于所有一元二次方程，求根公式 为x＝②______________ (b2－4ac≥0) 步骤： 1.先把一元二次方程化为一般形式； 2.判断b2－4ac的正负； 3.若b2－4ac＜0，则原方程无解；若b2－4ac≥0，将a，b，c代入公式时应注意其符号 　 一元二次方程及其应用 一 元 二 次 方 程 的 解 法 解法 适用情况 注意事项或步骤 因式分 解法 1.常数项为0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)； 2.将方程右边化为0后，方程的左边易于分解成两个一次因式的乘积 两边不能同时约去含有x的相同因式，以免丢根，如对于一元二次方程(x－2)(x＋2)＝x－2，不能两边同时约去(x－2)，否则会造成漏解 一元二次方程及其应用 一 元 二 次 方 程 的 解 法 解法 适用情况 注意事项或步骤 配方法 适用于所有一元二次方程，一般用于： 1.二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程； 2.各项的系数比较小且便于配方的情况 步骤： 1.变形：将二次项系数化为1； 2.移项：将常数项移到方程的右边； 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 4.求解：用直接开平方法求解 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是否有实数根，关键由根的判别式③_____________决定 (1)④________________⇔一元二次方程有两个不相等的实数根 (2)⑤________________⇔一元二次方程有两个相等的实数根 (3)⑥________________⇔一元二次方程无实数根 一元二次方程及其应用 根 的 判 别 式 【易错提示】对于二次项系数含有字母的方程，根据根的情况求字母取值范围时，一定要先确定该方程是一元二次方程还是一元一次方程，再进行判断. b2－4ac b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则x1＋x2＝⑦________，x1·x2＝⑧______ 一元二次方程及其应用 一 元 二 次 方 程 的 解 法 【易错提示】利用根与系数的关系解题的前提是b2－4ac≥0. 【满分技法】根与系数关系的几种常见变形形式： a. ＋＝(x1＋x2)2－2x1x2；　　　　　　 b. (x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； c. (x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1；　 d. ＋＝. －　 　 一元二次方程及其应用 一 元 二 次 方 程 的 应 用 增长率＝×100％ 设a为原来量，变化后的量为b，变化次数为2，当平均增长率为x时，则有⑨_________________；当平均下降率为x时，则有⑩_________________ 变化率 问题 利润 问题 成本每件a元，当售价为m元时，销量是n件，售价每降低d元，则可多卖出c件.设售价降低了x元，则每件的利润为(m－x－a)元，销量增加件，则降价后的利润w＝(m－x－a) (n＋)元 a(1＋x)2＝b a(1－x)2＝b 一元二次方程及其应用 传播问题：设每轮传播中每个人传染x个人，则两轮传播后感染的总人数为⑪_____________ 一 元 二 次 方 程 的 应 用 循环 问题 单循环淘汰赛问题：设x个队进行m场比赛，则m＝ ⑫________(x≥2) 互赠照片问题：设全班x人，每人向其他人赠送一张自己的照片，全班共赠送了m张照片，则m＝⑬___________ (x≥2) (1＋x)2 　　 x(x－1) 一元二次方程及其应用 (1)如图1，设空白部分的宽均为x，则S阴影＝⑭_______ _______________ (2)如图2，图3，图4，设空白部分的宽均为x，则S阴影＝⑮__________________ 一 元 二 次 方 程 的 应 用 图形面 积问题 (a－2x)(b－2x) (a－x)(b－x) 数据剖析 分层突破 2 基础能力过关 例1 一元二次方程根的判别式及解法 例1 关于x的方程x2－2x＋k＝0. (1)当k＝－2时，判断方程实数根的情况； 解：当k＝－2时，方程为x2－2x－2＝0. ∵根的判别式为Δ＝(－2)2－4×1×(－2)＝12＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. (2)当方程有两个相等的实数根时，求k的值； 例1 解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4k＝0.∴k＝1. (3)当方程无实数根时，求k的取值范围； 解：∵方程无实数根，∴Δ＝(－2)2－4k＜0.∴k＞1. (4)当k＝－8时，求方程的实数根. 例1 解：(方法一)当k＝－8时，方程为x2－2x－8＝0. ∵根的判别式为Δ＝(－2)2－4×1×(－8)＝36， ∴x＝＝.∴x1＝4，x2＝－2. (方法二)当k＝－8时，方程为x2－2x－8＝0. ∴(x－4)(x＋2)＝0.∴x1＝4，x2＝－2. 一元二次方程的应用 例2 某科研单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形ABCD空地，建成一个长方形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道(小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)，剩余的地方种植花草. 1 例2 重难考点突破 (1)如图1，要使种植花草的面积为532 m2，求小道进出口的宽度为多少米； 思路指引：设小道进出口的宽度为x m，可将图中的空白部分平移在一起，变成一个长为(30－2x) m，宽为(20－x) m的长方形空地，然后根据其种植花草的面积为532 m2列出方程求解即可. 1 例2 解：设小道进出口的宽度为x m.根据题意，得(30－2x)(20－x)＝532.整理，得x2－35x＋34＝0.解得x1＝1，x2＝34.∵34＞20(不符合题意，舍去)，∴x＝1.即小道进出口的宽度为1 m. (2)现将长方形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，△AEQ，△BFG，△CMH，△DNP均为全等的直角三角形，其中AE＝BF＝CM＝DN，设EF＝HG＝MN＝PQ＝a m，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2 m，且竖向道路出口位于MN和EF之间，横向弯折道路出口位于PQ和HG之间. ①求剩余的种植花草区域的面积(用含有a的代数式表示)； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/m2，建造花草区域的总成本为42 000元，求a的值. 1 例2 思路指引：①根据题意列出代数式并化简即可；②根据题意列出方程并求解，选择符合题意的答案即可. 1 例2 解：①剩余的种植花草区域的面积＝(30－2×2)×(20－2)－4××(30－a)×(20－a)＝(－a2＋25a＋168) m2.②根据题意，得(－a2＋25a＋168)×100＝42 000.解得a＝14或a＝36(不符合题意，舍去). ∴a的值为14. 对应练习 1.某经销商以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个.为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价10元，那么每月就可以多售出50个. 1 例2 (1)求销售量y(个)与售价x(元)的函数表达式(不要求写出x的取值范围)； 1 例2 解：根据题意，得y＝60＋×50＝－5x＋1 860.即销售量y(个)与售价x(元)的函数表达式为y＝－5x＋1 860. (2)经销商销售这种学习机每月的利润要达到7 200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机的售价应降为多少元； 1 例2 解：根据题意，得(x－280)(－5x＋1 860)＝7 200.整理，得x2－652x＋105 600＝0，解得x1＝300，x2＝352.∵尽可能让利于顾客，∴每个学习机的售价应降为300元. (3)如果采用降价的方式销售，该经销商每月的利润能否达到10 600元.如果能，请求出相应的售价；如果不能，请说明理由. 1 例2 解：该经销商每月的利润不能达到10 600元.理由：根据题意，得(x－280)(－5x＋1 860)＝10 600，整理，得x2－652x＋106 280＝0.∵Δ＝6522－4×1×106 280＝－16＜0，∴所列方程无解.∴该经销商每月的利润不能达到10 600元. 数据链接 真题试做 3 一元二次方程根的判别式 命题点2 命题点1 一元二次方程的解法 一元二次方程的应用 命题点4 命题点3 一元二次方程根与系数的关系 命题点1 一元二次方程的解法 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1.(2024贵州5，3分)一元二次方程x2－2x＝0的解是(　　) A.x1＝3，x2＝1 B.x1＝2，x2＝0 C.x1＝3，x2＝－2 D.x1＝－2，x2＝－1 B 2.(2022贵阳17(2)，6分)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程. ①x2＋2x－1＝0；②x2－3x＝0；③x2－4x＝4； ④x2－4＝0. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 解：①(公式法)x2＋2x－1＝0，Δ＝22－4×1×(－1)＝4＋4＝8＞0，∴x＝＝＝－1±.∴x1＝－1＋，x2＝－1－.②(因式分解法)x2－3x＝0，∴x(x－3)＝0.∴x1＝0，x2＝3.③(配方法)x2－4x＝4，方程两边都加上4，得x2－4x＋4＝4＋4，∴(x－2)2＝8.∴x－2＝±2.∴x1＝2＋2，x2＝2－2. ④(因式分解法)x2－4＝0，∴(x＋2)(x－2)＝0. ∴x1＝－2，x2＝2.(任选其中两个即可) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3.(2024黔东南州榕江县校级一模)用公式法解一元二次方程，得x＝，则该一元二次方程是___________________. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 补充考法 5x2＋3x－2＝0 4.(2023贵州15，4分)若一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值是_______. 命题点2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 一元二次方程根的判别式 　　 创新点：错抄问题 5.小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，发现ax2＋bx＋c可以分解为(x－2)(x＋3)，他核对时发现所抄的b比原方程的b值大2，c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是(　　) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x＝－3 D.有两个相等的实数根 9 8 7 6 5 4 3 2 1 创新考法 B 6.(2024贵阳南明区二模)设a，b是方程x2＋x－2 023＝0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为___________. 命题点3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 一元二次方程根与系数的关系 2 022 7.(2024黔东南州榕江县二模)已知a，b是方程x2＋3x－2＝0的两个根，则a2b＋ab2＋3ab的值是_______. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 　0　 8.如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5 750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为(　　) A.4.5米　 B.5米　 C.5.5米　 D.6米 命题点4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 拓展考法 一元二次方程的应用 B 9.某公司为了提高公司经济效益，进行了科技攻关，最近研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为45万元时，年销售量为550台；每台售价为50万元时，年销售量为500台，假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式； 9 8 7 6 5 4 3 2 1 解：设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，将(45，550)，(50，500)代入y＝kx＋b， 得解得 故年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝－10x＋1 000. (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于65万元，如果该公司想获得12 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 解：设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x－30)万元，销售数量为(－10x＋1 000)台， 根据题意，得(x－30)(－10x＋1 000)＝12 000. 整理，得x2－130x＋4 200＝0. 解得x1＝60，x2＝70. ∵此设备的销售单价不得高于65万元， ∴x＝60. 答：该设备的销售单价应是60万元/台. 课后强化 基 础 过 关 练 1.(2024黔东南州从江县校级二模)用配方法将方程x2－4x－2＝0变形为(x－2)2＝m，则m＝(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 D 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 2.(2024吉林)下列方程中，有两个相等实数根的是(　　) A.(x－2)2＝－1 B.(x－2)2＝0 C.(x－2)2＝1 D.(x－2)2＝2 B 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 3.(2024自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 A 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 4.(2024北京)若关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为(　　) A.－16 B.－4 C.4 D.16 C 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 5.(2024龙东)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　　) A.m≤4 B.m≥4 C.m≥－4且m≠2 D.m≤4且m≠2 D 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 6.(2024凉山州)若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为(　　) A.2 B.－2 C.2或－2 D. A 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 7.(2024乐山)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0两根为x1，x2，且＋＝3，则p的值为(　　) A.－ B. C.－6 D.6 A 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 8.(2024牡丹江)一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为(　　) A.20％ B.22％ C.25％ D.28％ C 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 9.(2024通辽)如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其它材料制成)，则BC长为(　　)   A.5 m或6 m B.2.5 m或3 m C.5 m D.3 m C 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 10.(2024赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(　　) A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 C 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 11.(2024贵阳花溪区校级二模)用公式法解一元二次方程，得x＝，则该一元二次方程是___________________. 3x2＋5x＋1＝0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 12.(2024凉山州)已知y2－x＝0，x2－3y2＋x－3＝0，则x的值为_______. 3 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 13.(2024青海)(1)解一元二次方程：x2－4x＋3＝0； 解：x2－4x＋3＝0， ∴(x－1)(x－3)＝0. ∴x－1＝0或x－3＝0. ∴x1＝1，x2＝3. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长. 解：当3是直角三角形的斜边长时，第三边＝＝2；　 当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边＝＝， ∴直角三角形第三边的长为2或. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 14.(2024遂宁)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； 证明：x2－(m＋2)x＋m－1＝0， 这里a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1， Δ＝b2－4ac ＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1) ＝m2＋4m＋4－4m＋4 ＝m2＋8. ∵m2＞0，∴Δ＞0.∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且＋－x1x2＝9，求m的值. 解：如果方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根为x1，x2， 那么x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1. ∵＋－x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9， ∴(m＋2)2－3(m－1)＝9. 整理，得m2＋m－2＝0. ∴(m＋2)(m－1)＝0.解得m1＝－2，m2＝1. ∴m的值为－2或1. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 挑 战 高 分 练 15.(2024绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是(　　) A.x2＋6x＋5＝0 B.x2－7x＋10＝0 C.x2－5x＋2＝0 D.x2－6x－10＝0 B 18 17 16 15 16.(2024黔东南州从江县校级一模)对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max(a，b)表示a，b中的较大值，如：max(3，5)＝5，因此，max(－3，－5)＝－3.按照这个规定，若max{x，－x}＝x2－3x－5，则x的值是(　　) A.5 B.5或1－ C.－1或1－ D.5或1＋ B 18 17 16 15 17.(2024烟台)若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为_______. 6 18 17 16 15 18.(2024毕节金沙县一模)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多销售2件. (1)商场若想每天盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？ 解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40－x)元，每天可以售出(20＋2x)件. 由题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200， 即(x－10)(x－20)＝0. 解得x1＝10，x2＝20. 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，x的值应为20， ∴商场若想每天盈利1 200元，每件衬衫应降价20元. 18 17 16 15 (2)问在这次活动中，商场平均每天能否获利1 500元？若能，求出每件衬衫应降多少元；若不能，请说明理由. 解：不能，理由如下：令(40－x)(20＋2x)＝1 500， 整理，得x2－30x＋350＝0. Δ＝302－4×1×350＝－500＜0， 即该方程无解，∴在这次活动中，商场平均每天不能获利1 500元. 18 17 16 15 19.(2024河北)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝(　　) A.1 B.－1 C.＋1 D.1或＋1 中 考 创 新 练 C 20 19 20.(2024黔东南州榕江县校级一模)如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为(　　) A.1 B.1或2 C.2 D.2或3 C 20 19 $$