2025年贵州省九年级中考数学一轮复习课件：第15讲二次函数的实际应用

第三章　函数 第15讲　二次函数的实际应用 数据剖析 分层突破 1 重难考点突破 1 例1 一、利润问题 例1 第二十二届世界杯足球赛于2022年11月20日在卡塔尔境内举行.某经销商购进了一批以足球世界杯为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元.根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，每日销售量是500件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件. (1)不妨设该批文化衫的销售单价为x元(x＞40，且x是整数)，请你分别用含x的代数式来表示销售量y(件)和销售该批文化衫获得的总利润w(元)； 思路指引：根据题意找函数关系“销售量y＝500－少售出的数量”，“总利润＝(售价－成本)×销售量”，列出函数关系式； 1 例1 解：销售量y＝500－10(x－40)＝900－10x.　总利润w＝(900－10x)(x－30)＝－10x2＋1 200x－27 000. (2)在(1)问条件下，若经销商获得了8 000元销售利润，则该文化衫销售单价应为多少元？ 思路指引：根据题意，总利润为8 000，令W＝8 000，解方程即可，最后要注意符合题意； 1 例1 解：根据题意，得－10x2＋1 200x－27 000＝8 000，即x2－120x＋3 500＝0，解得x1＝50，x2＝70. 答：若经销商获得了8 000元销售利润，则该文化衫销售单价应为50元或70元. (3)在(1)问条件下，若经销商规定该文化衫销售单价不低于44元，且商场要完成不少于350件的销售任务，则该经销商销售该文化衫获得的最大利润是多少？ 思路指引：①根据销售单价以及销售任务，先确定自变量的取值范围；②通过配方法将函数关系式化为顶点式，根据函数增减性求得在自变量范围内的最大值. 1 例1 解：∵900－10x≥350，∴x≤55.又∵文化衫销售单价不低于44元，∴44≤x≤55. w＝－10x2＋1 200x－27 000＝－10(x－60)2＋9 000.∵a＝－10＜0，对称轴为直线x＝60，∴当44≤x≤55时，w随x增大而增大.∴当x＝55时，w的最大值为8 750. 答：该经销商销售该文化衫获得的最大利润为8 750元. 1 例1 对应练习 1.某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数).当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件. 1 例1 (1)求y与x之间的函数关系式； 1 例1 解：设每天的销售量y(件)与每件售价x(元)的函数关系式为y＝kx＋b.由题意，可得解得∴y与x之间的函数关系式为y＝－5x＋150. (2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ 1 例1 解：(－5x＋150)(x－8)＝425，即x2－38x＋325＝0，解得x1＝13，x2＝25(不合题意，舍去).答：若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元. (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元)，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 1 例1 解：w＝(－5x＋150)(x－8)＝－5x2＋190x－1 200＝－5(x－19)2＋605.∵8≤x≤15，且x为整数，a＝－5＜0，对称轴为直线x＝19.∴当x＜19时，w随x的增大而增大.∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525. 答：当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是 525元. 二、抛物线型问题 例2 某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25 m.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m. 2 例2 (1)建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线(第一象限部分)的表达式； 思路指引：借助顶点式y＝a(x－h)2＋k，根据题意代入顶点坐标和点A坐标求出表达式； 2 例2 解：由题意，可知抛物线的顶点坐标为(1，3)，∴设 抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋3(x≥0). 将(0，2.25)代入，得a(0－1)2＋3＝2.25，解得a＝－. ∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋3(x≥0). (2)不考虑其他因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？ 思路指引：由(1)中函数表达式找到其图象与x轴交点坐标的横坐标即可； 2 例2 解：令y＝0，得0＝－(x－1)2＋3，解得x＝－1(不合题意，舍去)或x＝3.∵2×3＝6(m)，∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外. (3)实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5 m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度. 思路指引：由题意不难发现调整后的函数表达式是由(1)中表达式向下平移得到的，只需设出平移后的表达式代入点(2.5，0)，即可求解. 2 例2 解：将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点(2.5，0)，设平移后的抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋h，将(2.5，0)代入，得－×(2.5－1)2＋h＝0，解得h＝.当x＝0时，y＝－×(0－1)2＋＝.∴调整后水管的最大长度为m. 2 例2 对应练习 2.【情境题】青岛方特梦幻王国位于美丽的山东省青岛市红岛海滨，由深圳华强集团投资兴建.火流星是其经典项目之一.如图所示，F→E→G为火流星过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线.其中OE＝米，OF＝米(轨道厚度忽略不计). 2 例2 (1)求抛物线F→E→G的函数关系式； 2 例2 解：由题图，可知E，F，设抛物线F→E→G的表达式为y＝a，把F代入，得＝a，解得a＝.∴抛物线F→E→G的函数关系式为y＝. (2)在轨道距离地面5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了米至K点，又进入下坡段K→H(K接口处轨道忽略不计).已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，求OH的距离； 2 例2 解：当y＝5时，5＝，解得x1＝，x2＝.∴P，G.∴PG＝－＝＝5(米).∵抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，∴抛物线K→H→Q是由抛物线P→E→G向右平移(PG＋GK)个单位长度得到的.∴抛物线K→H→Q为y2＝(x－－5－)2＝(x－10)2.令y＝0，则x＝10，∴OH＝10米. 2 例2 (3)现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架CM，DN，AM，BN，且要求OA＝AB.已知这种材料的价格是80 000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？ 2 例2 解：设OA＝AB＝a，则A(a，0)，B(2a，0)，yM＝＝a2－5a＋，yN＝＝a2－10a＋，∴l＝AM＋CM＋BN＋DN＝a2－5a＋＋a＋a2－10a＋＋2a＝4a2－12a＋＝4＋.∵4＞0，∴抛物线开口向上，有最小值.∴当a＝时，l最短，最短为米.80 000×＝530 000(元).∴当OA＝AB＝时，造价最低，最低造价为530 000元. 2 例2 三、其他问题 例3 据统计每年汽车追尾而造成的交通事故占交通事故总数的70％以上.注意车速、保持车距是行车安全中必须遵守的.某公路上正在行驶的甲车，发现前方20 m处的乙车低速行驶，则甲车刹车减速，减速后甲车行驶的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系如下表所示. 3 例3 时间t(单位：s) 0 1 2 3 4 …… 行驶的路程s(单位：m) 0 15 28 39 48 …… (1)根据所得数据中甲车行驶的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的变化规律，利用初中所学函数知识求出s与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； 思路指引：用待定系数法求二次函数表达式，再化为顶点式结合题意可得出t的取值范围； 3 例3 解：由题表数据可知s与t之间是二次函数关系，并且图象经过原点.设二次函数表达式为s＝at2＋bt，∵二次函数经过(1，15)，(2，28)，则解得∴二次函数表达式为s＝－t2＋16t，顶点式为s＝－(t－8)2＋64. ∴当t＝8时，行驶路程达到最大值64米，即停止前进，则t的取值范围为0≤t≤8. 3 例3 (2)若乙车以4 m/s的速度匀速行驶，甲车是否与乙车发生追尾？若发生追尾，请计算出时间t的值；若能避免发生追尾事故，请说明原因. 思路指引：根据路程关系结合追击的情况“乙的路程＋甲、乙相距的20 m＝甲的路程”，此时发生追尾，列出方程求解即可. 3 例3 解：甲车与乙车会发生追尾.由题意，可得s乙＋20＝s甲，∴4t＋20＝－t2＋16t，解得t1＝2或t2＝10.∵0≤t≤8，∴t＝2. 答：2秒后，甲车会与乙车发生追尾. 对应练习 3.深圳地铁是深圳市的城市轨道交通系统.截至2022年12月28日，深圳地铁运营里程为547.12千米(如图1)，其中深圳地铁6号线是经过光明区的第一条地铁线，于2020年8月18日开通运营.小颖同学乘坐6号线从红花山站去公明广场站，她了解到列车车头从距离停车线256米处开始减速，可恰好停在停车线上.她想知道列车从减速开始经过多长时间停下来. 3 例3 为了解决这个问题，小颖通过建立函数模型来描述列车车头离停车线的距离s(米)与滑行时间t(秒)之间的关系，再用函数的知识解决问题.她收集了部分数据并制成表格： 3 例3 t(秒) 0 4 8 12 16 20 24 … s(米) 256 196 144 100 64 36 16 … (1)①根据小颖收集的数据，在图2的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线依次连接； 3 例3 解：①描点，连线如图所示. ②观察这条曲线的形状，它可能是我们学习过的________的图象； A.一次函数　B.二次函数　C.反比例函数 3 例3 B　 (2)求出你所画的函数图象的表达式(需写出必要的解答过程)； 3 例3 解：设s与t的函数表达式为s＝at2＋bt＋c，将点(0，256) 代入，得c＝256，将(4，196)，(8，144)代入s＝at2＋bt ＋256中，得 解得∴所画的函数图象的表达式为s＝t2－16t＋256. (3)计算：列车从减速开始经过________秒后列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为____米. 3 例3 32　 　　 数据链接 真题试做 2 命题点 二次函数的实际应用 命题点 二次函数的实际应用(8年5考) 4 3 2 1 1.(2024贵州24，12分)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值. 销售单价x/元 …… 12 14 16 18 20 …… 销售量y/盒 …… 56 52 48 44 40 …… 4 3 2 1 (1)求y与x的函数表达式； 解：设y＝kx＋b(k≠0)，将(12，56)，(14，52)代入，得解得 ∴y＝－2x＋80. 4 3 2 1 (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 解：设日销售利润为w元. w＝(x－10)(－2x＋80)＝－2x2＋100x－800＝－2(x2－50x＋625)－800＋1 250＝－2(x－25)2＋450.∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元. 4 3 2 1 (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值. 解：w＝(x－10－m)(－2x＋80)＝－2x2＋(100＋2m)x－800－80m.∵最大利润为392元， ∴＝392. 整理得m2－60m＋116＝0.解得m1＝2，m2＝58. 当m＝58时，x＝－＝54，∴每盒糖果的利润＝54－10－58＝－14(元). ∴舍去.∴m＝2. 2.(2023贵州24，12分)如图1，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分(如图2所示)，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1. 4 3 2 1 (1)求抛物线的表达式； 4 3 2 1 解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋9，把点A(3，0)代入，得9a＋9＝0，解得a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋9. (2)如图2，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标； 4 3 2 1 解：如图，作点A关于y轴的对称点A'(－3，0)，连接A'B交OC于点P，则点P即为所求.把x＝1代入y＝－x2＋9，得y＝8，∴B(1，8). 设直线A'B的表达式为y＝kx＋m， ∴解得 ∴直线A'B的表达式为y＝2x＋6.令x＝0，得y＝6，∴点P的坐标为(0，6). (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝－x2＋2bx＋b－1(b＞0)，当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9.求b的取值范围. 4 3 2 1 解：y＝－x2＋2bx＋b－1＝－(x－b)2＋b2＋b－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝b，顶点坐标为(b，b2＋b－1). ①当0＜b≤4时，∵4≤x≤6，∴y随x增大而减小，即x＝6时最小值为－62＋12b＋b－1≥9，解得b≥，∴≤b≤4；②当4＜b＜6时，由b－4＞6－b，得b＞5，∴x＝4时最小值为－42＋8b＋b－1≥9，解得b≥.∴5＜b＜6； 由b－4≤6－b，得b≤5，∴－62＋12b＋b－1≥9，解得b≥，∴4＜b≤5；∴当4＜b＜6时，都成立；③当b≥6时，得－42＋8b＋b－1≥9，解得b≥，∴b≥6都成立. 综上所述，b的取值范围为b≥. 4 3 2 1 3.(2020贵阳24，12分)2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9＜x≤15) 4 3 2 1 时间x (分钟) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15 人数y (人) 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 (1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式； 4 3 2 1 解：由题表中数据的变化趋势，可知①当0≤x≤9时，y是x的二次函数，∵当x＝0时，y＝0，∴二次函数的关系式可设为y＝ax2＋bx.由题意，可得解得∴二次函数关系式为y＝－10x2＋180x.②当9＜x≤15时，y＝810.∴y与x之间的函数关系式为y＝ (2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？ 4 3 2 1 解：设第x分钟时的排队人数为w人，由题意，可得w＝y－40x，w＝①当0≤x≤9时，w＝－10x2＋140x＝－10(x－7)2＋490，∴当x＝7时，w的最大值为490；②当9＜x≤15时，w＝810－40x，w随x的增大而减小，∴210≤w＜450.∴综上，排队人数最多时有490人. 要全部考生都完成体温检测，根据题意，得810－40x＝0，解得x＝20.25. 答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟. 4 3 2 1 (3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？ 4 3 2 1 解：设从一开始就应该增加m个检测点，由题意，得12×20(m＋2)≥810，解得m≥.∵m是整数，∴m的最小整数是2.答：一开始就应该至少增加2个检测点. 4.【情境题】(2024黔东南州从江县校级一模)近年来，贵阳 积极推进农业现代化发展，利用“大数据＋农业“思维构建 标准化、智能化育种体系，将数据采集、智能温控等信息技 术引入农业生产，实现标准化管理，提高农业生产的质量和 效益.如图1，小强家的菜地上有一个长为20米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y(米)与其离墙体A的水平距离x(米)之间的关系满足y＝－x2＋bx＋c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为5米. 补充考法 4 3 2 1 (1)求b，c的值； 4 3 2 1 解：由题意，得点A(0，1)，点B(5，2)，将A，B坐标代入y＝－x2＋bx＋c， ∴解得 (2)求大棚的最高处到地面的距离； 4 3 2 1 解：由(1)得y＝－x2＋x＋1＝－(x－3)2＋，∴当x＝3时，y有最大值. 答：大棚最高处到地面的距离为米. (3)小强的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要5根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 4 3 2 1 解：令y＝－x2＋x＋1＝，∴x1＝，x2＝. 又∵0≤x≤5，∴x＝.∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为5－＝(米).又∵大棚的长为20米，∴需要搭建支架部分的土地面积为20×＝90(平方米)，需要竹竿为90×5＝450(根). 答：共需要准备450根竹竿. $$