2025年贵州省九年级中考数学一轮复习课件：第14讲二次函数的图象与性质

第三章　函数 第14讲　二次函数的图象与性质 数据聚焦 考点梳理 1 二次函数的图象与性质 二次函数的性质 表达式 一般式 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0) 顶点式 y＝a(x－h)2＋k (a，h，k是常数，a≠0) 交点式 y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标 对称轴 直线x＝①____ 直线x＝②____ 直线x＝③________ － h 　 二次函数的图象与性质 二次函数的性质 最值 a＞0时，y有最小值 当x＝－时，y的最值为④________ 当x＝h时，y的最值为⑤_______ 当x＝时，y取得最值 a＜0时，y有最大值   顶点坐标 －， ⑥________ 横坐标为x＝，纵坐标为x＝时y的值 　 k (h，k) 【满分技法】当a＞0时，点与对称轴距离越远，y值越大；当a＜0时，点与对称轴距离越近，y值越大. 二次函数的图象与性质 二次函数的性质 增减性 当a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而⑦_________；在对称轴右侧，y随x的增大而⑧__________ 当a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而⑨_________；在对称轴右侧，y随x的增大而⑩__________ 减小 增大 增大 减小 1.二次函数图象的平移 二次函数的图象与性质 二次函数图象的平移 2.抛物线顶点式的平移 【易错提示】点坐标的平移规律是“左减右加，上加下减”，函数图象的平移规律是“左加右减，上加下减” ，不要弄混. 二次函数的图象与性质 二次函数图象的平移 二次函数的图象与性质 二次函数图象与系数a，b，c的关系 字母或代数式 符号 图象特征 a决定开口方向 a＞0 开口向⑰________ ｜a｜越大，开口越⑲_____ a＜0 开口向⑱________ a，b决定对称 轴的位置 ab＞0 对称轴在y轴⑳________侧 ab＜0 对称轴在y轴㉑________侧 上　 下 小 左 右 二次函数的图象与性质 二次函数图象与系数a，b，c的关系 字母或代数式 符号 图象特征 c决定抛物线与y轴 交点的位置 c＝0 经过原点 c＞0 与y轴㉒________半轴相交 c＜0 与y轴㉓________半轴相交 b2－4ac决定抛物 线与x轴交点的个数 b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点) b2－4ac＞0 与x轴有㉔__________交点 b2－4ac＜0 与x轴没有交点 正 负 两个 二次函数的图象与性质 二次函数图象与系数a，b，c的关系 字母或代数式 符号 图象特征 与a，b有关， 找对称轴 看到2a＋b，比较－与㉕_______的大小； 看到2a－b，比较－与㉖_________的大小 对称轴为x＝1，且开口向下时，有a＋b㉗_____am2＋bm； 对称轴为x＝－1，且开口向上时，有 a－b㉘_____am2＋bm 与a，b，c有关，对x赋值 看到a＋b＋c，令x＝㉙_______，看y的值； 看到a－b＋c，令x＝㉚_________，看y的值 看到4a＋2b＋c，令x＝2，看y的值； 看到4a－2b＋c，令x＝－2，看y的值 1 －1 ≥ ≤ 1　 －1 二次函数 与一元 二次方程 的关系 二次函数的图象与性质 二次函数图象与系数a，b，c的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 方程有两个不相等的实数根⇔b2－4ac＞0⇔抛物线与x轴有㉛________个交点 方程有两个相等的实数根⇔b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴有㉜________个交点 方程无实数根⇔b2－4ac＜0⇔抛物线与x轴有㉝___个交点 两　 一 零 抛物线在x轴上方部分⇔ax2＋bx＋c＞0的解集⇔x＜x1或x＞x2 抛物线在x轴下方部分⇔ax2＋bx＋c＜0的解集⇔x1＜x＜x2 二次函数的图象与性质 二次函数与不等式的关系 抛物线在x轴上方部分⇔ax2＋bx＋c＞0的解集⇔㉞_______________ 抛物线在x轴下方部分⇔ax2＋bx＋c＜0的解集⇔㉟__________________ x1＜x＜x2 x＜x1或x＞x2 二次函数的图象与性质 二次函数与不等式的关系 【拓展延伸】当a＞0，Δ＜0时，二次函数图象在x轴的上方⇔函数值恒正； 当a＜0，Δ＜0时，二次函数图象在x轴的下方⇔函数值恒㊱________. 负 二次函数的图象与性质 求二次函数表达式 1. 二次函数表达式的确定 已知条件 所设表达式 抛物线上任意三点 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点＋任意一点 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 对称轴＋最值＋任意一点 与x轴的两交点＋任意一点 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 二次函数的图象与性质 求二次函数表达式 2. 图象翻折、旋转后的二次函数表达式 表达式 变换方式 变换后的a 变换后的顶点 变换后的表达式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 沿x轴翻折 a变为原来的相反数 顶点(h，－k) y＝－a(x－h)2－k 沿y轴翻折 a不变 顶点(－h，k) y＝a(x＋h)2＋k 绕顶点旋转180° a变为原来的相反数 顶点不变 y＝－a(x－h)2＋k 绕原点旋转180° a变为原来的相反数 顶点(－h，－k) y＝－a(x＋h)2－k 数据剖析 分层突破 2 基础能力过关 例1 一、二次函数图象与性质 例1 已知函数y＝x2，y＝(x＋2)2＋2和y＝(x＋2)2－3. (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； 解：y＝x2，y＝(x＋2)2＋2和y＝(x＋2)2－3的图象如图所示. (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； 例1 解：函数y＝x2的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0，0)；函数y＝(x＋2)2＋2的图象开口向上，对称轴是直线x＝－2，顶点是(－2，2)；函数y＝(x＋2)2－3的图象开口向上，对称轴是直线x＝－2，顶点是(－2，－3). (3)试讨论函数y＝(x＋2)2－3的性质. 例1 解：函数y＝(x＋2)2－3的性质：①开口方向向上；②对称轴直线x＝－2；③顶点(－2，－3)；④当x＞－2时，y随x的增大而增大；当x＜－2时，y随x的增大而减小；当x＝－2时，函数y有最小值－3. 易错提示 三条抛物线的形状应相同；在顶点式y＝(x－h)2＋k中对称轴是直线x＝h. 例1 例2 已知二次函数y＝－x2＋2x＋2. (1)填写表中空格处的数值； 例2 x … －1 0 1 _______ 3 … y＝－x2＋2x＋2 … _________ _______ _______ 2 －1 … 2 －1 2 3 (2)根据上表，画出这个二次函数的图象； 例2 解：二次函数的图象如图所示. (3)根据表格和图象，当0＜x＜3时，y的取值范围是_______________； (4)根据图象，当x_________时，y随x的增大而增大； (5)若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为________________； (6)点P(x1，n)，Q(x2，n)都在抛物线上， 则x1＋x2＝_______. 例2 －1＜y≤3　 ＜1 y3＜y1＜y2　 2 二、确定二次函数的表达式 例3 根据下列条件，分别求抛物线对应的函数表达式. (1)抛物线的顶点坐标为(1，3)，且过点(2，1)； 例3 解：设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋3，把(2，1)代入得a(2－1)2＋3＝1，解得a＝－2.∴抛物线表达式为y＝－2(x－1)2＋3. (2)抛物线经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点； 例3 解：设抛物线表达式为y＝a(x－4)(x＋2)，把(0，3)代入得a×(－4)×2＝3，解得a＝－. ∴抛物线表达式为y＝－(x－4)(x＋2)，即y＝－x2＋x＋3. (3)当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，函数的最小值为4，且图象经过点(3，6)； 例3 解：根据题意，得抛物线的对称轴为直线x＝1.∵函数的最小值为4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4).设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋4，把(3，6)代入得a(3－1)2＋4＝6，解得a＝. 所以抛物线表达式为y＝(x－1)2＋4. (4)对称轴为直线x＝的抛物线经过点A(6，0)，B(0，－4). 例3 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，且过点A(6，0)，设抛物线与x轴的另一交点为(m，0)，∴＝，解得m＝1.∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1，0).设抛物线表达式为y＝a(x－1)(x－6)，把(0，－4)代入得a×(－1)×(－6)＝－4，解得a＝－.所以抛物线表达式为y＝－(x－1)(x－6)，即y＝－x2＋x－4. 二次函数图象与系数a，b，c的关系 例4 在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0；②a－b＝0；③9a＋3b＋c＞0；④b2＞4ac；⑤a＋c＜b.其中正确的有(　　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 2 1 例4 重难考点突破 B 方法指导 二次函数图象与a，b，c的关系问题处理思路： 1.确定a，b，c符号，判断abc. 2.与a，b有关，找对称轴. 3.与a，b，c有关，对x赋特殊值. 4.与b2－4ac有关，考虑函数图象与x轴交点情况. 5.与有关，考虑顶点位置. 2 1 例4 对应练习 1.(2024贵阳南明区校级二模)已知二次函数y＝－x2＋ax＋3图象的对称轴为直线x＝2，关于x的方程－x2＋ax＋3－m＝0(m为实数)在－1＜x＜3的范围内有实数根，则m的取值范围是(　　) A.6≤m＜7　　　　　 B.m＜7 C.－2≤m＜6 D.－2＜m≤7 2 1 例4 D 2. (2024遵义红花岗区一模)如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下，弹簧的初始长度为12 cm).从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变)，得到小球的速度v(cm/s)和弹簧被压缩的长度△l(cm)之间的关系图象如图2所示.根据图象，下列说法正确的是(　　) A.小球从刚接触弹簧就开始减速 B.当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C.当小球的速度最大时，弹簧的长度为2 cm D.当小球下落至最低点时，弹簧的长度为6 cm 2 1 例4 D 数据链接 真题试做 3 二次函数的图象与系数a，b，c的关系 命题点2 命题点1 二次函数的图象与性质 命题点3 二次函数与方程、不等式的关系 命题点1 二次函数的图象与性质(8年5考) 5 4 3 2 1 1.(2021贵阳13，4分)二次函数y＝x2的图象开口方向是__________(填“向上”或“向下”). 向上 拓展考法 2.若一个函数的图象关于y轴对称，则称这个函数为偶函数，如二次函数y＝－x2是偶函数.若二次函数y＝2x2＋(3－a)x＋8是偶函数，则a的值为_______. 5 4 3 2 1 3 命题点2 二次函数的图象与系数a，b，c的关系(8年2考) 3.(2023贵州10，3分)已知，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P(a，b)所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5 4 3 2 1 D 4.二次函数y＝－x2＋bx＋c，若b＋c＝0，则它的图象一定过点(　　) A.(－1，1)　　　　　　 B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1) 5 4 3 2 1 拓展考法 B 命题点3 二次函数与方程、不等式的关系(8年3考) 5 4 3 2 1 5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(－3，0)与(1，0)两点，关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0(m＞0)有两个根，其中一个根是3.则关于x的方程ax2＋bx＋c＋n＝0(0＜n＜m)有两个整数根，这两个整数根是(　　) A.－2和0 　　B.－4和2 C.－5和3 　　D.－6和4 B $$