精品解析：广东省韶关市曲江区曲江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中考试卷 高二年级数学科试卷 考试时间：2024年11月5日 考生注意： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.请在答题卡上填清楚考场号､座位号､考号､姓名､班级. 3.考试结束交答题卡. 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 复数在复平面上的对应点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可求解. 【详解】由题可知， 所以复数对应的点为在第四象限， 故选:D. 2. 若直线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 或0. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线垂直的关系求解即可； 【详解】由题意可得，解得， 故选：B. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于什么对称什么不变来解答. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为 故选：C. 4. 已知向量和的夹角为，且，则（ ） A. 12 B. C. 4 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 5. 某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可求得该组数据的第百分位数. 【详解】数据、、、、、、、、、共个数， 因为，因此，该组数据的第百分位数为. 故选：C. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据每个选项中给出的直线与平面的关系，运用相应的定理来判断结论是否正确. 【详解】对于A，若，则，该选项正确； 对于B，若，则或 与相交，该选项错误； 对于C，若，则或，该选项错误； 对于D，若，则或，该选项错误； 故选：A. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】由图象平移的性质得到即可； 【详解】由题意可得，所以函数的图象向右平移个单位长度可得. 故选：D. 8. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，分别为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，求出，利用线线角的向量法，即可求出结果. 【详解】取中点O,连接如图以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 又分别为母线的中点，所以， 则， 设异面直线和所成角为， 则， 又因为，所以. 故选：C. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项是正确的，全对得6分，部分答对得部分分，有错得0分） 9. 已知，若直线与线段相交，则m的值可能为（ ） A. B. 4 C. 10 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出直线经过的定点，然后求出直线、的斜率，根据题意列出不等式求解即可. 【详解】由，得， 令得 则直线过定点． 直线的斜率， 因为直线的斜率，直线的斜率， 所以或， 解得或． 故选：BC. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示得出向量夹角判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量判断C；得出向量共面判断D. 【详解】对于A：设向量与向量的夹角为，则，又因为，所以，A选项正确； 对于B：因为,，所以，B选项正确； 对于C：向量在向量上的投影向量为，C选项错误； 对于D：因为向量，所以，得出向量与向量共面，D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知函数为奇函数，且，当时，，则（    ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由函数是奇函数，它的图像关于点对称，由平移可得的图象关于点对称；对于B，由函数轴对称的性质可得；对于C，由已知及奇函数的定义，赋值推导即可得到的最小正周期是否为2；对于D，由当时，，及函数的对称性和周期性，可得，则可得，即可求得结果. 【详解】对于A：因为函数是奇函数，所以的图像关于点对称， 又函数的图像向右平移1个单位可得到函数的图像， 所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B：因为，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：由的图象关于点对称，，， 则，所以的最小正周期不可能为2，故C错误； 对于D：因为当时，，所以，， 因为的图象既关于点对称，又关于直线对称， 所以，， 又因为函数是奇函数，所以， 又，则， 则，则， 所以的一个周期为， 所以，所以， 所以 ，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，则甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件同时发生的概率乘法公式及对立事件的概率公式得解. 【详解】由题意，甲没有通过面试的概率， 乙没有通过面试的概率， 所以甲、乙都没有通过面试的概率为， 所以甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是. 故答案为： 13. 在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】如图建立空间直角坐标系，用向量法进行求解即可 【详解】如图示，以为原点，为轴建立坐标系， 则, 所以, 所以在上的投影为， 所以点点到直线的距离是 ， 故答案为： 14. 如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接表示各向量，利用转化法可得向量数量积. 【详解】， ； 由题意易知， 则，， 则 ． 故答案为：2 四､解答题（本题共5大题，共77分，每题写出必要的步骤和文字说明） 15. 已知直角中，点，，在轴上. （1）求点的坐标； （2）求斜边中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直求直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，最后令可求点坐标. （2）先确定斜边的中点，利用两点式写出斜边中线的方程，再化简即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以. 所以直线的方程为，即. 令，可得. 所以点的坐标为. 【小问2详解】 的斜边为，设中点为，则. 所以直线的方程为：，即. 所以斜边中线所在直线的方程为. 16. 如图，在三棱柱中，，，两两垂直，，，，D为的中点，以点A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 依题意可得，，，，，，， 则，， 所以， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）求出，，利用数量积的坐标表示求出，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，， 设平面的法向量为， 则，取， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求的值； （2）估计家庭消费总支出的第75百分位数． （3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率． 【答案】（1）； （2）85； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1即可得解； （2）先判断第75百分位数所在区间，然后根据在区间内的矩形面积等于即可得解； （3）先根据分层抽样确定，内所抽取的人数，然后使用列举法，结合古典概型概率公式可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， ． 【小问2详解】 因为前3组的频率之和， 前4组的频率之和， 所以第75百分位数，则， 解得 所以，第75百分位数为85． 【小问3详解】 因为组的频率为，组的频率为， 所以由分层抽样可知，组抽取了人，设为A、B， 从组抽取了人，设为， 则从这6人中随机抽取2人的样本点有： 共15种， 满足来自同一组的有共7种， 所以所抽取的2人来自同一组的概率是. 18. 已知函数. （1）求在上的单调递增区间； （2）已知的内角的对边长分别是，若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式以及两角差的正弦公式逆用将函数化简，再根据正弦函数的单调性求出单调区间； （2）根据已知条件求出角，再结合余弦定理以及重要不等式可求得的最值，再根据三角形的面积公式求得面积的最值. 【小问1详解】 ， 令， 求得，又， 当时，， 所以在上的单调递增区间是； 【小问2详解】 由（1）可得，因为， 所以，化简得， 所以，因为，所以， 根据余弦定理，，， 所以，因为， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积， 则，面积的最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状. 【答案】（1） 如图， 过E作交于点G,连接, 面，面，则， 又面，面，且不共线，故， 因为为的中点，所以也为中点，又为的中点，所以， 而平面，平面，所以平面，同理平面， 又因为，平面， 所以平面平面，而平面, 所以平面； （2） 存在，, 理由如下： 设如图, 以点A为原点建立空间直角坐标系, 则， 故， 则， 设平面的法向量 ,则有 ,取 , 整理得 , 解得 或(舍去)， 所以当时, 直线与平面所成角的正弦值是. （3） 存在， 由（2）知，平面的一个法向量， 点中点，则, 则中点到平面的距离为， 由，即故在以中点为球心，半径为的球面上， 而，故在面上的轨迹是半径为的圆， 故存在符合题意的， 此时轨迹是半径为 的圆. 【解析】 【分析】（1）过E作交于点G,连接,由线线平面证明面面平行，再由面面平行的性质即可得出线面平行的证明； （2）先求出面的法向量，设 , 利用向量法结合线面角得正弦值求解即可; （3）由 点在空间内轨迹为以中点为球心, 为半径的球,而 中点到平面的距离为 , 即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，根据题设有则在以中点为球心，半径为的球面上，再求中点到面距离，结合直观想象及计算确定在面上的轨迹. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中考试卷 高二年级数学科试卷 考试时间：2024年11月5日 考生注意： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.请在答题卡上填清楚考场号､座位号､考号､姓名､班级. 3.考试结束交答题卡. 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 复数在复平面上的对应点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若直线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 或0. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量和的夹角为，且，则（ ） A. 12 B. C. 4 D. 13 5. 某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，分别为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项是正确的，全对得6分，部分答对得部分分，有错得0分） 9. 已知，若直线与线段相交，则m的值可能为（ ） A. B. 4 C. 10 D. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 11. 已知函数为奇函数，且，当时，，则（    ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为2 D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，则甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是__________. 13. 在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离是________． 14. 如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是__________. 四､解答题（本题共5大题，共77分，每题写出必要的步骤和文字说明） 15. 已知直角中，点，，在轴上. （1）求点的坐标； （2）求斜边中线所在直线的方程. 16. 如图，在三棱柱中，，，两两垂直，，，，D为的中点，以点A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求的值； （2）估计家庭消费总支出的第75百分位数． （3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率． 18. 已知函数. （1）求在上的单调递增区间； （2）已知的内角的对边长分别是，若，求面积的最大值. 19. 如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $