2025年贵州省九年级中考数学一轮复习课件：第3讲整式与因式分解

第一章 数与式 第3讲　整式与因式分解 数据聚焦 考点梳理 1 整式与因式分解 代 数 式 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式 列代数式：关键是找出问题中的数量关系及公式，其次用含有数字，字母和运算符号的式子表示出来 代数式 求值 直接代入法：把已知字母的值直接代入运算 整体代入法 (1)观察已知条件和所求代数式的关系 (2)将所求代数式变形后与已知代数式成倍数或分数关系，一般会用到提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法进行变形 (3)把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值 整式与因式分解 整 式 的 相 关 概 念 单项式 概念 表示数或字母的①________的代数式叫作单项式.单独的一个数或一个②__________也是单项式 系数 单项式中的数字因数 　   次数 一个单项式中，所有字母的③______________   积 字母 指数的和 整式与因式分解 整 式 的 相 关 概 念 多 项 式 项 多项式中的每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项 次数 多项式里，④________________项的次数，如2a3＋b＋3c的次数是3 整式 单项式与多项式统称整式 同类项 所含字母⑤__________，并且相同字母的⑥________也相同的项叫作同类项(几个常数项也是同类项) 次数最高的　 相同 指数 括号前是“＋”号，去括号时，括号内各项不变号：a＋(b－c)＝a＋b－c 括号前是“－”号，去括号时，括号内每一项都变号：a－(b－c)＝a－b＋c 整式与因式分解 整式的 加减 合并同类项：系数相加作为新的系数，字母和字母的⑦_______不变 去括号法则 指数 幂的运算(m，n为正整数) 整式与因式分解 运算 法则 表示 同底数幂相乘 底数不变，指数相加 am·an＝⑧__________ 同底数幂相除 底数不变，指数相减 am÷an＝⑨_________ (a≠0，m＞n) 幂的乘方 底数不变，指数相乘 (am)n＝⑩_________ 积的乘方 先把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 (ab)n＝⑪__________ am＋n am－n amn　 anbn 幂的运算(m，n为正整数) 整式与因式分解 【易错提示】遇到幂的乘方时，需注意： ①当括号内有“－”号时，(－am)n＝ ②当含有系数时，一定也要给系数进行乘方运算. －amn(n为奇数)， amn(n为偶数)； 整式与因式分解 整 式 的 运 算 整 式 的 乘 除 乘 法 运 算 单项式乘 单项式 把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘 多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即p(a＋b＋c)＝⑫________________ 多项式乘 多项式 用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a＋b)(p＋q)＝ ⑬____________________ 乘法公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑭____________ 完全平方公式：(a±b)2＝⑮_________________ pa＋pb＋pc ap＋bp＋aq＋bq a2－b2 a2±2ab＋b2 整式与因式分解 整 式 的 运 算 整 式 的 乘 除 除 法 运 算 单项式除以单项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即(am＋bm)÷m＝ ⑯__________ 【易错提示】整式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行计算. a＋b 整式与因式分解 整 式 的 运 算 因式分解 概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式 基 本 方 法 (1)提公因式法：pa＋pb＋pc＝⑰________________ (2)公式法 平方差公式：a2－b2 ⑱__________________ 完全平方公式：a2±2ab＋b2 ⑲_____________ 【知识拓展】十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q). p(a＋b＋c) (a＋b)(a－b) (a±b)2 整式与因式分解 整 式 的 运 算 因式分解 一 般 步 骤 一提：有公因式，先提公因式 二套：无公因式，用公式法.对于两项且符号相反，考虑用平方差公式；对于三项，考虑用完全平方公式 三查：检查分解是否彻底，必须分解到每一个因式都不能分解为止，且最后结果是积的形式 【易错提示】因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式，两者不要混淆. 数据剖析 分层突破 2 基础能力过关 例1 整式化简及求值 例1 整式化简求值. (1)已知5x2－x－2＝0，求代数式(2x＋1)(2x－1)＋x(x－1)的值； 解：(2x＋1)(2x－1)＋x(x－1)＝4x2－1＋x2－x＝5x2－x－1. ∵5x2－x－2＝0，∴5x2－x＝2. ∴原式＝2－1＝1. (2)已知x－y＝－2，xy＝3，求x2y－xy2的值. 解：x2y－xy2＝xy(x－y)， ∵x－y＝－2，xy＝3， ∴原式＝3×(－2)＝－6. 例1 一、整式问题的几何应用 例2 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的小长方形，且a＞b. (1)观察图形，可以发现代数式2a2＋5ab＋2b2可以因式分解为____________________； 1 例2 重难考点突破 (2a＋b)(2b＋a) (2)若图中空白部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为30厘米，求图中阴影部分的面积. 1 例2 解：由题意，得解得 ∴阴影部分的面积为2a2＋2b2＝2×42＋2×12＝34(平方厘米). 答：图中阴影部分的面积为34平方厘米. 对应练习 1.把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形按不同的方式拼成如图1所示的正方形和如图2所示的大长方形，由两图形中阴影部分面积之间的关系正好可以验证下面等式的正确性的是(　　) A.a2－b2＝(a＋b)(a－b) B.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D.(a＋b)2－(a－b)2＝4ab 1 例2 D 二、规律探索 例3 研究下列算式，你会发现什么规律？ 1×3＋1＝4＝22， 2×4＋1＝9＝32， 3×5＋1＝16＝42， 4×6＋1＝25＝52， … 2 3 1 例3 (1)请你找出规律并计算：7×9＋1＝________＝(___)2； (2)用含有n的式子表示上面的规律：_____________________________； (3)用找到的规律解决下面的问题： ××××…×(1＋)＝____. 2 3 1 例3 64 8 n(n＋2)＋1＝n2＋2n＋1＝(n＋1)2 　　 方法指导 规律探索题的解题方法：(1)标序号；(2)分析各式或图形中“变”与“不变”的规律－－重点分析怎样变，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析；(3)根据各式或图形中的“变”或“不变”写出符合规律的式子. 2 3 例3 2.将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，…，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是(　　) A.52 B.67 C.84 D.101 对应练习 2 3 例3 C 3.如图，将正整数按此规律排列成数表，则2 025分布在表中的第________行. 2 3 例3 64　 数据链接 真题试做 3 整式的运算 命题点2 命题点1 列代数式及求值 命题点3 因式分解 命题点1 列代数式及求值 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1.(2022六盘水)已知(x＋y)4＝a1x4＋a2x3y＋a3x2y2＋a4xy3＋a5y4，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值是(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 拓展考法 C 2.(2022安顺)若a＋2b＝8，3a＋4b＝18，则a＋b的值为_______. 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 命题点2 整式的运算 3.(2024贵州3，3分)计算2a＋3a的结果正确的是(　　) A.5a B.6a C.5a2 D.6a2 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A 4.(2020贵阳11，4分)化简x(x－1)＋x的结果是________. 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x2 5.(2021贵阳17(2)，6分)小红在计算a(1＋a)－(a－1)2时，解答过程如下： 小红的解答从第________步开始出错，请写出正确的解答过程. 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 解：a(1＋a)－(a－1)2＝a＋a2－(a2－2a＋1)＝a＋a2－a2＋2a－1＝3a－1. 　a(1＋a)－(a－1)2 ＝a＋a2－(a2－1)……第一步 ＝a＋a2－a2－1……… 第二步 ＝a－1………………… 第三步 一 6.规定一种运算：a*b＝ab－a＋b，则a*(－b)＋a*b计算结果为(　　) A.0　　 B.2ab　　 C.－2a　　 D.－2b 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 创新考法 C 7.每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2 025层的三角形个数为___________. 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 　4 049 8.如图，在平面直角坐标系中，A1(2，0)，B1(0，1)，A1B1的中点为C1；A2(0，3)，B2(－2，0)，A2B2的中点为C2；A3(－4，0)，B3(0，－3)，A3B3的中点为C3；A4(0，－5)，B4(4，0)，A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2 025的坐标为__________________. 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 　　 9.(2023贵州13，4分)因式分解：x2－4＝__________________. 命题点3 因式分解 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (x－2)(x＋2) 10.(2022贵阳13，4分)因式分解：a2＋2a＝_____________. 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 a(a＋2)　 11.如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　) A.0　　　B.1　　　C.4　　　D.9 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 拓展考法 D 12.已知a＋b＝4，a－b＝2，则a2－b2的值为_______. 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 13.若2 0232 023－2 0232 021＝2 024×2 023n×2 022，则n的值是(　　) A.2 024　 B.2 023　 C.2 022　 D.2 021 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 创新考法 D $$