5.2.1三角函数的概念(共两课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的 概念 sin cos tan 知识回顾：在初中我们是如何定义锐角的三角函数的？ O a b M P c 一 如图，在直角三角形OPM中，sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？                   知识回顾：常见的锐角的三角函数值 一 当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要. 我们把锐角α放到直角坐标系中，在角α的终边上取一点P（x，y）,设点P与原点的距离为r，那么，sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？ 知识探究：如何定义任意角的三角函数？ 二 当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要. 对于任意角α，在角α的终边上取一点P（x，y）,设点P与原点的距离为r，那么，sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？ 知识探究：如何定义任意角的三角函数？ 二 知识点一：任意角的三角函数的定义（一般） 三 α r 知识探究：如何定义任意角的三角函数？ 二 对于确定的角α，角α的三角函数值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？ α 知识点二：任意角的三角函数的定义（特殊） 三 为了使sinα，cosα 的表示式更简单，点P 的位置选在何处最好？ 此时，sinα，cosα分别等于什么？ α 单位圆：r=|OP|=1 1 【定义】设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y). （1）把点P 的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作 sinα，即 y=sinα （2）把点P 的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα （3）把点P 的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切函数，记作tanα， 即 =tanα ( ).   我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 知识点三：三角函数的定义 三 （1）正弦函数： （2）余弦函数： （3）正切函数： 知识点四：三角函数的一般表示 三 【总结】三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.       知识应用1：求一个角的三角函数值 四 ① 把角放在平面直角坐标系中； ② 画出单位圆，直角三角形； 步骤： 方法： 过点P向x轴做垂线，得到直角三角形 OPM，可以用锐角三角函数求点P； 知识应用1：求一个角的三角函数值 四 ③ 求出角的终边与单位圆的交点 坐标；       知识应用1：求一个角的三角函数值 四 ④ 利用定义来确定三角函数的值.             知识应用1：求一个角的三角函数值 四 【解】在坐标系中作出α= ， 易知α的终边与单位圆的交点P的坐标为 ， 所以                 知识应用1：求一个角的三角函数值 四       ①把角放在平面直角坐标系中； ②画出单位圆，直角三角形； ③求出角的终边与单位圆的交点坐标； ④利用定义来确定三角函数的值. 知识应用1：求一个角的三角函数值 四 【步骤总结】 不存在 不存在                   常见角的三角函数值 四 牢记常见的三角函数值，做题事半功倍！ 解： 由题意可得 知识应用1：求一个角的三角函数值 四 知识应用1：求一个角的三角函数值 四 2、已知α的终边经过P(1,2)，则tanα · cosα等于____________. 3、已知α的终边经过点（-4，3），则cosα等于（ ） 1、已知角α的终边经过点P(-3,-4)，求α的正弦、余弦和正切值 . 课堂训练 知识点五：三角函数值的符号 五 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号: 【例 1】求证：角θ为第三象限角的充要条件为 【证明】（充分性）如果①②都成立，那么θ为第三象限角.   因为sinθ＜0，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和y 轴的负半轴重合； 因为cosθ＞0，所以θ角的终边位于第一或者第三象限； 综合可知，θ为第三象限角. （必要性）因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0， cosθ＞0， 所以必要性成立，即充要性成立. 知识应用2：判断三角函数值符号 六 （1） ;（2） ;（3） ; （4） ; （5） ;（6） . 知识应用2：判断三角函数值符号 六 【例 2】确定下列三角函数值的符号. 23 由三角函数的定义，我们知道：终边相同的角的对应三角函数相同. 公式一： 其中 k∈Z 【问题】公式一说明了角和三角函数值的什么关系？给我们什么启发？ 【答】公式一说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系： 即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的； 反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对因. 【启发】做题时，把角同化为(0,2π)即(0°,360°)终边相同的角，简化计算. 诱导公式一 七 （1） ; （2） . 【例 3】求下列三角函数值. 知识应用3：化简并求三角函数值 八 25 【练习1】填表.                               知识应用3：化简并求三角函数值 八 【练习2】选择适当的条件填空： ①sinθ＞0 ②sinθ＜0 ③cosθ＞0 ④ cosθ＜0 ⑤tanθ＞0 ⑥tanθ＜0 (1)角θ为第一象限角的充要条件是 _________________________________ (2)角θ为第二象限角的充要条件是 _________________________________ (3)角θ为第三象限角的充要条件是 _________________________________ (4)角θ为第四象限角的充要条件是 _________________________________ ①③或①⑤或③⑤或①③⑤ ①④或①⑥或④⑥或①④⑥ ②④或②⑤或④⑤或②④⑤ ②③或②⑥或③⑥或②③⑥ 知识应用3：化简并求三角函数值 八 1．若α角的终边经过点 ，且 ，则m的值（ ）． C 课堂训练 2．若 ，则在角α终边上的点的坐标是（ ） A 课堂训练 3．“点 在第三象限”是“角为第二象限角” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C 课堂训练 4．若点 在角的终边上，求 的值． 课堂训练 5．计算 课堂训练 SEE YOU “ ” $$