复习07 向量的线性表示、奔驰定理及最值问题（五大题型）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习07 向量的线性表示、奔驰定理及最值问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 向量的线性表示】 【题型2 向量的线性表示求参数】 【题型3 奔驰定理】 【题型4 重心的向量表示】 【题型5 内心的向量表示】 【题型6 向量的最值】 知识点 1 ：向量的线性运算 1.向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 2.相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 3.向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 知识点 1 ：平面向量基本定理及坐标运算 1.平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理: 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. （2）基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 2.平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 3.平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 4.平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 难点 1 ：用基底表示向量 （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止； （2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 难点 2 ：奔驰定理 是内的一点，且，则 难点 3 ：内心的向量表示 定义：角平分线的交点为内心，角平分线上的任意点到角两边的距离相等; 向量表示：三角形的内心在向量所在的直线上，则 难点 4 ：重心的向量表示 定义：中线的交点为重心，重心将中线的长度分成 向量表示： 题型归纳 【题型1 向量的线性表示】 【例1】在三角形中，点P为边上的一点，且，点Q为直线上的任意一点（与点O和点P不重合），且满足，则 ． 【答案】/ 【详解】 由已知， ，，共线，所以，． 故答案为：. 【例2】在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 又，所以， 则，解得：，. 故选：C 【变式1-1】在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 . 【答案】/ 【详解】由题意 ， 因为，，三点共线，所以，解得. 故答案为：. 【变式1-2】如图所示，四边形内接于圆，则四边形的面积为 .    【答案】 【详解】在延长线上取点，使，取AB中点， 又因为，所以， 由，可得，所以直线MN过圆心， 在中，，，所以，， 所以梯形高为，， 所以梯形面积为．    故答案为：. 【点睛】方法点睛：通过向量的线性运算与点共线的判断方法，进而求得梯形的高与上底，从而求得面积，向量的线性运算是关键.. 【变式1-3】如图，已知是圆上不同的三点，与交于点（点与点不重合），若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为与交于点，所以三点共线， 所以与共线，设，则， 因为，所以， 可得＝＋，因为三点共线，所以，可得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【题型2 奔驰定理】 【例3】已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【详解】如下图所示，、分别是、中点， 由 得即，所以， 由，， 设，， 则，， 由三角形相似比可得，解得， 因为，所以，即， 所以， 所以，即的面积与的面积之比是 故选：B. 【例4】已知点满足的面积为面积的.    (1)求的值； (2)若为的垂心，求的值. 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）如图，延长交于点，由的面积为面积的，可知为的中点，则， 因为三点共线，则存在实数使得，即，即得， ，则，即， ，解得.    （2）由（1）知，， 则， 由，得，化简得①， 又， 由，得，化简得②， 由①②两式可得，，解得， 故. 【点睛】关键点睛：第一问，关键是利用三点共线的性质结合，得解；第二问，关键是结合（1）的结论，利用是垂心，得到，，向量转化为基底表示运算求得. 【变式2-1】点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】如图所示，延长交于， 显然， 由面积关系可得，所以， 而， 所以， 所以，即， 又由题可知，所以， 所以，整理得， 所以， 故选：A 【变式2-2】点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是 ． 【答案】/ 【详解】如图，延长交于点，设，则， 因为共线，所以，解得， 所以，， 则， 由 得，即， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式2-3】已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即， 所以. 故选：A 【题型3 重心的向量表示】 【例5】在中，已知D是的中点，G是的重心，记，，试用、表示、、． 【答案】     【详解】如图所示，； 根据重心性质知道，，则. . 【例6】已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【详解】取线段的中点，则. 动点满足：，， 则，即，所以， 又，所以三点共线，即点的轨迹是直线， 一定通过的重心. 故选：A. 【变式3-1】（多选）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】如图，为的重心，D为BC的中点， 因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确； ，则，B正确； ，C正确. ，D不正确； 故选：BC 【变式3-2】是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 【答案】D 【详解】取线段的中点，则. 动点满足：，， 则，即，所以， 又，所以三点共线， 则直线一定通过的重心. 故选：D. 【变式3-3】已知点A、B、C是平面上不共线的三点，点为的外心，动点满足条件： (，)，则点的轨迹一定通过的（   ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 【答案】D 【详解】取的中点D，连接，则， ∵， ∴， 则，即 ∴P，C，D三点共线， 因为，所以， 于是点P的轨迹一定经过边的中点． 故选：D. 【题型4 内心的向量表示】 【例7】若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 【例8】已知点O是的内心，，，则 . 【答案】 【详解】 连接并延长交于点，连接，因为O是的内心，所以为的平分线， 所以根据角平分线定理可得，所以， 因为三点共线，所以设， 则，因为， 所以. 故答案为： 【变式4-1】已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 【变式4-2】设O为的内心，，，，则 （    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连， 因为，，所以，， 所以的内心在线段上，为内切圆的半径， 因为， 所以， 所以，得， 所以， 所以， 又，所以， 又已知，所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到是本题解题关键. 【变式4-3】已知中，，点O为的内心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，所以是以为直角的直角三角形； 以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 可得，因此 不妨设的内切圆半径为，易知，解得； 即可得； 所以； 设，可得，解得； 所以. 故选：B 【题型5 向量线性表示中的最值问题】 【例9】（多选）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是9 【答案】ACD 【详解】 因为，则，又，，共线，所以，A正确； 由，则，则，当且仅当时取等号，B错误； 由，当时有最小值，C正确； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 【例10】如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 故， 又，因不共线， 所以，故，所以， 因为，故， 故选：C. 【变式5-1】（多选）中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为3 【答案】AD 【详解】，故A正确； 由， 所以，又三点共线， ，即，故B错误； 由为正实数，，得，当且仅当时等号成立，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：AD．    【变式5-2】在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点在射线（不含点）上，设，又，    则，于是， 因此， 所以的取值范围是.   故选：B 【变式5-3】赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【详解】， 取的中点，连接， 因为，故， 又，所以，故，且， 所以的最大值为，此时点与点重合. 故答案为： 过关检测 一、单选题 1．如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 2．在中，点满足，直线与交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设， 则， 因为，且，共线， 所以可设，即 所以， 所以，解得，所以，即， 故选：C. 3．已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【详解】，,则不存在唯一，使得，故A错误. ，，则. 则，则，两个向量由公共点. 故A，B，D三点共线.故B正确. 同理，,则不存在唯一，使得，故C也错误. ，，则， 则不存在唯一，使得，故D也错误. 故选：B. 4．在△中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过△的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【详解】表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 故表示起点为，终点在的平分线上的向量， 又，，与共起点，且为同向的向量， 则点也在的角平分线上，故点的轨迹一定经过三角形的内心. 故选：A. 5．在中，D为BC的中点，P为AD上的一点且满足，则与面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的中点为点，则有，又，所以，则点在线段上，因为D为BC的中点，所以得点为的重心， 故与面积之比为. 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的运算，三角形重心的性质，属于基础题. 6．对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】如图所示，过点作，交直线于点， 设，可得. 设，，则， 因为，所以， 由图可知，当与半圆相切时，最大， 又由，，可得， 所以，即最大为，所以的最大值为. 故选：B. 7．已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故，即， 故，即， 故三点共线，且为靠近的四等分点， 设为中点，则，   ，故. 故选：A 8．在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】矩形中，已知分别是上的点，且满足，    设，则，， 联立，可解得， 因为点在线段上运动，则可设， ， 又，所以， ， 因为，所以． 故选：B． 二、多选题 9．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，B：，A正确，B错误； 对于C，D：因为，，所以， 又因为M，O，N三点共线，所以，故，C正确，D错误． 故选：AC. 10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】 对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知: 所以，根据平行线分线段成比例可知：， 又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确； 对于B，由于是重心，所以， 而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确； 对于C，因为是外心，所以，故C正确； 对于D，由向量的加法可知：，故D错误； 故选：ABC. 11．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 【答案】BC 【详解】如图所示，因为，则，即， 所以，故A错误； 又因为， 所以，故C正确； 因为三点共线，则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误； 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确. 故选：BC. 三、填空题 12．在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 【答案】/0.625 【详解】如图，由可得， 则 ， 则，，故． 故答案为：. 13．在平行四边形中，为的重心，，则 ． 【答案】 【详解】如图所示，设与相交于点，由为的重心， 可得为的中点，且， 则， 因为，所以，故. 故答案为：. 14．如图，在中，点O在BC上（不含端点），，则的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】由题意可得，B，O，C三点共线，则共线． 则存在唯一实数，使得， 即， 整理可得． 又， 所以， 所以，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 四、解答题 15．已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为是的重心，、、分别为、、中点， 所以，，， 所以， 所以． 16．如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点A是的中点， 所以，即， 整理得， 可得， 故． （2）由题意可得， 因为三点共线，所以，且， 则， 可得，解得， 故． 17．如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由题可知， ， （2） ，且有公共点M ，，三点共线. 18．设为的重心，为的重心，过作直线分别交线段，(不与端点重合)于，.若，. （1）求证为定值； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）连结并延长交于， 则是的中点， 设，， 则， ， ， 所以①， 又，②， 由于，，三点共线， 故存在实数， 使， （2），， ， ，即， 所以，当即时， 有最大值， 当或即或时， 有下确界5(取不到5)， 于是的取值范围是. 19．已知点O为内一点，，求. 【答案】. 【详解】如图，取的中点D，的中点E，连接，    由，得， 而与有公共点，于是D、O、E三点共线，因此为的中位线， 由，，， 得， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习07 向量的线性表示、奔驰定理及最值问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 向量的线性表示】 【题型2 向量的线性表示求参数】 【题型3 奔驰定理】 【题型4 重心的向量表示】 【题型5 内心的向量表示】 【题型6 向量的最值】 知识点 1 ：向量的线性运算 1.向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 2.相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 3.向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 知识点 1 ：平面向量基本定理及坐标运算 1.平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理: 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. （2）基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 2.平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 3.平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 4.平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 难点 1 ：用基底表示向量 （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止； （2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 难点 2 ：奔驰定理 是内的一点，且，则 难点 3 ：内心的向量表示 定义：角平分线的交点为内心，角平分线上的任意点到角两边的距离相等; 向量表示：三角形的内心在向量所在的直线上，则 难点 4 ：重心的向量表示 定义：中线的交点为重心，重心将中线的长度分成 向量表示： 题型归纳 【题型1 向量的线性表示】 【例1】在三角形中，点P为边上的一点，且，点Q为直线上的任意一点（与点O和点P不重合），且满足，则 ． 【例2】在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 . 【变式1-2】如图所示，四边形内接于圆，则四边形的面积为 .    【变式1-3】如图，已知是圆上不同的三点，与交于点（点与点不重合），若，则的取值范围是 ． 【题型2 奔驰定理】 【例3】已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C．2 D．1 【例4】已知点满足的面积为面积的.    (1)求的值； (2)若为的垂心，求的值. 【变式2-1】点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是 ． 【变式2-3】已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 重心的向量表示】 【例5】在中，已知D是的中点，G是的重心，记，，试用、表示、、． 【例6】已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式3-1】（多选）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 【变式3-3】已知点A、B、C是平面上不共线的三点，点为的外心，动点满足条件： (，)，则点的轨迹一定通过的（   ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 【题型4 内心的向量表示】 【例7】若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【例8】已知点O是的内心，，，则 . 【变式4-1】已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【变式4-2】设O为的内心，，，，则 （    ）. A． B． C． D． 【变式4-3】已知中，，点O为的内心，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 向量线性表示中的最值问题】 【例9】（多选）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是9 【例10】如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选）中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为3 【变式5-2】在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 过关检测 一、单选题 1．如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．在中，点满足，直线与交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 4．在△中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过△的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 5．在中，D为BC的中点，P为AD上的一点且满足，则与面积之比为（    ） A． B． C． D． 6．对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 7．已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（    ） A． B． C． D． 8．在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 11．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 三、填空题 12．在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 13．在平行四边形中，为的重心，，则 ． 14．如图，在中，点O在BC上（不含端点），，则的最小值为 ．    四、解答题 15．已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 16．如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 17．如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 18．设为的重心，为的重心，过作直线分别交线段，(不与端点重合)于，.若，. （1）求证为定值； （2）求的取值范围. 19．已知点O为内一点，，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$