17.3 勾股定理（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

17.3 勾股定理（第1课时） 数学（冀教版） 八年级 上册 第十七章 特殊三角形 学习目标 1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. 2.会用勾股定理进行简单的计算 . 　 导入新课 思考1： 《周髀算经》 　 导入新课 思考2： 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 右图称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的. 　　 勾 股 弦 　 导入新课 思考3： 相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？ 讲授新课 知识点一 勾股定理的概念 画图——计算——验证 1.将每个小正方形的面积看作1，以BC为一边的正方形面积是______； B A C D E 9 以AC为一边的正方形面积是____； 16 以AB为一边的正方形面积怎么计算呢？ 用“补”的方法 讲授新课 实验1.将每个小正方形的面积看作1，以BC为一边的正方形面积是____； B A C D E 9 以AC为一边的正方形面积是____； 16 用“割”的方法 以AB为一边的正方形面积怎么计算呢？ 以AB为一边的正方形面积是____. 25 在图中，3个正方形面积之间有怎样的数量关系？ 画图——计算——验证 讲授新课 实验2.在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法计算以斜边为一边的正方形的面积. 你所画的3个正方形面积之间有怎样的数量关系？请与同学交流. 画图——计算——验证 讲授新课 SBC SAC SAB SBC、 SAC 、SAB 之间的关系 1 2 3 4 5 学生编号 正方形 面积 观察所得到的各组数据，你有什么发现？ SBC+SAC=SAB a2+b2=c2 画图——计算——验证 猜想：两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ 讲授新课 勾股定理： 直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方. A B C a b c 直角三角形的斜边、直角边有如下关系： 符号语言： ∴ a2+b2=c2 在Rt△ABC中，∠C=90°， 勾 股 弦 讲授新课 在我国，据《周髀算经》记载，距今3000多年前的周朝有个叫商高的宰相，有一次和周公谈话时说：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五.”此话的意思是：若折出一个直角勾是三、股是四，则弦必定是五.在古代汉语中勾指较短直角边、股指较长直角边、弦指斜边因此这个定理在中国又称“勾股定理(商高定理)”. 勾 股 勾 股 弦 勾2+股2=弦2 讲授新课 典例精析 例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a=1，b=2,求c. （2）若a=15,c=17,求b. 解： (1)据勾股定理,得 (2)据勾股定理得 C A B ∵c＞0   ∵b＞0   讲授新课 练一练 （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c. 1、在Rt△ABC中， ∠C=90°. 解： (1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得 x2+(2x)2=52， 解得 (2) 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152， 解得 讲授新课 2、在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图， 当BC为斜边时，如图， 4 3 A C B 4 3 C A B 图 图 讲授新课 3、已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长. 解：由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= . A D B C 3 4 讲授新课 知识点二 勾股定理的不同验证方法 活动一 章头活动中的图形①、②、③、④、⑤，可以拼成正方形ABDE吗？小组交流拼图方法. B A C D E ① ② ③ ④ ② ③ ① ④ ⑤ ⑤ 18世纪英国业余数学家佩里斯尔发明的一种学具. 讲授新课 （1）揭下实验手册附录2中四个直角三角形纸片和1号正方形纸片，拼成一个新正方形.利用拼成的图形证明勾股定理. 活动二 拼图验证----毕达哥拉斯法 b c a 1号 b c a b c a b c a b c a 证明： a2 + 2ab + b2=c2 +2ab， ∴ a2 + b2=c2. ∵S大正方形＝S小正方形＋4·S三角形， ∴ (a + b)2=c2 + 4×ab， 讲授新课 活动二 拼图验证----毕达哥拉斯法 （2）揭下实验手册附录2中四个直角三角形纸片和1号正方形纸片，拼成一个新正方形. b c a 2号 1号 a2 + 2ab + b2=c2 +2ab， ∴ a2 + b2=c2. ∵S大正方形＝S小正方形＋4·S三角形， ∴ (a + b)2=c2 + 4×ab， 证明： 讲授新课 活动二 拼图验证----赵爽弦图法 （1）利用实验手册附录2中四个直角三角形，拼成如图所示的图案. （2）利用下图证明勾股定理. b c a ? ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 证明： ∴c2＝4×ab＋(b-a)2=a2+b2 讲授新课 活动二 拼图验证----“总统”证法 证明： ∴ a2 + b2=c2 ∵S梯形ABCD＝(a + b)(b + a) S梯形ABCD＝S△AED+S△EBC+S△EBC a b b c c a A B C D E ＝a2 + ab +b2 ＝ab+c2 ＝2×ab+c2 讲授新课 思考：如图，把一个直立的火柴盒放倒，你能用不同的方法计算梯形ABCD的面积，再次验证勾股定理吗？ A B E C D c c a b b a ∵S梯形ABCD＝(AB + CD)·BC， 证明： S梯形ABCD＝S△ABE+S△CDE+S△AED， ∴ (a + b)(b + a)=c2 + 2×ab， a2 + 2ab + b2=c2 +2ab. ∴ a2 + b2=c2. 讲授新课 A B E c c a b b c c c c b a a b b b a a 也可以看成是右图的一半. 讲授新课 典例精析 　　 【例2】如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m，求梯子的顶端与地面的距离h. ∟ A B C 解：如图，在Rt△ABC中， 由勾股定理得，AB2=AC2-BC2 ∵AC=2.5m，BC=1.5m， ∴AB==2m， 即梯子顶端离地面距离h为2m. 讲授新课 练一练 1.图中涂色部分是直角边长为a、b，斜边长为c的4个直角三角形.试利用这个图形验证勾股定理. 解：如图， ∵S多边形ABEFG＝S梯形ABDG+S梯形DEFG A B C D E F G =b[(b + (a+b)]+a[(a + (a+b)] =b2 + ab+a2 +ab =a2 +b2 + ab S多边形ABEFG=S正方形ACFG+2S直角三角形ABC =c2 + ab ∴ a2 + b2=c2. 当堂检测 1、求下列直角三角形中未知边的长: 8 x 17 12 5 x 解：由勾股定理可得： 82+ x2 =172 即: x2 =172-82 x =15 解:由勾股定理可得： 52+ 122 = x2 即：x2 =52+122 x =13 当堂检测 2.如图，字母B所代表的正方形的面积是(　　) A．12 B．13 C．144 D．194 C 当堂检测 3、如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝ π， S2 ＝2π，则S3＝________． 解：如图，由圆的面积公式得 所以c2＝25，a2＝16. 根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝9. 所以 当堂检测 4、我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？ 分析：根据题意，可以画出右图，其中点A表示小王所在位置，点C、点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400m，因此∠C是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题了. 解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2， 也就是5002=BC2+4002, 所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m， 那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m）, 即它行驶的速度为108km/h. 当堂检测 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c. (1)若c=15，b=12，求a的长; (2)若a=11，b=60，求c的长; (3)若a∶b=3∶4，c=10，求a、b的长. 解：(1)∵a2+b2=c2， ∴a2=c2-b2=152-122=81. ∴a=9. (2)∵a2+b2=c2， ∴c2=112+602=3721. ∴c=61. (3)∵a∶b=3∶4， ∴设a=3x，b=4x(x>0). ∵a2+b2=c2， ∴(3x)2+(4x)2=102, 整理，得25x2=100， ∴x2=4. ∴x=2. ∴a=3x=6，b=4x=8. 当堂检测 6.如图，在△ABC中，AB=AC，BM=CM，AB=13cm，BC=24 cm.求△ABC的面积. B A C M 解：∵AB=AC，BM=CM， ∴AM⊥BC，即∠AMB=90°. 在△ABM中，∠AMB=90°，AB=13 cm， BM=CM=BC=12 cm, 根据勾股定理，得 AM2=AB2-BM2=132-122=25. ∴AM=5 cm. ∴S△ABC=BC·AM=×24×5=60(cm2). 当堂检测 7. 将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°, 求证：a2+b2=c2. 证明：如图①，连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=EC=b-a. ∵ S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab， S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a)， ∴ b2+ab=c2+a(b-a). ∴ a2+b2=c2. 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放， 其中∠DAB=90°. 求证：a2+b2=c2. 当堂检测 证明：如图，连接BD，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F， 则BF=b-a. ∵ S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab， S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a)， ∴ ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a). ∴ a2+b2=c2. F 课堂小结 谢 谢~ $$