精品解析：山东省临沂市罗庄区临沂第十八中学2024-2025学年高二上学期12月份阶段性测试数学试题

临沂第十八中学2023级12月份阶段性测试数学试题 一、单选题 1. 已知递增的等差数列的前项和为，则（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 2. 已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 圆在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系）是：”．如果给出平面的方程是，平面的方程是，则由这两平面所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线，的交点在定圆上 D. 若为中点，则的最小值为 10. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（ ） A. 若，则，； B. 若，则使的最大的n为15； C. 若，，则中最大； D. 若，则. 11. 已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为 B. 若直线过焦点，则以为直径的圆与相切 C. 若直线过焦点，当时，则 D. 设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关 三、填空题 12. 等差数列的前项之和为，若，，则______． 13. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是________. 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 四、解答题 15. 在中，已知，. （1）若直线过点，且点A，到的距离相等，求直线的方程； （2）若直线为在角处的外角平分线，求直线的方程. 16. 已知圆关于直线对称，且在圆上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 17. 等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）设直线，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂第十八中学2023级12月份阶段性测试数学试题 一、单选题 1. 已知递增的等差数列的前项和为，则（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d，由题意结合等差数列的通项公式求出即可结合等差数列前n项和公式计算得解. 【详解】设等差数列的公差为d， 则由题得，解得， 所以. 故选：D. 2. 已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为5，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程得到其准线方程，结合题意可得到准线的距离为4，进而结合抛物线定义即可求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为到直线的距离为5， 所以到准线的距离为4，则. 故选：B. 3. 两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答. 【详解】两个等差数列和的前项和分别为、，且， 所以. 故选：A 4. 圆在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解. 【详解】将圆的方程化为标准方程得， ∵点在圆上，∴点P为切点． 从而圆心与点P的连线应与切线垂直． 又∵圆心为，设切线斜率为k， ∴，解得． ∴切线方程为． 故选：D. 5. 已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【详解】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 6. 在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系）是：”．如果给出平面的方程是，平面的方程是，则由这两平面所成的角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由定义得出两平面的法向量，利用数量积公式求出法向量的夹角余弦，利用同角三角函数的关系求出其正弦即可选出正确答案 【详解】由题意，因为平面的方程是，所以法向量 由平面的方程是，所以法向量， 所以， 所以， 故选：A. 7. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为，，根据抛物线的定义以及三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得答案. 【详解】当在第一象限时， 设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为， 因为，且为的中点， 所以为三角形的中位线，即， 所以，又根据抛物线的定义， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以，此时， 根据对称性，当在第四象限时，， 故选：D. 8. 定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设，，，即可表示出的方程，又在上，即可得到，即可得到直线的方程，从而求出直线过的定点； 【详解】解：因为点在直线上，设，，，所以的方程为，又在上，所以①，同理可得②； 由①②可得的方程为，即，即，所以，解得，故直线恒过定点 故选：C 二、多选题 9. 已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线，的交点在定圆上 D. 若为中点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线过定点即可判断A，由直线过定点以及点与圆的位置关系即可判断B，联立直线方程，然后消去即可得到点的轨迹方程，即可判断C，先求得点的轨迹方程，再由点的轨迹方程，即可得到的最小值，即可判断D. 【详解】对于选项A，因为直线，即， 令，解得，则直线恒过定点，故A正确； 对于选项B，因为直线，即， 令，解得，所以直线恒过定点， 将点代入圆可得， 即点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故B错误； 对于选项C，联立两直线方程可得，解得， 消去可得，即，故C正确； 对于选项D，设，因为，且为中点，所以， 而圆的圆心，半径为， 则圆心到弦的距离为，即， 即点的轨迹方程为，圆心，半径为， 由选项C可知，点的轨迹方程为，圆心，半径为， 两圆圆心距为， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD 10. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（ ） A. 若，则，； B. 若，则使的最大的n为15； C. 若，，则中最大； D. 若，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即， 根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A正确； 对于B：因为，则， 所以，又， 所以， 所以，， 所以使的最大的n为15，故B正确； 对于C：因为，则， ，则，即， 所以则中最大，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以，即，故D正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 11. 已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为 B. 若直线过焦点，则以为直径的圆与相切 C. 若直线过焦点，当时，则 D. 设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；求出、的坐标，利用两点间的距离公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，如下图所示： 抛物线的焦点为，准线为， 设点在直线上的射影点为，由抛物线的定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，A错； 对于B选项，若直线过焦点，则， 线段的中点到直线的距离为，所以，， 因此，以为直径的圆与相切，B对； 对于C选项，当时，直线的方程为， 联立可得，不妨取、，则， 此时，，C对； 对于D选项，线段的中点坐标为， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在， 由题意可得， 由作差得， 所以，，D对. 故选：BCD. 三、填空题 12. 等差数列的前项之和为，若，，则______． 【答案】90 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出，再利用等差数列前项和公式计算作答. 【详解】由得：，整理得，由得：，整理得， 而，即，于是得， 所以. 故答案为：90 13. 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】直线过，根据渐近线斜率可得到取值范围. 【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，， 此时直线与双曲线的其中一支有一个交点， 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 可得直线一定在两渐近线之间， 则k的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设为右焦点，由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解． 【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：． 【点睛】思路点睛： 关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的性质有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可． 四、解答题 15. 在中，已知，. （1）若直线过点，且点A，到的距离相等，求直线的方程； （2）若直线为在角处的外角平分线，求直线的方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）因为点，到的距离相等，所以直线过线段的中点或，分直线过线段的中点和两种情况讨论即可； （2）因为直线为外角平分线，所以点关于直线的对称点在直线上，求出点的坐标，即可求出直线方程． 【小问1详解】 解：因为点，到的距离相等，所以直线过线段的中点或， 当直线过线段的中点时，线段的中点为，的斜率，则的方程为，即， 当时，的斜率， 则的方程为，即， 综上：直线的方程为或； 【小问2详解】 因为直线为外角平分线，所以点关于直线的对称点在直线上， 设，则有， 得，即， 所以直线的斜率为， 则直线的方程为，即． 16. 已知圆关于直线对称，且在圆上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】（1）； （2），或. 【解析】 【分析】（1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 解：由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 17. 等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解； （2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解. 【小问1详解】 设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴ ，∴公差为，∴， ∴ ； 【小问2详解】 由已知， 时，； 时，； 综上. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； （2） （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， 【小问3详解】 假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 ， 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ， 19. 已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）设直线，证明：直线过定点. 【答案】（1）椭圆的方程为 （2）（i）设,，,，， 由（1）可知，， 所以，， 因为，即，所以， 所以， 又，所以， 所以； （ii）因为直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，， 由（i）可知，，即， 所以， 即， 化简得，解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 所以直线经过轴上的定点，定点坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标及的周长，可得的值，从而可求解椭圆方程； （2）（i）先利用点的坐标表示出两条直线的斜率，再结合椭圆的方程，代入化简即可；（ii）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理与（i）中斜率乘积为定值，化简求得定点坐标，即可证得结论． 【小问1详解】 依题意可设椭圆，且， 又的周长为，即， 所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $