2.3《确定二次函数的表达式(1)》课件 2023--2024学年北师大版九年级数学下册

第二章 二次函数 2.3 确定二次函数的表达式(1) 1.会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式. 2.类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的 思想方法. 学习目标 1.二次函数表达式的一般形式是什么? 2.二次函数表达式的顶点式是什么? y = ax² ＋ bx ＋ c (a,b,c为常数,a ≠0) y = a(x－h)2 ＋ k (a ≠0) 温故知新 3.二元一次方程组有哪些解法？ 代入消元法，加减消元法. 4.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件.确定反比例函数 （k≠0)关系式时，通常需要 个条件. 2 1 情境引入 解:根据图象是一抛物线且顶点坐标为 (4, 3),因此设它的关系式为 y = a(x－4)2＋3. 又∵图象过点(10,0)，代入得 (10－4)2 a＋3 = 0， 如图是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，其中(4,3)为图象的顶点，你能求出其表达式吗？ 想一想 确定二次函数的关系式y = ax²＋bx＋c (a,b,c为常数,a ≠0)，通常 需要3个条件; 如果二次函数y = ax²＋bx＋c (a,b,c为常数,a ≠0)，已知一个系数， 还有两个系数需要确定时，通常需要再找到2个已知点. 如果二次函数y = a(x－h)2＋k已知顶点坐标（h,k）,则需要再找到另 一点坐标，应用顶点式可以确定二次函数的关系式. 确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴或小组交流. 解：将点(2，3)和(－1，－3)分别代入二次函数y = ax2＋c 中，得 3 = 4 a ＋ c, -3 = a ＋ c, 解这个方程组，得 a = 2, c = －5. 例题学习 ∴所求二次函数表达式为：y = 2 x2 －5. 例1 已知二次函数y = ax2 ＋ c 的图象经过点(2，3)和(－1，－3)， 求出这个二次函数的表达式. 做一做 ∴这个二次函数关系式为y = 2x2－2x＋1 . ∵图象经过点(2,5)和(－2,13), 解：设二次函数关系式为y = ax2＋bx＋c. ∵图象与y轴交点的纵坐标为1， ∴将(0,1)代入y = ax2＋bx＋c中，得c = 1. ∴二次函数的关系式为y = ax2＋bx＋1. 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(2，5)和(－2，13)，求这个二次函数的表达式. 解得： a = 2, b = -2. 由题意得 4a＋2b＋1 = 5, 4a－2b＋1 = 13. 想一想 小结 1.用顶点式y = a(x－h)2＋k时，知道顶点(h,k)和图象上的另一点坐标, 就可以确定这个二次函数的表达式. 2.用一般式y = ax²＋bx＋c确定二次函数时，如果系数a,b,c中有两个是未 知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式. 在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？ 随堂练习 1. 已知二次函数图象的顶点坐标是(－1，1)，且经过点(1，－3)， 求这个二次函数的表达式. 解：设二次函数的表达式为 y = a(x＋1)2＋1. ∵图象经过点(1，－3), ∴将(1，－3)代入关系式得 －3 = a(1＋1)2＋1 ∴二次函数表达式为y = －(x＋1)2＋1. 解得 a = －1. 2.(1)已知二次函数y = x²＋bx＋c的图象经过点(1，1)与(2，3)两点.求这 个二次函数的表达式. 随堂练习 (1)解：将点(1,1)和(2,3)分别代入 二次函数y = x2 ＋bx＋c中， 得 1 = 1 ＋b ＋c, 3 = 4 ＋2b＋c, ∴所求二次函数表达式为y = x2 －x＋1. 解这个方程组，得 b = －1, c = 1. (2)请更换第(1)题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数 y = x2＋bx＋c表达式的题目，使所求得的二次函数与第(1)题相同. (2)例如将题目更换为: ①已知二次函数y = x²＋bx＋c的图象 经过点(－1,3)与(0,1)两点.求这个 二次函数的表达式.   . 习题2.6 1.已知二次函数图象的顶点坐标是(2,3)，且经过点(-1,0),求这个二次 函数的表达式. 解：设二次函数的表达式为y = a(x－2)2＋3. ∵图象经过点(－1，0), ∴将(－1，0)代入关系式得 0 = a(－1－2)2＋3 ，   .   . 2. 已知二次函数图象与x轴交点的横坐标为－2和1，且经过点(0，3)， 求这个二次函数的表达式. 习题2.6 这样的函数表达式 一般称为交点式即 y = a(x－x1)(x－x2). 习题2.6 3.某高尔夫球手击出的高尔夫球的运动路线是一条抛物线，当 球水平运动了24m时，达到最高点;落球点比击球点的海拔低 1m，它们的水平距离为50m. (1)建立适当的直角坐标系，求球的高度h(m)关于水平距离 x(m)的二次函数表达式; 解:(1)如下图所示建立直角坐标系.设二次函数 的表达式为 h = ax2＋bx＋c(a≠0). c = 1. ∵抛物线经过点(0,1)和(50,0),得 2500a＋50b＋c = 0,     13 习题2.6 3.某高尔夫球手击出的高尔夫球的运动路线是一条抛物线，当 球水平运动了24m时，达到最高点;落球点比击球点的海拔低 1m，它们的水平距离为50m. (1)建立适当的直角坐标系，求球的高度h(m)关于水平距离 x(m)的二次函数表达式; (2)与击球点相比，球运动到最高点时有多高? 6.76 －1 = 5.76(m) . 答：与击球点相比，球运动到最高点时有5.76m高. 1.通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什 么? 待定系数法. 2.你能否总结出上述解题的一般步骤? 课堂小结 抛物线 与y轴交于点A(0,1)，对称轴是直线 x = 2, 求抛物线的函数表达式. 拓展提升 将点A(0,1)代入函数表达式中,得 c = 1. 作 业 教材60页第16题 再 见 18 $$