2.3 确定二次函数的表达式(2) 课件2024-2025学年北师大版数学九年级下册

2.3 确定二次函数的表达式(2) 第二章 二次函数 1 教学目标 1.会用待定系数法确定二次函数的解析式.(重点) 2.会求简单的实际问题中的二次函数解析式.(难点) 温故知新 1.二次函数表达式有哪几种形式？ 一般式：y = ax2＋bx＋c . 顶点式：y = a(x－h)2＋k. 2.如何求二次函数的解析式？ 根据二次函数图象上的已知点，可用待定系数法求其解析式. 交点式：y = a(x－x1)(x－x2). 温故知新 3.已知抛物线的顶点为(－1，－3),与y轴交点为(0，－5),求 抛物线的表达式. 解： 设所求的抛物线的解析式为y = a(x＋1)2 －3, 将点(0,－5 )代入关系式中，得 a－3=－5, 解得a = －2， 所以抛物线的表达式为y =－2(x＋1)2－3. y o x －1 －3 (或 y = －2x2－4x－5). 4.二次函数与x轴相交于(－1，0)和(5，0)并经过点(4，－10)， 求这个二次函数的表达式. 解： 设所求二次函数的解析式为y = a(x＋1)(x－5), 将点(4,－10)代入y = a(x＋1)(x－5)，可得 解得 a = 2， 所以二次函数的表达式为y = 2(x＋1)(x－5), －10 = a×(4＋1)(4－5)， 即y = 2x2－8x－10 . 温故知新 交点式 学一学 1.已知顶点和另一点的坐标,可用顶点式求二次函数的表达式. 根据二次函数所给出的特殊条件，怎样求出二次函数的表达式？ 2.已知二次函数与x轴的两个交点和另一点的坐标，可利用交点式 求二次函数的表达式. 已知二次函数y = ax2＋bx＋c图像上的三个点怎样确定二次函数的表达式？ 想一想 利用待定系数法,把三个点的坐标分别代入y = ax2＋bx＋c中， 得到关于a,b,c的三元一次方程组，解出方程组的解，就可求得抛物线的表达式. 方法 例题学习 解：设所求的二次函数的解析式为y = ax2＋bx＋c. a－b＋c = 10， a＋b＋c = 4， 4a＋2b＋c = 7， 解方程组得 所以，所求二次函数的表达式是y = 2x2－3x＋5. a = 2, b = －3, c = 5. 将三点(－1，10)，(1，4)，(2，7) 的坐标分别代入表达式，得 例2 已知二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三点， 求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 议一议 解：设该抛物线的解析式为y = ax2＋bx＋c,根据题意， 得 一个二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流. a＋b＋c = 2， 4a＋2b＋c = 1， c = 1， 所以，所求二次函数的表达式为y = －x2＋2x＋1. 【方法一】---三点代入法 a = －1， b = 2， c = 1， 解得 A y x O C B 议一议 一个二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流. 【方法二】---图象性质法 因为点A(0，1)和点C(2，1)的纵坐标都是1，所以由图象可得点A与点C关于对称轴对称.则对称轴为直线x = 1,所以点B(1，2)为抛物线顶点. 所以二次函数的表达式为y = －(x－1)2＋2, 即y = －x2＋2x＋1. 设二次函数表达式为 y = a(x－1)2＋2, 将点A(0,1)代入得 1 = a(0－1)2＋2, 解得 a = －1. 顶点式 随堂练习 已知二次函数的图象经过点(0,2),(1,0)和(－2,3),求这个二次函数的表达式. 解：设该抛物线的解析式为y = ax2＋bx＋c,根据题意， 得 a＋b＋c = 0， 4a－2b＋c = 3， c = 2， 习题2.7 1.已知一个关于x的二次函数，当x分别为1,2,3时，对应函数值分别为 3,0,4，求这个二次函数的表达式. 解：设该抛物线的解析式为y = ax2＋bx＋c,根据题意， 得 a＋b＋c = 3， 4a＋2b＋c = 0， 9a＋3b＋c = 4， 习题2.7 2.已知二次函数的图象经过点(1,0),(3,0)和(2,3)，求这个二次函数的表达式. 解：设该抛物线的解析式为y = ax2＋bx＋c,根据题意， 得 a＋b＋c = 0， 9a＋3b＋c = 0， 4a＋2b＋c = 3， 所以，所求二次函数的表达式为y = －3x2＋12x－9. a = －3， b = 12， c = －9， 解得 【方法一】 习题2.7 2.已知二次函数的图象经过点(1,0),(3,0)和(2,3)，求这个二次函数的表达式. 解：设二次函数的表达式为 y = a(x－1)(x－3), 即 y = －3x2＋12x－9. 【方法二】 3 = a(2－1)×(2－3) 解得 a = －3. 所以二次函数的表达式为y = －3(x－1)(x－3), 交点式 将点(2,3)代入表达式，得 习题2.7 3.如图，题目中的灰色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，请你 根据已有信息添加一个适当的条件，把原题补充完整并求解. 已知二次函数y = ax2＋bx＋c的图象 经过点A(0，a),B(1,－2)， ,求该二次函数的表达式. 解：添加的条件可以是： 例如：① 图象还经过点C(－1,－6)； ② b = 4； ③ 对称轴为直线x = 2. 解:①将A(0，a),B(1,－2)， C(－1，－6)分别代入 得 c = a， a＋b＋c = －2， a－b＋c = －6， a = －2， b = 2， c = －2， 解得 所以二次函数的表达式 为y=－2x2＋2x－2. 解:②得 c = a， a＋b＋c=－2， b = 4， a = －3， b = 4， c = －3， 解得 所以二次函数的表达式 为y=－3x2＋4x－3. 解:③得 a = 1， b = －4， c = 1， 解得 所以二次函数的表 达式为y=x2－4x＋1. 课堂小结 “三式”巧定表达式 所给条件能够确定抛物线与x轴的两个交点坐标时,则可设表达式为 y = a(x－x1)(x－x2). 1.一般式 所给的条件能够确定抛物线上三个不同点的坐标时,可设表达式为 y = ax2＋bx＋c. 2.顶点式 所给条件能够确定抛物线的顶点坐标时,可设表达式为 y = a(x－h)2＋k. 3.交点式 随堂检测 1．下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是( ) C 2.顶点是(－2,1),开口方向、形状与抛物线y = －2x2相同的是　(　　) A.y = －2(x＋2)2＋1；　 B.y = 2(x－2)2＋1； C.y = －2(x－2)2＋1；　 D.y = 2(x＋2)2＋1. 3.若抛物线y = x2－bx＋9的顶点在x轴上,则b的值为 . A ±6 随堂检测 4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为(4,0)， ∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单 位长度的速度向右平移.设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M,N(点M 在点N的上方)，若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒(0≤t≤4), 则能大致反映S与t的函数关系的图象是( ) C   . 随堂检测 作 业 教材61页 第21题 20 请在此输入您的文本。请在此输入您的文本。请在此输入您的文本。 再 见 21 $$