2.2二次函数的图象与性质(3)课件 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

第二章 二次函数 2.2 二次函数的图象与性质(3) 当x＜0时,y随着x的增大而减小 当x＞0时,y随着x的增大而增大 温故知新 抛物线 图 象 开口 方向 大小 对称轴 顶点坐标 最 值 增减性 y=ax2+c (a>0) y= ax2+c (a<0) (0，c) . 越大,开口越小. 向上 向下 y轴 当x=0时, y有最小值为c. 当x=0时, y有最大值为c. 当x＜0时,y随着x的增大而增大 当x＞0时,y随着x的增大而减小 2 温故知新 上下平移规律 （上加下减） y = ax2 当c＞0时,向上平移c个单位 y=ax2＋c 当c＜0时,向下平移 个单位 1.二次函数y = －2x2－3 2.在同一直角坐标系中，二次函数 3.将二次函数y = x2 的图象开口 ，对称轴是 ，顶点 坐标是 ，当x＞0时，y的值随x值的增大而 ， 当x= 时，该函数有最 值，是 . 的图象开口由大到小的顺序是 . 的图象向 平移 个单位长度可以得 到 y = x2＋2的图象. 向下 y轴 (0,-3) 减小 -3 0 大 上 2 温故知新 学习目标 1.经历探索二次函数 与 的图象的过程， 理解它们与 的图象的关系，并理解a , h和k对二次 2.能正确说出二次函数 函数图象的影响. 和 的开口方向、 对称轴和顶点坐标，并能根据函数图象正确描述函数值y 随 x值的变化而变化的规律. 画出函数 与 的图象. (2)在同一坐标系中做出二次函数y = 2x2和y = 2(x－1)2的图象. ⑴完成下表,并比较2x2和2(x－1)2的值,它们之间有什么关系? x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 探一探 1.二次函数y = a(x－h)2的图象和性质 18 8 2 0 2 8 18 32 32 18 8 2 0 2 8 18 –1 –1 O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –5 –4 –3 –2 y = 2x2 y = 2(x－1)2 解：(1)列表 (2)描点 (3)连线 1.它的开口方向、对称轴和顶点坐标 分别是什么？ 2.当x取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？ 当x取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 议一议 3.二次函数y = 2(x-1)²和y = 2x²的图象有什么关系？ 二次函数y = 2(x-1)²图象有哪些性质？ 二次函数y = 2(x-1)²图象的开口向上， 对称轴为直线x = 1, 顶点坐标为(1,0). 当x＞1时，y的值随x值的增大而增大. 当x＜1时，y的值随x值的增大而减小. 二次函数y = 2(x-1)²的图象可以看做二次函数y = 2x²的图象 沿x轴向右平移1个单位长度得到. 1 2 3 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 -1 x y 5 y=2(x－1)2 x=1 4 -4 看一看 y=2(x＋1)2 x=-1 y=2x2 将y = 2x2 的图象向 平移 _个单位就得到y = 2(x－1)² 的图象. 议一议 结论 y=2(x+1)² 右 1 将y = 2x2 的图象向 平移 个单位就得到y = 2(x＋1)² 的图象. 左 1 二次函数y=2x², y=2(x-1)², y=2(x+1)²的图象都是 ， 并且形状 ，只是位置不同. 抛物线 相同 图 象 （草 图)               开口方向     开口大小   顶点坐标 对称轴   最 值 当x= 时，y有最 值，是 . 当x= 时，y有最 值，是 . 增减性 当 时，y随x的增大而增大， 当 时，y随x的增大而增大， 当 时，y随x的增大而减小. 向上 向下 越大,开口越小. （h，0） 直线x=h h h 小 大 0 0 x＞h x＞h x＜h x＜h 议一议 当 时，y随x的增大而减小. h h h h y = ax2 当h＞0时,向右平移h个单位 y = a(x－h)2 左右平移规律 (左加右减) 说一说 当h＜0时,向左平移 个单位 探一探 2.二次函数y = a(x-h)2＋k的图象与性质. 由二次函数y = 2x2的图象，你能得到二次函数y = 2(x＋3)2－ 的图象吗？你是怎样做的？ 画一画，再试一试： 1. 2. 3. -1 -2 -3. 0. 1. 2. 3. 4. -1 x y y=2(x+3)2 y=2x2 想一想 二次函数 y = 2x2 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向上 y轴 直线x = -3 (0,0) 结论 顶点坐标(0,0) y=2x2图象 向左平移3个单位 横坐标减去-3 （-3，0） y=2(x＋3)2 向下平移 个单位 议一议 一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象. 因此，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴 和顶点坐标如下表所示： 图象特征 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=a(x－h)2＋k 向上(a＞0) 向下(a＜0) 直线x = h (h,k) 由二次函数解析式y = a(x－h)2＋k可以得到抛物线的顶点坐标为（h,k）, 所以二次函数解析式y = a(x－h)2＋k也称为二次函数的顶点式. 【注意】顶点式y = a(x－h)2＋k中，括号内是“－”号,常数k前是“＋”号. 例如，二次函数表达式为y = a(x＋2)2－5，要先化为 y = a[x－(－2)]2＋(－5)，所以顶点坐标应为(－2，－5). 二次函数 图 象（草图) 开口方向   开口大小   顶点坐标   对称轴   最 值 当x= 时，y有最 值，是 . 当x= 时，y有最 值，是 . 增减性 当 时，y随x的增大而增大， 当 时，y随x的增大而减小. 当 时，y随x的增大而增大， 当 时，y随x的增大而减小. 向上 向下 越大,开口越小. （h，k） 直线x=h h h 小 大 k k x＞h x＞h x＜h x＜h 辨一辨 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 增减性 y = 3x2 当x= 时，y有最 值，是 . 当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小. y = －x2＋1 当x= 时，y有最 值，是 . 当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小. y = (x＋2)2 当x= 时，y有最 值，是 . 当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小. y=－4(x＋5)2－3 当x= 时，y有最 值，是 . 当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小. 向上 向下 向上 向下 （0，0） y轴 （0，1） y轴 （-5，-3） 直线 x=－2 （-2，0） 直线 x=－5 小 大 0 0 x＞0 x＜0 0 1 x＜0 x＞0 大 -5 -3 小 -2 0 x＞-2 x＜-2 x＜-5 x＞-5 练一练 随堂练习 对于二次函数y=－3(x＋2)2. (1)它的图象与二次函数y=－3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的 开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值 的增大而减小? 解:(1)二次函数y =－3(x＋2)2与二次函数y =－3x2的图象形状相同,开口方向 都向下,都是轴对称图形，但对称轴和顶点坐标不同. (2)当x＜－2时，y的值随x值的增大而增大； 当x＞－2时，y的值随x值的增大而减小. -2 函数y =－3(x＋2)2的图象的对称轴是直线x =－2,顶点坐标是(-2，0). 函数y =－3x2的对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0),将二次函数y =－3x2的 图象向左平移2个单位长度,就可以得到二次函数y =－3(x＋2)2的图象. 习题2.4 2.对于二次函数 ，它的图象与二次函数y=－3x2的图象有什么 关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? y=-3x2 解：二次函数y = －3(x－)2的图象与二次函数y=－3x2的图象有如下关系： 【相同点】形状相同，都是抛物线；开口都向下； 都是轴对称图形；图象都有最高点，最高点的 纵坐标都是0.在对称轴的左右两侧， y值随x值的增大的变化趋势都相同. 【不同点】二次函数y = －3(x－)2的图象的对称轴 为直线x = ，顶点坐标为(,0)；二次函数 y=－3x2的图象的对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0) . 【联系】二次函数y = －3(x－)2的图象可以由二次 函数y=－3x2的图象向右平移 个长度单位得到 . 习题2.4 3.怎样由函数y = 2x2的图象得到函数y = 2(x－1)2＋3的图象?对于函数 y = 2 (x-1)2＋3，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪 些值时，y的值随x值的增大而减小? y=2(x－1)2＋3 y=2x2 解：将函数y=2x2的图象先向上平移3个单位长度， 再向右平移1个单位长度，就可以得到函数 y=2(x-1)2＋3的图象; 当x＞1时，y的值随x值的增大而增大；当x＜1时，y的值随x值的增大而减小. 4.分别写出符合下列条件的二次函数表达式： (1)两个函数的图象都不经过第三、四象限； (2)两个函数的图象只有顶点坐标不同. 习题2.4 解：(1)例如y = x2和y = x2＋2(答案不唯一). (2)例如y = 2(x－1)2＋1和y = 2(x－1)2－3(答案不唯一). 一般地，形如y = a(x－h)2＋k(a＞0，k≥0)的二次函数图象都不经过第三、四象限. 一般地，形如y = a(x－h)2＋k的二次函数图象，当a，h取值相同， 而k取值不同时，都符合要求. 各种形式的二次函数的关系 y = ax2 y = a( x - h )2 + k 上下平移 左右平移 y = ax 2 + k y = a( x - h )2 左右平移 上下平移 课堂小结 作 业 教材39页习题2.4第1题 再 见 $$