2.1 二次函数 课件2024-2025学年北师大版数学九年级数学下册

2.1 二次函数(1) 第二章 二次函数 看一看 一般地，在某一变化过程中有两个变量x、y，如果x在某个范围内给定某个值，另一个变量y总有唯一的值与它对应，那么y和x建立起了函数关系. 什么是函数？ 温故知新 对于上述变量x ,y，我们把x叫自变量，y叫x的函数. 变量之间的关系 函数 一次函数 反比例函数 y = kx＋b (k,b为常数k≠0) 正比例函数y=kx(k为常数,k≠0) y= (k 为常数，k≠0) 函数知多少 温故知新 2.正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积 为y,则y与x的关系式为 . y = 6x2 想一想 1.两个数的和是10，设其中一个数为x,那么这两数之积 y 与 x 的关系式 为 . y = －x2＋10x 3.已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75cm2吗？还 可能是多少？你能表示这个矩形的面积 y 与它的一边长 x 之间的关系 式为 . y = －x2＋20x 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 情境引入 (1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？ 这时平均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式. 果园共有(100＋x)棵树,平均每棵树结(600－5x)个橙子. 变量是橙子树的数量和每棵树结的橙子数.其中自变量是橙子树的数量，因变量是每棵树数结的橙子数. y = (100＋x)(600－5x)= －5x²＋100x＋60000. 1. 银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是说， 利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国 人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年 到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄 转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后 的本息和y(元)的表达式. 想一想 解：y = 100(1＋x)2， 即y = 100x2＋200x＋100. 这些函数关系式有什么共同点? 在上面的问题中,函数y都是关于x的 次式. y = －5x²＋100x＋60000 y = 6x2 y = －x2＋10x y = －x2＋20x 想一想 二 定义：一般地，若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y = ax²＋bx＋c (a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数. 其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数， bx叫做一次项，c为常数项. 学一学 二次函数概念 一般形式：y = ax2＋bx＋c(a,b,c为常数，且a≠0). y = ax2 ＋bx ＋c 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 (1)等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式. (3)等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项，即b,c可为0， 但不能没有二次项，a不能为0. 注意 (2)a,b,c为常数，且a≠0. (4)一般的x的取值范围是任意实数，实际问题则要使问题有意义. 二次函数：y = ax2＋bx＋c(a,b,c为常数，且a≠0). 学一学 二次函数的一般形式: y = ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 辨一辨 二次函数的特殊形式： 当 b = 0，c = 0 时， y = ax2 ； 当 b = 0时， y = ax2 ＋ c ； 当 c = 0时， y = ax2 ＋ bx. 例1下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数, 常数项. 例题学习 (1) y = 3(x－1)²＋1 ； (2) y = x＋ ; (3) s = 3－2t² ； (4) y = (x＋3)²－x² ； (5) y = －x ； (6) v = 8π r² 解: = 3(x2－2x＋1)＋1 = 3x2－6x＋4. y是x的二次函数. 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 3 －6 4 y不是x的二次函数. 二次项系数: 一次项系数: 常数项: －2 0 3 (4)y =(x＋3)²－x² 整理得y = 6x＋9. 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 8π 0 0 (6) v = 8π r² v是r的二次函数. 例题学习 y = 3(x－1)²＋1 (2) y = x＋ (3) s = 3－2t² 整理得s=－2t2＋3. s是t的二次函数. y不是x的二次函数. (5) y = －x y不是x的二次函数. 驶向胜利的彼岸 例2 m取何值时，函数y =(m＋1)x ＋(m－3)x＋m 是二次函数？ 解:由题意得 例题学习 m2－2m－1 = 2 ① m ＋1 ≠0 ② ∴m = 3. 由①得m1 = 3,m2 = －1. 由②得m ≠ －1. 议一议 我们在前面研究的问题中得到，若增种x棵橙子树，则橙子的总产量 y =(600－5x)(100＋x)=－5x2＋100x＋6000.在这一问题中，x的取值范围是什么？ 我们可以发现：600－5x＞0，且x为正整数,即0＜x＜120，且x为正整数. 因此，在具有实际背景的二次函数中，自变量的取值范围也要注意，它是函数的一个重要组成部分. a＞0 r＞0 t≥0 再例如： 正方形面积A与边长a的关系A = a2 ； 圆面积S与半径r的关系S =πr2 ； 自由落体运动物体下落的高度h与下落的时间t的关系h= gt2. 你能分别找到这些问题中自变量的取值范围吗？ 2.如果函数y=(k－3) ＋kx＋1是二次函数,则k的值 是______. 随堂练习 1.下列函数中(x,t是自变量)，是二次函数的有 . ① y = x2－4x＋1 ； ② y = t2 ； ③ y = ax2＋bx＋c ； 0 ①②④⑦ 随堂练习 3.圆的半径是1cm，假设半径增加xcm时，圆的面积增加ycm2. (1)写出y与x之间的关系式; (2)当圆的半径分别増加1cm， cm，2cm时，圆的面积各增加多少? 解：(1) y =π(1＋x)2－π×12 即y = πx2＋2πx; (2)当x = 1 时，y = π＋2π = 3πcm2； 当x = y = π()2＋2π=(2＋2)πcm2. 当x = 2时， y = π×22＋2π×2 = 8πcm2. 习题2.1 1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s) 的关系是：h=4.9t2，填表表示物体在前5s下落的高度: t/s 1 2 3 4 5 h/m 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5 3.某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽 相等，高比长多0.5m. (1)长方体的长和宽用x(m)表示，长方体的表面积S(m2)的表达式是什么? (2)如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用 y(元)表示，那么y的表达式是什么? 解:(1)S = 2x2＋2x(x＋0.5)＋2x(x＋0.5)， 即S = 6x2＋2x. (2)y = 5(6x2＋2x) = 30x2＋10x. 4.某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件.为了调查这种 新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t(件)与 每件的销售价x(元/件)之间有如下关系:t=－3x＋70.请写出该超市销售 这种产品每天的销售利润y(元)与x之间的函数关系式. 习题2.1 解：y = (x－20)t = (x－20)(－3x＋70) = －3x2＋130x－1400. 所以该超市销售这种产品每天的销售利润y(元)与x之间的函数关系式为 y = －3x2＋130x－1400. ①一次函数y = kx＋b (k,b为常数，且k≠0), 包括正比例函数y = kx(k≠0)； ②反比例函数y = (k为常数，且k≠0) ； ③二次函数y = ax2＋bx＋c(a,b,c为常数，且a≠0). 1.到目前为止，我们学习过的函数有: 课堂小结 2.二次函数的相关定义： 一般形式：y = ax2＋bx＋c(a,b,c为常数，且a≠0). y = ax2 ＋bx ＋c 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 1.写出下列问题的函数关系式. 解：s = 2πr•r +πr2 ×2 拓展提升 (2)n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛的场次数m 与球队数 n 之间的关系式. (1)一个圆柱的高等于底面半径,它的表面积s与半径r之间的关系式: r r 即s = 4πr2 . 2.一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边 长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量x 的取值范围.当x = 12m时，计算菜园的面积. xm y m2 xm (40-2x)m 解：由题意得y = x(40－2x)， 即 y= －2x2＋40x. 自变量x的取值范围为0＜x＜20. 当x = 12m时，菜园的面积为： y = －2x2＋40x = －2×122＋40×12 = 192（m2） 拓展提升 所以菜园的面积为192m2. 3. 对于关系式y =（m＋3）x , (1)m取什么值时，此函数是正比例函数？ (2)m取什么值时，此函数是反比例函数？ (3)m取什么值时，此函数是二次函数？ m2-7 (3)当m2－7 = 2且m＋3≠0, 即m = 3时y是x的二次函数. 拓展提升 解：(1)当m2－7 = 1且m＋3≠0,即m=± 时,y是x的正比例函数. (2)当m2－7 = －1且m＋3≠0,即m=± 时,y是x反比例函数. 作 业 教材31页习题2.1第2题 再 见 $$