一次函数与特殊三角形的存在性问题学案2024-2025学年北师大版数学八年级数上册

《一次函数与特殊三角形的存在性问题》 导学案 （八年级） 课程介绍 一次函数与特殊三角形均为初中数学重要知识点，也是中考重点考 查的内容.本节课将一次函数与特殊三角形问题融合到一起， 借助直 角坐标系解决常见的特殊三角形问题，充分体现了分类讨论及数形结 合的思想方法。 考查了学生解决问题的综合能力， 同时也对学生的计 算能力提出了较高的要求。 通过几种类型题的解答， 培养学生总结归 纳的技能， 画图技能， 发展了数学思维。 【典型例题 1】 已知直线 y=kx+b 与 x 轴相交于点 B(4,0),与 y 轴相交于点 A(0,3), 在 x 轴上是否存在点 M， 使∆ABM 为等腰三角形， 如果存在， 请求出点 M 的坐标； 若不存在， 请说明理由.y x O A(0,3) B(4,0) 【变式训练】 已知直线 y=kx+b 与 x 轴相交于点 B(4,0),与 y 轴相交于点 A(0,3), 在 y 轴上找到一点 M， 使∆ABM 为等腰三角形， 请求出点 M 的坐标. y x o A(0,3) B(4,0) 【巩固内化】 已知直线 y=kx+b 与 x 轴相交于点 B(4,0),与 y 轴相交于点 A(0,3), 点 M 从点 O 出发以每秒两个单位的速度沿 O-A-B 的方向向点 B 运动，设运动时间为t,若∆AOM 为等腰三角形， 求出t 的值. A(0,3) B(4,0) x o 【典型例题 2】 已知直线 y=kx+b 与 x 轴相交于点 B(4,0),与 y 轴相交于点A(0,3), 在坐标轴上找到点 M， 使∆ABM 为直角三角形， 并指出满足条件的点 M 的位置. A(0,3) B(4,0) x O 【变式训练】 如图， 在平面直角坐标系中， 一次函数 y=kx+b 与 y 轴， x 轴分别 相交于点 A(0,3),B(4,0)， 并且与正比例函数 y=2x 相交于点 C. （1） 求一次函数表达式 （2） 点 D 在x 轴上， 当∆BCD 是直角三角形时， 求点 D 的坐标 A(0,3) B(4,0) x C o 【巩固内化】 如图， 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 一次函数 与x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点 B， 点 C 在 AO 上， 且∠CBA=∠CAB． 动 点 P 从点 A 出发， 以每秒 2 个单位长度的速度沿边 AO 向终点 O 匀速 运动， 过点 P 作 PQ 垂直 x 轴交直线 AB 于点 Q． 设点 P 的运动时间为t 秒 . (1)求点 C 的坐标； (2)若∆BCQ 是直角三角形， 求运动时间t 的值； 【典型例题 3】 已知直线 y=kx+b 与 x 轴相交于点 B(4,0),与 y 轴相交于点 A(0,3), 在坐标平面内找到一点 M，使∆ABM 为等腰直角三角形，且∠MBA=90 °,求出点 M 的坐标. y O A(0,3) B(4,0) 【变式训练】 已知直线 y=kx+b 与 x 轴相交于点 B(4,0),与 y 轴相交于点 A(0,3), 在坐标平面内找到一点 M，使∆ABM 为等腰直角三角形，且∠BMA=90 °, 求出点 M 的坐标. y x o A(0,3) B(4,0) 【巩固内化】 已知点 M 是直线 的任意一点， 过点 M 作 MN∥y 轴， 交直线 y=2x-2 于点 N ， 点 C 在 y 轴上， 以 M,N,C 为顶点的三角形是等腰直角三角形时， 请直接写出点 M 的坐标. y3 4 y=2x-2x+3 y=- M N O 【拓展延伸】 已知： 长方形 OACB 的两条边分别在两个坐标轴上， 且 A(0,3) ， B(4,0)， 点 P 在线段 BC 上， 在坐标平面内是否存在点 Q （a,2a-2), 使 A,P,Q 能够成为以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形.若存在， 请求 出点 Q 的坐标;若不存在， 请说明理由。 C A o P x O B 学科网（北京）股份有限公司 $$