4.4 一次函数的应用-特殊三角形的存在性 导学案 2025-2026学年北师大版（2012）数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦一次函数应用中特殊三角形的存在性，涵盖等腰、直角、等腰直角三角形存在性问题。通过知识梳理中的“两圆一线”“两线一圆”等口诀衔接一次函数与三角形性质，以例题与变式训练为支架，引导学生从几何直观过渡到代数运算，构建前后知识脉络。 该导学案的亮点是几何直观与代数运算结合，通过分类讨论培养推理意识，例题变式的梯度设计提升应用能力。帮助学生用数学眼光观察图形关系，用数学思维进行逻辑推理，发展创新意识与理性精神，有效提升解决综合问题的核心素养。

4.4 一次函数的应用-特殊三角形的存在性 2 1 学科网（北京）股份有限公司 【知识梳理】 ★知识点一 等腰三角形的存在性 （1）找点的个数或点的坐标时，采用画弧法：以等腰三角形确定边两端点分别为圆心，确定边长度为半径画弧，与动点所在直线的交点即为所求点，另外确定边的垂直平分线与动点所在直线的交点即为所求点； （2）两点间的距离公式： 设两点A、B以及坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B之间的距离为： （3）注意分类讨论情况 原理：根据等腰三角形的定义，以两腰的三种情况进行分类讨论. 作图：口诀：两圆一线！ 几何法：两腰相等、两底角相等、三线合一性. 代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根（除重、查漏）； 边相等+距离公式 B（，）、P（，）、Q（，） ①BP=BQ时: ②PB=PQ时: ③QB=QP时: 例1.如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点． （1）求B、C两点的坐标； （2）若点A（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点，则当点A运动到什么位置（求出点A 的坐标）时，△AOB的面积是3； （3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式训练一： 1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交坐标轴于点A（0,6），B（8,0），点C为x轴正半轴上一点，连接AC，将△ABC沿AC所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线AB对应的函数表达式； (2)P为直线AB上一点，，求点P的坐标； (3)若点Q在x轴上，且△ABQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． ★知识点二 直角三角形的存在性 ①运用勾股定理：a²+b²=c²； ②两点间的距离公式； 设两点A、B以及坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B之间的距离为： ③注意分类讨论情况 原理：根据直角三角形的定义，以直角顶点分三种情况进行讨论。 作图：口诀：两线一圆！ 代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根（除重、查漏）. 代数法：勾股定理+距离公式 A（，）、B（，）、P（，） ①∠A=90°: ②∠B=90°: ③∠P=90°: 例2.如图，已知直线y=kx+b（k、b为常数，且）经过点（-1，2），与x轴交于点A（-2，0）,，与y轴交于点B． （1）求该直线的函数表达式和点B的坐标； （2）在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由． 变式训练二： 2.如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D． (1)求A，B两点的坐标： (2)求OC的长； (3)设P是坐标轴上一动点，若使△PAB是直角三角形，直接写出点P的坐标（不需计算过程）． ★知识点三 等腰直角三角形的存在性 几何法：构造“K”型全等（先假设某个点所在角为直角，然后在变化过程中找等腰） ①∠P=90° ②∠Q=90° ③∠O=90° 代数法：边相等+勾股定理 O（，）、P（，）、Q（，） ①∠O=90° ②∠P=90° ③∠Q=90° 例3.如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，且与直线交于点C，点C的横坐标为2． （1）求直线l1的解析式； （2）在x轴上取点M，过点M作x轴的垂线交直线l1于点D，交直线l2于点E．若DE=2，求点M的坐标； （3）在第二象限内，是否存在点Q，使得△QAB为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 变式训练三： 3．【模型呈现】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，一次函数y=3x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且AC=AB，直线BC交x轴于点D．求点D的坐标． 【模型迁移】 （3）如图3，在（2）条件下，点E坐标为（4，1），F是x轴上一个动点，P是直线BD上一个动点，若△EFP是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【挑战自我】 1.如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以AB为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 2.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点． (1)求点C的坐标； (2)求△ABC的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴的正半轴上，若将△CAB沿直线BC折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处． (1)如图1，求点A、B两点的坐标； (2)如图2，求直线CD的表达式； (3)点M是y轴上一动点，若，求点M的坐标； (4)连接AD，在第一象限内是否存在点P，使△PAB 为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3.已知一次函数y＝与x轴，y轴交于A，B两点，点M在x轴上，若△ABM是等腰三角形，则符合条件的点M坐标为 ． 4.直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且＝． （1）求点B的坐标和k的值； （2）若点A是第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是12？ （3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，6），并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）点Q为直线y＝kx+b上一动点，当点Q运动到何位置时，△OBQ的面积等于？请求出点Q的坐标； （3）在y轴上是否存在点P，使△PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动． （1）求直线AB的解析式； （2）设△OPB的面积S，点P的横坐标为m，求出S与m的关系式； （3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7.如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及 y＝x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n）， （1）则n＝　 　，k＝　 　，b＝　 　； （2）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8.如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6 （1）请直接写出点C的坐标； （2）如图3，动点P在第一象限或x轴上，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在以点P为直角顶点的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）AB的长为 　　 ，点D的坐标是 　 　 ；（2）求点C的坐标； （3）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $