精品解析：2024～2025学年华东师大版九年级上学期数学期末复习试卷

华东师大版九年级上册期末复习试卷 一．选择题（共10小题） 1. 要使式子有意义，则应满足（ ） A. 且 B. C. D. 且 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 3. 下列方程中一元二次方程的是（　　） A. B. （a为实数） C. D. 4. 若关于的一元二次方程． 有两个不相等的实数根，则的值可能为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知，则下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是( ) A B. C. D. 7. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A. c＝bsinB B. b＝csinB C. a＝btanB D. b＝ctanB 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，那么下列结论错误的是（ ） A. ∠A+∠DCB=90° B. ∠ADC= 2∠B C. AB=2CD D. BC=CD 9. 袋中有3个红球，4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如果从、、这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 化简：_______． 12. 最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ____． 13. 若关于x的方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____． 14. 点A坐标为，点P在x轴上，且．则点P的坐标为 _____． 15. 一个斜坡的坡度为i=1：2，若某人沿斜坡直线行进100米，则垂直高度上升了_______米. 16. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=___________． 三．解答题（共10小题） 17. 计算：． 18. 计算：． 19 解方程：． 20. 下面方框内是嘉淇解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为1，得第一步 移项，得，…第二步 配方，得，即，…第三步 由此可得，…第四步 所以，．…第五步 （1）在嘉淇的解题过程中，从第______步开始出现错误； （2）请写出正确解答过程． 21. 已知：如图，在中，点M、N分别在边上，点P是上一点，且． （1）求证：； （2）求证：． 22. 如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接．求证：． 23. 已知线段a，b满足，且． （1）求a，b，c的值． （2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x． 24. 计算 （1）； （2）． 25. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的11个小球，其中红球4个，黑球7个．先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A． （1）当事件A为必然事件时，则　　； （2）当事件A为随机事件时，则　　． 26. 同学们，在二次根式一章中有一个有趣现象：，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如、等等． （1）猜想：______； （2）请再写出1个具有“穿墙”性质的数______； （3）请用只含有一个正整数的等式表示上述规律：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华东师大版九年级上册期末复习试卷 一．选择题（共10小题） 1. 要使式子有意义，则应满足（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式和分式有意义的条件，掌握“被开方数为非负数”和分母不为0是解本题的关键．根据二次根式的被开方数为非负数，由和分母不为0，从而可得答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，， 且， 故选：A． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】将各个选项化简为最简二次根式即可进行解答． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，故A不符合题意； B．，与不是同类二次根式，故B不符合题意； C．，与是同类二次根式，故C不符合题意； D．与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，解题的关键是掌握化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式． 3. 下列方程中一元二次方程的是（　　） A. B. （a为实数） C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答． 【详解】解：A、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，当时，没有二次项，就不是一元二次方程了，不符合题意； C、，整理为：，没有二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、，整理为：，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，注意将各个方程进行整理为一般式后，再去进行判断． 4. 若关于的一元二次方程． 有两个不相等的实数根，则的值可能为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得不等式，解不等式可得，根据的取值范围确定正确的选项． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ， ， 解得：． 四个选项中只有符合要求． 故选：A． 5. 已知，则下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 详解】解：， 设，， ． 由比例性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 6. 已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵是线段的黄金分割点，且， ∴， A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，解决本题的关键是掌握黄金分割定义把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点)． 7. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A. c＝bsinB B. b＝csinB C. a＝btanB D. b＝ctanB 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题． 【详解】∵中，，、、所对边分别为a、b、c ∴，即，则A选项不成立，B选项成立 ，即，则C、D选项均不成立 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，那么下列结论错误的是（ ） A. ∠A+∠DCB=90° B. ∠ADC= 2∠B C. AB=2CD D. BC=CD 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AD=BD，根据等边对等角得出∠DCB=∠B，再逐个判断即可． 【详解】A、∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴CD=AD=BD=AB， ∴∠DCB=∠B， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠A+∠DCB=90°，故本选项正确，不合题意； B、∵∠DCB=∠B，∠ADC=∠B+∠DCB， ∴∠ADC=2∠B，故本选项正确，不合题意； C、∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴AB=2CD，故本选项正确，不合题意； D、根据已知不能推出BC=CD，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质的应用，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 9. 袋中有3个红球，4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出红球与白球的总数，在利用概率公式求出摸出白球的概率即可. 【详解】∵袋中有3个红球，4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同， ∴红球和白球的总数为：3+4＝7个， ∴随机地从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是：， 故选C． 【点睛】本题考查概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题关键. 10. 如果从、、这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况，再利用概率公式求解即可求得 【详解】画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，这个两位数是素数的有13，23，31共3种情况， ∴这个两位数是素数的概率为：=． 故选A 【点睛】本题考核知识点：概率.解题关键点：根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况. 二．填空题（共6小题） 11. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质化简即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，不是最简二次根式，不符合题意， 故． 故答案为：1． 13. 若关于x的方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____． 【答案】±4 【解析】 【分析】因为方程有两个相等的实数根，说明根的判别式，由此可以得到关于k的方程，解方程即可求出k的值． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， 而a＝1，b＝﹣k，c＝4， ∴ 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的具体运用（形如的一元二次方程的根的判别式为：，当时，原方程有两个不相等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根）． 14. 点A的坐标为，点P在x轴上，且．则点P的坐标为 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了坐标系中点的坐标，熟练掌握x轴上点的纵坐标为0，两点间的距离公式，是解题的关键． 设，再根据两点间的距离公式求出x的值即可． 【详解】解：∵点P在x轴上， ∴设， ∵点A的坐标为，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：或． 15. 一个斜坡的坡度为i=1：2，若某人沿斜坡直线行进100米，则垂直高度上升了_______米. 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意作出图形，由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得tan∠A=，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度． 【详解】解： 由题意得，BC：AC=1：2， ∴BC：AB=1：， ∵AB=100m， ∴BC=20m． 故答案为20． 【点睛】本题考查坡度的定义以及解直角三角形的应用，解题关键是画出示意图会使问题具体化． 16. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=___________． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：根据概率的计算公式可得：，解得：n=3. 考点：概率的计算 三．解答题（共10小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，再进行合并得出答案． 【详解】解：原式 ． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键；先求出，再直接开平方求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 20. 下面方框内是嘉淇解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为1，得第一步 移项，得，…第二步 配方，得，即，…第三步 由此可得，…第四步 所以，．…第五步 （1）在嘉淇的解题过程中，从第______步开始出现错误； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）三 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，直接开方法解一元二次方程，掌握完全公式的配方法解方程是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可求解； （2）在小明同学的第三步开始，左右两边同时加1，根据完全平方公式配方，然后直接开方解方程即可求解． 【小问1详解】 解：第三步中，的一次项系数是2，根据完全平方公式可知常数项应该是，即左右两边同时加1即可， 第三步出错， 故答案为：三； 【小问2详解】 ， 二次系数化为1，， 移项，， 配方，，即， 直接开方， 原方程的解为，． 21. 已知：如图，在中，点M、N分别在边上，点P是上一点，且． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解题的关键． （1）由可证得，然后由相似三角形的对应边成比例即可证明结论； （2）由可证得可得，又由可得，则可证得，最后根据相似三角形的对应角相等即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，正确作出辅助线是解题的关键。 延长到，使，连接、，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，于是，即，再根据平行线分线段成比例得出，同理，等量代换得到，然后证明，得到，即可证明． 【详解】证明：如图，延长到，使， 连接、． 是的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， ， 同理， ， ∵， ∴， ∴ ． 23. 已知线段a，b满足，且． （1）求a，b，c的值． （2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，比例中项，熟练掌握比例的性质，是解题的关键： （1）设，得到，根据，求出的值，即可； （2）根据比例中项的定义，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设， 则：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵线段x是线段b，c的比例中项， ∴，且， ∴． 24. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊的三角函数值的混合运算，熟练记忆所有特殊三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊的三角函数值，代入求解即可． （2）根据特殊的三角函数值，代入求解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 25. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的11个小球，其中红球4个，黑球7个．先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A． （1）当事件A必然事件时，则　　； （2）当事件A为随机事件时，则　　． 【答案】（1）4 （2）2或3 【解析】 【分析】（1）当事件A为必然事件时，意味着剩余球一定都是黑球，没有红球，确定计算即可． （2）当事件A为随机事件时，意味着剩余球一定有红球，得到，根据球的个数是整数，求整数解即可． 本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵“摸出黑球”为必然事件， ∴必须把红球全部取出，才能使摸出黑球为必然事件， ∴m的值是4； 故答案为：4． 【小问2详解】 解：∵“摸出黑球”为随机事件， ∴必须留有红球，才能使摸出黑球为随机事件， ∴， ∴m的值是2或3； 故答案为：2或3． 26. 同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如、等等． （1）猜想：______； （2）请再写出1个具有“穿墙”性质的数______； （3）请用只含有一个正整数的等式表示上述规律：______． 【答案】（1） （2）（答案不唯一，符合规律即可） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可； （2）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； （3）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可． 【小问1详解】 解：，验证如下： ． 故答案为． 【小问2详解】 解：根据已知等式的规律可写出：，…． 故答案为（答案不唯一，符合规律即可）． 【小问3详解】 解：第一个等式为，即； 第二个等式为，即； 第三个等式为，即． ∴用含正整数的式子表示为：． 【点睛】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$