4.4 解直角三角形的应用 第二课时教案2024-2025学年湘教版九年级数学上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 4.4解直角三角形的应用（2） 教科书 书 名：义务教育教科书 数学 九年级上册 出版社：湖南教育出版社 出版日期：2022年7月 教学目标 1.能够正确建立数学模型，应用坡度、坡角和方位角解直角三角形的实际问题. 2.经历用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力. 3.在观察、阅读、讨论、分析中体会利用基本图形分析数学几何问题的思路，进一步提高学生几何图形分析能力和良好的数学阅读素养. 教学内容 教学重点： 能够正确建立数学模型，应用坡度、坡角和方位角解直角三角形的实际问题。 教学难点： 把实际问题转化为图形并构造直角三角形，建立已知与未知的数量关系，以及锐角三角函数关系在解直角三角形中的熟练运用. 教学过程 同学们好！我是来自湘潭市益智中学的数学教师谢感，今天我们继续一起来学习《解直角三角形的应用(第2课时）》。（右手，头部） 一、激思导学 首先看到这样一个测量的问题， 如图，测量小河两岸相对的两点P，A的距离，在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ C ） A.100sin35°米 B.100sin55°米 C.100tan35°米 D.100tan55°米 “我曾经跨过山和大海，也穿过人山人海，诗与远方总是让人心神向往，旅途中有美丽的风景，还蕴含了丰富的数学知识，让我们通过“跋山涉水”来学习今天的内容. 二、探究释疑（一） 1、新知探究 从山脚到山顶有很多条路，哪条路比较陡？如何用数量来刻画山坡的陡缓呢？ α 如上图所示，从山坡脚下点 A 上坡走到点B时，升高的高度h（即线段BC的长度）与水平前进的距离l（即线段AC 的长度）的比叫作坡度，用字母i表示，即i=（坡度通常写成1:m的形式）.∠BAC 叫作坡角（即山坡与地平面的夹角），记作α，显然，坡度等于坡角的正切，即i==tanα.坡度越大，山坡越陡． 2、概念辨析 （1）判断：斜坡AB的坡度是30°  （ × ） （2）填空：若斜坡BD的坡度是1:1 ，则坡角是 45°. （3）填空：若斜坡BD长是12米,坡高6米,则坡度是1:√3 . . 3、典例精析 了解了坡角和坡度的概念，我们一起来解决这样一个实际问题. 例2  如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m） 研学笔记：已知坡度i，相当于知道了坡角的正切值，即两直角边的关系. 三、探究释疑（二） 如图，一船以40km/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行 1 h 到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°方向上.已知灯塔C四周30km 内有暗礁，问这艘船继续向东航行，是否安全？ 研学笔记：是否触礁，比较垂直距离d与暗礁半径r,d>r,不触礁. 四、巩固提升 1. 一种屋顶的设计如图所示.已知屋顶的宽度为12m，坡屋顶的高度h为3m,则坡度为_____. 解：∵△ABC为等腰三角形，AD是底边上的高， ∴ BDBC=6 m， 在Rt△BAD中，tanB= = ， ∴ 屋顶的坡度为1:2. 2.如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.73 ，≈1.414)． 解：过点P作PC⊥AB，点C是垂足． 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°. ∵AC＋BC＝AB， ∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200， 即 PC＋PC＝200， 解得 PC≈126.8km＞100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 五、课堂小结 1.本节课知识与技能上的收获：坡度、坡角的问题和方位角问题. 思想与方法上的收获：建模思想、转化思想、方程思想. 情感态度与价值观上的收获：数学来源于生活也应用于生活，要学会发现问题，思考问题. 六、课后作业 必做题：湘教版教材第129页1、2题 实践作业：在生活中找到、测量并计算出一个斜坡的坡度. 学科网（北京）股份有限公司 $$