精品解析：2024-2025学年人教版九年级上册数学期末考试卷（考试范围：第21章—第26章）

2024－2025学年度九年上期末试卷 数学（人教版） （考试范围：第21章—第26章） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象经过、两点，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为( ) A. 36 B. 24 C. 18 D. 72 5. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程，有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）． A. ab B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 8. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个． 9. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到，交AC于点D，若，则∠A=___________° 10. 下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________． 11. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 12. 如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度． 13. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为______． 14. 如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为_________． 三、解答题 15. 小南同学在解方程时出现了错误，解答过程如下： 原方程可化为，（第一步） 方程两边同时除以，得．（第二步） （1）小南的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______； （2）请写出此题正确解答过程． 16. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了___________名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）扇形统计图中圆心角___________度； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 17. 如图，是等腰直角三角形，，，D为延长线上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，过点E作于点F，连接． （1）依题意补全图形； （2）比较与大小，并证明； （3）连接，G为的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 18. 如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证： （1）AD∥BC （2）四边形BCDE为菱形． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 20. 如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）． 21. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 22. 如图，是的直径，是的一条弦，连接 （1）求证： （2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 24. 如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为B，网球的飞行路线是一条抛物线，已知米，米．网球飞行的最大高度米． （1）建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． （2）小明在直线上，点C右侧竖直向上摆放若干个无盖的直径为0.5米，高为0.3米的圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计），若要是网球刚好落入桶内，至少摆放多少个圆柱形桶？ 六、解答题 （每小题10分，共20分） 25. 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 26. 如图，在中，．点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动．过点P作交折线于点Q，D为中点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积是，点P的运动时间为． （1）当点Q在边上时，正方形的边长为____（用含x的代数式表示）； （2）当点P不与点B重合时，求点F落在边上时x的值； （3）当时，求y关于x的函数解析式； （4）直接写出边的中点落在正方形内部时x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度九年上期末试卷 数学（人教版） （考试范围：第21章—第26章） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大， ∴二次函数的图像开口向上， ∴a-1＞0，即：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 3. 反比例函数的图象经过、两点，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的特征列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过、两点， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4. 如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为( ) A. 36 B. 24 C. 18 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积． 【详解】解：如图，连接OC， ∵AB＝12，BE＝3， ∴OB＝OC＝6，OE＝3， ∵AB⊥CD， ∴在Rt△COE中，， ∴CD＝2CE＝6， ∴四边形ACBD的面积＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键． 5. 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：共有5个书签图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第2张与第4张书签图片，共2张， ∴小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，概率公式求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6. 已知方程，有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）． A. ab B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程根的定义，代入化简计算即可． 【详解】∵方程，有一个根是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，熟练掌握定义是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 在平面直角坐标系中，若函数图象经过点和，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和 ∴把点代入得， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 8. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，求出红球的个数，再计算出黄球的个数即可． 【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右， ∴摸出红球的概率为， ∴袋子中红球的个数为（个）， ∴ 袋子中黄球的个数为（个）， 故答案是：15． 9. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到，交AC于点D，若，则∠A=___________° 【答案】55 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再由直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到 ∴，， ∵， ∴ ∴∠A=55°． 故答案为：55 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握旋转的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 10. 下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得． 【详解】当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象 该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确 对于 当时， 即该函数的图象一定经过点，结论②正确 由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 则结论③错误 的顶点坐标为 对于二次函数 当时， 即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确 综上，所有正确的结论序号是①②④ 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 11. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故答案为：． 12. 如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度． 【答案】12 【解析】 【分析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答． 【详解】连接AO，如图， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=360°÷6=60°， ∵多边形AHIJK是正五边形， ∴∠AOH=360°÷5=72°， ∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键． 13. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵一次函数与二次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 14. 如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 三、解答题 15. 小南同学在解方程时出现了错误，解答过程如下： 原方程可化为，（第一步） 方程两边同时除以，得．（第二步） （1）小南的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______； （2）请写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）二，如果则两边不能同时除以； （2），，过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）依据等式的基本性质判断即可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：嘉淇的解答过程是从第二步开始出错的，其错误原因是如果则两边不能同时除以， 故答案：二，如果则两边不能同时除以； 【小问2详解】 解：， ， 则， ， 则或， 解得，． 16. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了___________名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）扇形统计图中圆心角___________度； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）200，补全条形统计图见解析 （2）54 （3）恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 【解析】 【分析】（1）用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E四个类型社团的人数得到C类型社团的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中的度数； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：(人)， C类型社团的人数为(人)， 补全条形统计图如图， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：， 故答案为：54； 【小问3详解】 解：画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键． 17. 如图，是等腰直角三角形，，，D为延长线上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，过点E作于点F，连接． （1）依题意补全图形； （2）比较与的大小，并证明； （3）连接，G为的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）证明，得出，再证明，即可得出结论； （3）连接、，由旋转的性质得：，，得出是等腰直角三角形，即，由（2）可知，，得出，，再证明，得出，，证明是等腰直角三角形，得出，即可得解． 【小问1详解】 解：依题意补全图形如图1： ； 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，即， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图2，连接、， 由旋转的性质得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵G为的中点， ∴，，， ∴，， 由（2）可知，， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴． 18. 如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证： （1）AD∥BC （2）四边形BCDE为菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论； （2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据得到BC=CD，从而证明菱形． 【详解】解：（1）连接BD， ∵， ∴∠ADB=∠CBD， ∴AD∥BC； （2）连接CD， ∵AD∥BC， ∴∠EDF=∠CBF， ∵， ∴BC=CD， ∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC， ∴△DEF≌△BCF（ASA）， ∴DE=BC， ∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD， ∴四边形BCDE菱形． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴，，即， ∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线的图象与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C， ∴点C的纵坐标为1， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 20. 如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案； （2）连接，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，如图， 由（1）得， ∵， ∴， ∴的长． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养． 21. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为； （2） 【解析】 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 当时，， ∴ 解得：，， 如图，当时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 22. 如图，是的直径，是的一条弦，连接 （1）求证： （2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到； （2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线． 【小问1详解】 证明：设交于点，连接， 由题可知， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明： 连接， ， ， 同理可得：,， ∵点H是CD的中点，点F是AC的中点， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 直线为的切线． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【答案】（1）线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）； （2）y＝（x≥3）； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可； （2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可； （3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可． 【小问1详解】 解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ， 解得：k=﹣2.5，b=12 ∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12； 【小问2详解】 解：当x≥3时，设y=， 把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=， 解得k=13.5， ∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ； 【小问3详解】 解：能，理由如下： 当x=15时，y==0.9， 因为0.9＜1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键． 24. 如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为B，网球的飞行路线是一条抛物线，已知米，米．网球飞行的最大高度米． （1）建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． （2）小明在直线上，点C右侧竖直向上摆放若干个无盖的直径为0.5米，高为0.3米的圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计），若要是网球刚好落入桶内，至少摆放多少个圆柱形桶？ 【答案】（1） （2）5个 【解析】 【分析】（1）以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立坐标系，得出相应点坐标，利用待定系数法求函数解析式； （2）设需要m个圆柱形桶，求出点C，点D对应的函数值，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，点O为圆心，建立坐标系， ，， ， ，，， 设抛物线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得， 抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设圆柱形桶的右侧位于点， ，， ， 圆柱形桶的直径为0.5米， ， 由（1）知，抛物线的函数解析式为， 当时， ， 当时， ， 设需要m个圆柱形桶， 圆柱形桶高为0.3米， ， 解得， m可以取5，6，7， 至少摆放5个圆柱形桶． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，正确建立坐标系，求出抛物线的函数解析式是解题的关键． 六、解答题 （每小题10分，共20分） 25. 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2）能．或 （3），，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 26. 如图，在中，．点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动．过点P作交折线于点Q，D为中点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积是，点P的运动时间为． （1）当点Q在边上时，正方形的边长为____（用含x的代数式表示）； （2）当点P不与点B重合时，求点F落在边上时x的值； （3）当时，求y关于x的函数解析式； （4）直接写出边的中点落在正方形内部时x的取值范围． 【答案】（1）x （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由已知条件得到，求得，由于D为中点，于是得到； （2）如图①，延长交于G，由题意得，由于D为中点，得到，求得，列方程于是得到结论； （3）如图②，当时，根据正方形的面积公式得到；如图③，当时，过C作于H，交于K，则，根据正方形和三角形面积公式得到； 如图④，当时，，根据三角形的面积公式得到结论； （4）当Q与C重合时，E为的中点，得到，当Q为的中点时，，得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， 【小问2详解】 解：如图①，延长交于G，由题意得， ∵D为中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图②，当时，， ∴； 如图③，当时，过C作于H，交于K，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图④，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，y关于x的函数解析式为； 【小问4详解】 解：当Q与C重合时，E为的中点， 即， ∴， 当Q为的中点时，由勾股定理知， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴边的中点落在正方形内部时x的取值范围为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质与判定，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，动点问题函数关系式等知识，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$