精品解析：期末模拟练习卷-2024-2025学年人教版数学九年级上册

期末模拟练习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1. 下列图形：①平行四边形；②菱形；③圆；④等边三角形．这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A. 掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B. 抛一枚硬币，出现反面的概率 C. 任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D. 从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 4. 函数与的图象可能是（　　） A. B. C D. 5. 如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，点是中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、、是切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 二、填空题 9. 不透明的袋子中有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出2个球，则“取出的2个球中有红球”为________事件． 10. 已知中，，点I是它的内心，则___________． 11. 若二次函数的图像经过，直线经过，两点． （1）________； （2）当时，直线与的图像只有一个交点，则的取值范围________． 12. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为______． 13. 如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为________． 14. 已知二次函数，若和对应的函数值相等，则________． 15. 如图，在中，，，，点D为线段上一动点．以为直径，作交于点E，连，则的最小值为________． 16. 如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当⊙与正方形的边相切时，的值为______． 三、解答题 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，确定点的坐标为． （1）用树状图或列表法列举点所有可能的坐标； （2）求点在函数的图象上的概率． 19. 作图题：如图所示，在所给的网格图中（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）作出关于直线对称的； （2）作出绕点顺时针方向旋转后的． 20. 已知抛物线过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上与点A关于y轴对称点B的坐标是 ；的面积是 ； （3）点C在抛物线上，且满足，求点C的坐标． 21. “青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题∶ （1）本次参与问卷调查的学生共有_________人，扇形统计图中“合格”所对应的百分比为_________； （2）补全条形统计图； （3）该校某班有4名同学（2名男同学，2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 22. 如图，是的直径，弦于点E，且，点M在上，经过圆心O，连接． （1）若，求的半径； （2）若，求线段的长． 23. 如图，正方形和正方形，，，三点共线，，．将正方形绕点顺时针旋转，连接，． （1）如图，求证：； （2）如图，在旋转的过程中，当，，三点共线时，试求的长； （3）在旋转的过程中，是否存在某时刻，使得，若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）当点在线段上运动时，求线段的最大值； （3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； （4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末模拟练习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1. 下列图形：①平行四边形；②菱形；③圆；④等边三角形．这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可，轴对称图形的关键是找到对称轴，中心对称图形的关键是找到对称中心． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故①不符合题意； 菱形，圆，既是轴对称图形又是中心对称图形，故②③符合题意； 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故④不符合题意； 故选B． 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据解一元二次方程−配方法进行计算即可解答，熟练掌握二次项系数化为1，再移常数项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果是解决此题的关键． 【详解】， ， ， ， 故选：C． 3. 小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A. 掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B. 抛一枚硬币，出现反面的概率 C. 任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D. 从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查频率估算概率，理解图示中频率值，掌握概率的计算方法是解题的关键． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为； C、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为； D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率． 故选：C． 4. 函数与的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据二次函数的图象与系数的关系及一次函数的性质作出判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，，二次函数开口向上，一次函数过二、三、四象限， ②当时，，二次函数开口向下，一次函数过一、二、四象限， 由各选项的图象可以看出，选项正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数图象综合判断，不等式的性质，二次函数的图象与系数的关系，根据一次函数解析式判断其经过的象限等知识点，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 5. 如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 如图，连接，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， ∵， ∴当点在的延长线上时，的值最大， ∵是的直径，，弦， ∴， ∴是等边三角形， ， 取的中点，连接， 则，， 在中，， ， ， ∴的最大值为， 故选：A． 6. 如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据内接四边形的性质得出的度数，再由点为弧的中点得出，最后利用等腰三角形的性质得出结果． 本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意得出的度数和． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵点为中点，即， ∴， ∴， 故选A． 7. 如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质和正方形的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质可求的度数． 【详解】解：∵正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形， ∴，，， ∴，且， ∴， 故选：B． 8. 如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理的应用；由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：B． 二、填空题 9. 不透明的袋子中有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出2个球，则“取出的2个球中有红球”为________事件． 【答案】必然 【解析】 【分析】此题考查了事件的分类，明确事件的分类是解答问题的关键，根据事件的分类进行求解即可． 【详解】解：不透明的袋子中装有1个黄球、2个红球， 则“取出的2个球中有红球”必有1个红球或2个红球， “取出的2个球中有红球”为必然事件． 故答案为：必然． 10. 已知中，，点I是它的内心，则___________． 【答案】##125度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心的定义，熟知三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题关键．先求出，根据内心的定义得到，即可求出，最后求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵I是内心， ∴、分别平分、， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11. 若二次函数的图像经过，直线经过，两点． （1）________； （2）当时，直线与的图像只有一个交点，则的取值范围________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的解析式求解等知识点，解题的关键是数形结合． （1）将代入即可求解； （2）结合图象分别求出直线经过，两点时，经过，两点时，经过，两点时，n的值即可解答． 【详解】解：（1）将代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）得，二次函数解析式为， 令，则，二次函数与y轴交点坐标为， 令，则， 当直线经过，两点时， 设直线的解析式为， 将，代入得，解得：， 故此时直线的解析式为， 令，则， 即，，此时，直线与的图像有两个交点， 当直线经过，两点时， 设直线的解析式为， 将，代入得，解得：， 故此时直线的解析式为， 令，则， 即，，此时，直线与的图像只有一个交点， ∵， ∴顶点坐标为， 根据图象可得，当直线经过，两点时，直线与的图像只有一个交点， 此时直线的解析式为， 故，； 综上，根据图象可得：当，直线与的图像只有一个交点时，或， 故答案为：或． 12. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，完全平方公式，多项式乘以多项式，新定义问题，根据题意正确得到方程是解题的关键． 根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的一元二方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵ ∴， 整理得，， ， 解得或． 故答案为：或． 13. 如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径；连接，根据切线性质得，再根据直角三角形的锐角互余得，根据圆周角定理进而求得，然后根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：连接， 与圆O相切于点M， ； ， ； ， ， ， ； ， ； 故答案为：． 14. 已知二次函数，若和对应的函数值相等，则________． 【答案】0或2 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．先求出抛物线的对称轴是直线，由和对应的函数值相等得到或，即可求出答案. 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵和对应的函数值相等， ∴或 解得，或， 故答案为：0或2 15. 如图，在中，，，，点D为线段上一动点．以为直径，作交于点E，连，则的最小值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，可得，从而知点在以为直径的上，继而知点、、共线时最小，根据勾股定理求得的长，即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ， 点在以为直径的上， ， ， 当点、、共线时最小， ， ， ， 的最小值为16， 故答案为：16． 16. 如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当⊙与正方形的边相切时，的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出，则，再分分与相切和与相切两种情况考虑：利用切线的性质得到和圆的性质分别表示出的长，再在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，点坐标为， ， ∵点是的中点， ∴． 分与相切和与相切两种情况考虑： ①当与相切时，如图1所示． 点横坐标为， ． 在中，，，， ，即， 解得：； ②当与相切时，设切点为，连接，如图2所示． ，，， 四边形为矩形， ， ． 在中，，，， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）． 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 三、解答题 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）用十字相乘法进行因式分解得或，解这两个一元一次方程即可； （2）先移项，再提取公因式进行因式分解得或，解这两个一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 18. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，确定点的坐标为． （1）用树状图或列表法列举点所有可能的坐标； （2）求点在函数的图象上的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图的方法求随机事件的概率，掌握列表法和画树状图是解答关键． （1）利用列表法列举点所有可能的坐标来求解； （2）根据（1）的统计情况，利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：列表如下： 共有9种等可能出现的结果：、、、、、、、、． 【小问2详解】 解：由（1）可知，满足点在函数图象上的结果有和共2种， ∴点在函数的图象上的概率为． 19. 作图题：如图所示，在所给的网格图中（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）作出关于直线对称的； （2）作出绕点顺时针方向旋转后的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换和旋转变换，理解并掌握轴对称变换和旋转变换的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质确定点关于直线的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质确定点绕点顺时针方向旋转后的对应点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求； 【小问2详解】 如下图，即为所求． 20. 已知抛物线过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标是 ；的面积是 ； （3）点C在抛物线上，且满足，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线解析式，求解方程即可得到的值，从而得解； （2）根据关于轴对称的点的坐标规律—横坐标互为相反数，纵坐标相同解答；根据点、的坐标求出的长度，以及点到的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可求解； （3）设点到的距离为，根据三角形的面积公式求出，再分两种情况讨论：①当点在下面时；②当点在的上面时；分别求出点的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线过点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， 点关于轴的对称点的坐标为， ， ， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：设点到的距离为， 则， ， ， 解得：， 分两种情况讨论： ①当点下面时， 点的纵坐标为：， 此时，， 解得：，， 点的坐标为或； ②当点在的上面时， 点的纵坐标为：， 此时，， 解得：，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握三角形的面积公式并运用分类讨论思想是解题的关键． 21. “青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题∶ （1）本次参与问卷调查的学生共有_________人，扇形统计图中“合格”所对应的百分比为_________； （2）补全条形统计图； （3）该校某班有4名同学（2名男同学，2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 【答案】（1）80， （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列举法求概率等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用调查学生中“优秀”等级学生人数除以其占比，即可求得本次参与问卷调查的学生总数；利用“合格”等级学生人数除以所调查学生总数乘以，即可求得扇形统计图中“合格”所对应的百分比； （2）首先求得学习情况为“良好”的学生人数，然后补画条形统计图即可； （3）根据题意作出树状图，结合树状图可知，共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8种，即可获得答案． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次参与问卷调查的学生共有80人， ， 即扇形统计图中“合格”所对应的百分比为． 故答案为：80，； 【小问2详解】 参与调查的学生中，学习情况为“良好”的学生人数为（人）， 故可补全条形统计图，如下所示： 【小问3详解】 根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8种， 所以，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为． 22. 如图，是的直径，弦于点E，且，点M在上，经过圆心O，连接． （1）若，求的半径； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）13 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）设的半径长为r，则，根据勾股定理得出，即，求出r即可； （2）连接，证明，得出，设的半径长为r，根据勾股定理得出，解方程，求出结果即可． 【小问1详解】 解：设的半径长为r， 则， ∵是的直径，弦于点E，且， ∴， ∴， 即， 解得，， 即的半径是13； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E，且， ∴， ∴， ∴， 设的半径长为r， 则， 解得，或（舍去）， ∴． 23. 如图，正方形和正方形，，，三点共线，，．将正方形绕点顺时针旋转，连接，． （1）如图，求证：； （2）如图，在旋转的过程中，当，，三点共线时，试求的长； （3）在旋转的过程中，是否存在某时刻，使得，若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）存在某时刻，使得，，理由见解析． 【解析】 【分析】（）由四边形和正方形，得，，，，证明即可； （）连接，交于点，由正方形的性质可得，，，，然后根据勾股定理和线段和差即可求解； （）过点作，交的延长线于点，求得，，则，由勾股定理得，从而有，再通过线段和差即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形和是正方形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵、，三点共线，， ∴在中，， ∴； 【小问3详解】 解：存在某时刻，使得，，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）当点在线段上运动时，求线段最大值； （3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； （4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2） （3） （4）的值为或 【解析】 【分析】（1）由、两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用可分别表示出、的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出点纵坐标，代入抛物线解析式可求得的值； （4）由条件可得出，结合（）可得到关于的方程，可求得的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线过、两点， ∴代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为， 令可得，，解， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； 【小问3详解】 解：由（1）（2）得点坐标为，点坐标为， ∴ ∵ ∴ ∵轴，轴， ∴ ∴ ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，， ∴点纵坐标为， ∴，解得或， 当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 【小问4详解】 解：由（）得，， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有， 当点在线段上时，由（）得， ∴，此方程无实数根， 当点不在线段上时，则有， ∴，解得或， 综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（）中用表示出的长是解题的关键，在（）中确定出是解题的关键，在（）中由平行四边形的性质得到是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$