空间直线、平面的平行专项训练-2025届高三数学一轮复习

空间直线、平面的平行问题 姓名：___________班级：___________分数___________ 一、单选题 1．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【详解】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足， 故选：D. 2．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】ABC可举出反例，D可利用线面平行的判定定理证得. 【详解】A选项，如图1，满足，，但不平行，A错误；    B错误，如图2，满足，，，但不平行，B错误；    C选项，如图3，满足，，，但不平行，C错误；    D选项，若，由线面平行的判断定理可得，D正确. 故选：D 3．如图甲，在梯形ABCD中，，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（　　） ①AF平面BCD；②BE平面CDF；③CD平面BEF． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用线面平行判定定理即可证明AF平面BCD，进而得到①正确；求得BE与平面CDF相交，进而得到②错误；利用线面平行判定定理即可证明CD平面BEF，故③正确． 【详解】对于①，由题意得，∴四边形ABCF是平行四边形， ∴AFBC， ∵平面BCD，BC⊂平面BCD， ∴AF平面BCD，故①正确； 对于②，取DF中点G，连接EG，CG， ∵E是AD中点，AFBC，AFBC， ∴EGBC，EGBC ∴四边形为梯形， ∴直线BE与直线CG相交， ∴BE与平面CDF相交，故②错误； 对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE， ∵四边形ABCF是平行四边形， ∴O是AC中点， ∴OECD， ∵OE⊂平面BEF，平面BEF， ∴CD平面BEF，故③正确． 故选：C． 4．已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（    ） ①若，且，则； ②若相交且都在平面外，，则； ③若，则； ④若，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据线面平行和面面平行逐项判断即可. 【详解】对于①，若，且，则或相交，故①错误； 对于③和④，与也可能相交，均错误； 对于②，设相交确定平面，根据线面平行的判定定理知，根据平行平面的传递性得知． 故选：A． 5．如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可. 【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，    因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以， 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以. 故选：C. 6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 【答案】C 【分析】由推论1和基本事实3可以确定平面与平面有唯一的交线，由线面平行的性质定理可推导直线与交线平行，从而确定选项. 【详解】 解：由推论1可知：，则，，过与确定一平面β， 由基本事实3可知：平面α与平面β有一交点，则有一条唯一的交线与a平行，设为b， 因为直线a∥平面α，，，所以a∥b. 故选：C． 7．如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】D 【分析】根据题意，连接EH，FG，由线面的平行关系，即可得到结果. 【详解】如图所示： 连接EH，FG. 因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝， 所以，且. 因为点E，H分别是边AB，AD的中点， 所以，且， 所以，且， 所以EF与GH相交，设其交点为M， 则平面ABC，同理平面ACD. 又平面平面， 所以M在直线AC上． 故选:D. 8．设是三个不同平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断. 【详解】若，，则由平面平行的性质定理：得； 但当，时，可能有，也可能有相交， 如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面， 另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 二、多选题 9．设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABC 【分析】根据直线与直线的位置关系可判断A；根据面面平行的判定定理可判断B；根据线面的位置关系判断C；根据面面平行的性质定理判断D. 【详解】对于A，若，，则可能平行、异面或相交，A错误； 对于B，若，，，，不一定为相交直线， 只有当为相交直线时，才可得到，故B错误； 对于C，当，时，可能是，推不出一定是，C错误； 对于D，若，，根据面面平行的性质可知，D正确， 故选：ABC 10．如图所示，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】ACD 【分析】根据题意可证明，由此可判断A、C、D选项；根据与平面相交，平面//平面可知与互不平行，由此可判断B选项. 【详解】连接MP，因为，别为棱，中点，所以MP//AD且因为为平行六面，所以且，所以且，故为平行四边形，，故A正确； 因为平面，平面，所以平面；同理平面，故C、D正确 因为与平面相交，且平面//平面，所以与平面相交，又因为平面相交，所以与互不平行.故B错误 故选：ACD 三、填空题 11．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则    【答案】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面，则， 所以. 故答案为：    12．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理，可得到，即可求的长. 【详解】根据题意，因为平面，平面， 且平面平面 所以. 又是的中点，所以是的中点. 因为在中，，故. 故答案为： 13．在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 ． 【答案】 【分析】连接，，，证明平面平面，则动点M的轨迹所形成区域为，即可得解. 【详解】如图，边长为2的正方体中， 动点M满足平面， 由面面平行的性质得：当始终在一个与平面平行的面内，即满足题意， 连接，，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，同理， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 又因平面， 所以平面平面， 又平面，所以动点M的轨迹所形成区域为， ， ， 所以动点M的轨迹所形成区域的面积是. 故答案为：. 14．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是 ． 【答案】①②③ 【分析】由正方体、正四面体的结构特征，结合点线、线线位置关系判断四点是否共面. 【详解】图①：，，故，即四点共面，满足； 图②：，若为中点，则，故，即共面， 而，，故，即共面， 且三点不共线，故共面，满足； 图③：由题设，，故，则共面，满足； 图④：若为中点，则，故，即共面， 而面，面，则面， 又，且三点不共线，故面即为面，故面，即不共面，不满足； 故答案为：①②③ 四、解答题 15．如图：在正方体中，为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)若为的中点，求证：平面平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可； （2）根据线面平行的判定进行证明； （3）根据面面平行的判定进行证明. 【详解】（1）显然平面，于是. （2） 设，连接， 在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面平面 平面； （3）为的中点，为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 又平面平面平面， 由（2）知平面平面平面， 平面平面. 16．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，再证明即可； （2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面平面即可； （3）根据线面平行的判定与性质证明即可. 【详解】（1）设，连接，因为是平行四边形，故， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2）若为侧棱的中点，，则， 又平面，平面，故平面. 又，平面，平面，故平面. 又，平面，故平面平面. 又平面，故平面. （3）因为，平面，平面，故平面. 又平面平面，平面，故    17．如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN. 由平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案. 【详解】（1）证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则FO . 又平面，平面，故平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于， 连结，，，EN. 因，则四点共面. 又平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 18．如图所示，在三棱柱中， 分别是，，的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）先证明平面，再证明平面,根据面面平行的判定定理即可证明结论. 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴, 又在三棱柱中，， 所以． 又平面， 平面， 所以平面. （2）证明：由（1）知，平面，平面， ∴平面， 又∵分别为中点， 故，, 又∵，∴, ∴四边形为平行四边形， ∴, 又∵平面，平面， ∴平面, 又∵平面, ∴平面平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间直线、平面的平行问题 姓名：___________班级：___________分数___________ 一、单选题 1．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 2．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，则 3．如图甲，在梯形ABCD中，，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（　　） ①AF平面BCD；②BE平面CDF；③CD平面BEF． A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（    ） ①若，且，则； ②若相交且都在平面外，，则； ③若，则； ④若，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 7．如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 8．设是三个不同平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．如图所示，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 三、填空题 11．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则    12．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 13．在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 ． 14．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是 ． 四、解答题 15．如图：在正方体中，为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)若为的中点，求证：平面平面. 16．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 17．如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 18．如图所示，在三棱柱中， 分别是，，的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$