浙江省绍兴市高级中学2024-2025学年高二上学期数学周练卷5

绍兴市高级中学2024学年第一学期高二数学周练卷5 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）  A．1 B．－1 C． D． 3．若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 7．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离.结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　　) A.2 B.5 C.4 D.8 8．在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 10．圆x2＋y2－4x－1＝0(　　) A.关于点(2，0)对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称 11．以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线的倾斜角的取值范围是 ． 13．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 . 14．已知直线l1：mx－y＝0，l2：x＋my－m－2＝0.当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 16．（15分）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．    (1)证明：； (2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论； 17．（15分）已知0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形面积最小的k值. 18．（17分）如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点． (1)证明：MN∥平面A'BE； (2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值． 19．（17分）已知线段AB的端点B的坐标是(6，5)，端点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动. (1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程； (2)若点C在曲线C2上运动，点Q在x轴上运动，求|QA|＋|QC|的最小值. 绍兴市高级中学2024学年第一学期高二数学周练卷5（解析版） 4、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 2．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【详解】，所以． 故选：A． 3．若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知， 故， 又由圆的一般方程， 可得，即， 即或， 所以实数的范围为. 故选：C. 4．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线， 变形可得，由，解得， 可得直线恒过定点， 则， 又直线的斜率为， 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为.故选：D. 5．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 6．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意． 故选：B. 7．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离.结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　　) A.2 B.5 C.4 D.8 答案　B 解析　∵f(x)＝＋＝＋ ， ∴f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和， 设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′， 则A′(－2，－4). 要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值， 利用对称思想可知|MA|＋|MB|＝|MA′|＋|MB|≥|A′B|＝ ＝5， 当且仅当A′，M，B三点共线时等号成立， 即f(x)＝＋的最小值为5. 8．在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体体对角线的交点，   ，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为，，则， ， ， ，，， ，， ， 所以， 当时，取得最大值. 故选：C 5、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】 ，故A错误、B正确； ，故C错误、D正确． 故选：BD． 10．圆x2＋y2－4x－1＝0(　　) A.关于点(2，0)对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称 答案　ABC 解析　x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5， 即圆心的坐标为(2，0). A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心，故正确； B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，故正确； C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心， 故正确； D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，故不正确. 11．以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 【答案】BC 【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D错误. 故选：BC 6、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，故. 故答案为：. 13．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 . 【答案】 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 所以， 当时，最小，此时，为中点，则， 取的中点，连接，则， 因为，，所以，， 所以是平面与平面的夹角或其补角， 因为，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值是， 所以平面与平面夹角的正弦值是． 14．已知直线l1：mx－y＝0，l2：x＋my－m－2＝0.当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是________. 答案　(x－1)2＋＝ 解析　当m＝0时，l1：y＝0，l2：x＝2， 易知P(2，0). 当m≠0时，l1过定点O(0，0)，斜率kl1＝m，直线l2的方程可化为m(y－1)＋x－2＝0， 因此l2过定点A(2，1)， 斜率kl2＝－， 则kl1·kl2＝－1， ∴直线l1与l2互相垂直，故PO⊥PA，连接OA， 则直线l1与直线l2的交点P必在以线段AO为直径的圆上， 且圆心为线段AO的中点C， 半径r＝|OA|＝＝， ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋＝. 易知(2，0)在此圆上. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即．····································5分 （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或，·······························10分 所以点坐标为或， 则直线的方程为或．····································13分 16．（15分）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．    (1)证明：； (2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论； 【详解】（1）连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则， 所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，    则，，， 则，，则， 所以.····································7分 （2）由（1）知，， ，， 又，得， ，所以， 所以、、、四点共面，即点在平面内．····································15分 17．（15分）已知0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形面积最小的k值. 解　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝×(2k2＋2－2)×4＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8(0＜k＜4)， 故四边形面积最小时，k＝. 18．（17分）如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点． (1)证明：MN∥平面A'BE； (2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值． 【详解】（1）取的中点，的中点，由题意知，， 直角梯形中，四边形为正方形， 为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 平面，不在面内， 平面.····································6分 （2）连接，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，面， 平面， ，··············8分 ，， ，∵二面角为锐二面角，为等边三角形， 则， 设为平面的法向量，易知为平面的法向量， ，令··································12分 设平面与平面的夹角为， ， 平面与平面的夹角的正切值为.····································17分 19．（17分）已知线段AB的端点B的坐标是(6，5)，端点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动. (1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程； (2)若点C在曲线C2上运动，点Q在x轴上运动，求|QA|＋|QC|的最小值. 解　(1)设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(6，5)，且点P是线段AB的中点， 所以x＝，y＝. 于是有x0＝2x－6，y0＝2y－5.① 因为点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动， 所以点A的坐标满足方程(x－4)2＋(y－3)2＝4， 即(x0－4)2＋(y0－3)2＝4.② 把①代入②，得(2x－6－4)2＋(2y－5－3)2＝4， 整理，得(x－5)2＋(y－4)2＝1， 所以点P的轨迹C2的方程为 (x－5)2＋(y－4)2＝1. (2)圆C1的圆心为(4，3)，半径r1＝2， 圆C2的圆心为(5，4)，半径r2＝1， 所以|QA|＋|QC|≥|QC1|－r1＋|QC2|－r2＝|QC1|＋|QC2|－3.③ 当且仅当A在线段QC1上且C在线段QC2上时，取等号. 取C1(4，3)关于x轴的对称点C3(4，－3)， 当点Q为直线C2C3与x轴的交点时， |QC1|＋|QC2|取得最小值， 且(|QC1|＋|QC2|)min＝|C2C3|＝5， 所以|QA|＋|QC|的最小值为5－3. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$