解三角形的应用举例 专项训练-2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-4.8-解三角形的应用举例-专项训练 【A级　基础巩固】 1.一艘海轮从A处出发,以每小时40 km的速度沿南偏东40°的方向直线航行,2 h后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(　　) A.40 km B.40 km C.80 km D.80 km 2.如图所示,长为4 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处2 m的地面上,另一端B在离堤足C处3 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α等于(　　) A. B. C. D. 3.如图,一架飞机从A地飞往B地,两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从A点起飞以后,就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行,飞行到中途C点,再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程大约多飞了(sin 12°≈0.21,sin 18°≈0.31)(　　) A.10 km B.20 km C.30 km D.40 km 4.(多选题)某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为12 km;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8 km.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°,则下列说法正确的是(　　) A.A处与D处之间的距离是24 km B.灯塔C与D处之间的距离是8 km C.灯塔C在D处的南偏西30° D.D处在灯塔B的北偏西30° 5.一条河流从某城市中穿过,其中一河段的两岸基本上是平行的,根据城建工程计划,需要测量出该河段的宽度,现在一侧岸边选取两点A,B,并测得AB=a,选取对岸一目标点C,并测得∠ABC=α,∠BAC=β,则该段河流的宽度为(　　) A. B. C. D. 6.如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向前进40 km至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为　　　 km.  7.如图,在宝塔山的山坡A处测得∠CAD=15°,从A处沿山坡直线往上前进85 m到达B处,在山坡B处测得∠CBD=30°,∠BCD=45°,则宝塔CD的高约为　　　　m.(≈1.41,≈2.45,结果取整数)  8.通信卫星在地球静止轨道上运行,地球静止轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为h km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球(球心为O,半径为r km),地球上一点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个仰角为θ的地面接收天线(仰角是天线对准卫星时,天线与水平面的夹角),若点A的纬度为北纬30°,则 tan θ-=　　　　.  9.如图所示,A,B,C为三个村庄,AB=7 km,AC=5 km,BC=8 km. (1)求∠ACB的大小; (2)若村庄D在线段BC的中点处,现在线段AC上选取一点E建一个加油站,求该加油站到村庄A,B,C,D的距离之和的最小值. 【B级　能力提升】 10.为了测量某瀑布的某一处实际高度,李华同学设计了如下测量方案:有一段水平山道,且山道与瀑布不在同一平面内,瀑布底端与山道在同一平面内,可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直,在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为,沿山道继续走20 m,抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为,则该瀑布的高度约为(　　) A.60 m B.90 m C.108 m D.120 m 11.如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为300 m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点,现测得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,则P,Q两点间的距离为　　　　m.  12.如图,一艘船从A出发,沿北偏东75°的方向航行60 km后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15°的方向航行30 km后到达海岛C.下次若直接从A出发到达C. (1)需要航行多少千米? (2)此船应该沿怎样的方向航行(角度精确到0.1°)? 参考数据:sin 7.2°≈,sin 19.1°≈,sin 40.9°≈. 13.为了测量隧道口A,B间的距离,开车从A点出发,沿正西方向行驶400 m到达D点,然后从D点出发,沿正北方向行驶一段路程后到达C点,再从C点出发,沿东南方向行驶400 m到达隧道口B点处,测得B,D间的距离为1 000 m. (1)若隧道口B在点D的北偏东θ的方向上,求cos θ的值; (2)求隧道口A,B间的距离. 【C级　应用创新练】 14.(多选题)某同学为测量教学楼的高度,先在地面选择一点C,测量出教学楼AB的仰角∠ACB=α,再分别执行如下四种测量方案,则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案有(　　) A.从点C向教学楼前进a到达点D,测量出∠ADB=β B.在地面上另选点D,测量出∠ACD=β,∠ADC=γ,CD=a C.在地面上另选点D,测量出∠BDC=β,CD=a D.从过点C的直线上(不过点B)另选点D,E,测量出CD=2DE=a,∠ADB=β,∠AEB=γ 参考答案 【A级　基础巩固】 1.解析:由题意可得如图所示的示意图,且∠SAB=40°,∠SAC=70°,即∠BAC=30°, 由图知,∠ABC=105°,则C=45°,又AB=80 km, 所以=,则BC=40 km.故选A. 2.解析:由题意可得,在△ABC中,AB=4 m,AC=2 m,BC=3 m, 且α+∠ACB=π. 由余弦定理可得, cos∠ACB==-, 则cos α=,所以sin α=, 所以tan α==.故选C. 3.解析:在△ABC中,由A=12°,B=18°, 得C=150°, 由正弦定理得==, 所以BC=·sin 12°≈210(km), AC=·sin 18°≈310(km), 所以AC+BC-AB≈20(km).故选B. 4.解析:在△ABD中,由已知,得∠ADB=60°,∠DAB=75°,则B=45°.由正弦定理,得AD===24,所以A处与D处之间的距离为 24 km,故A正确;在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD· ACcos 30°,又AC=8,所以CD=8,所以灯塔C与D处之间的距离为8 km,故B正确;因为AC=CD=8,所以∠CDA=∠CAD=30°,所以灯塔C在D处的南偏西30°,故C正确;因为灯塔B在D处的南偏东60°,所以D处在灯塔B的北偏西60°,故D错误.故选ABC. 5.解析:在△ABC中,由正弦定理,得=,所以AC= =,如图所示,过点C向AB作垂线交AB于点D,所以该段河流的宽度CD=ACsin∠BAC=.故选A. 6.解析:连接AB(图略),由题意可知CD=40,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,∠ADB=60°,在△ACD中,由正弦定理得=,所以AD=20,在Rt△BCD中,因为 ∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=CD=40. 在△ABD中, 由余弦定理得AB==20. 答案:20 7.解析:因为∠CAD=15°,∠CBD=30°, 所以∠ACB=15°, 所以AB=BC=85, 因为∠BCD=45°, 所以∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=180°-30°-45°=105°, sin 105°=sin(45°+60°)=sin 45°cos 60°+cos 45°·sin 60° =×+×=, 在△BCD中, 由正弦定理得=, 所以CD·sin 105°=85sin 30°, 所以CD=≈≈44. 答案:44 8.解析:依题意,作出图形,如图, ∠AOB=30°,∠CAD=θ,OA=OB=r,BC=h, 则∠OAC=90°+θ,C=60°-θ, 在△OAC中,由正弦定理得=, 即=, 于是得===-tan θ, 所以tan θ-=-. 答案:- 9.解:(1)在△ABC中,由余弦定理,得cos∠ACB===, 又0°<∠ACB<180°,所以∠ACB=60°. (2)如图,作D关于AC的对称点F,连接DE,EF,BE,CF,则DE=FE, DC=FC=4 km,∠ACB=∠ACF=60°, 所以∠BCF=120°,当且仅当B,E,F三点共线时,BE+EF最小. 此时BF2=BC2+FC2-2BC·FCcos∠BCF=82+42-2×8×4×(-)=112. 所以BF=4 km. 所以AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF≥AC+BF=(5+4) km, 当且仅当B,E,F三点共线时,等号成立. 所以该加油站到村庄A,B,C,D的距离之和的最小值为(5+4) km. 【B级　能力提升】 10.解析:根据题意作出示意图,其中tan α=,β=θ=,AB=20,在 Rt△AOH中,tan α=,所以OA=OH.在Rt△BOH中,tan β=,所以OB=OH.在△AOB中,由余弦定理,得OB2=OA2+AB2-2OA·AB cos θ,即OH2=OH2+202-2×OH·20×,解得OH=60.所以该瀑布的高度约为 60 m.故选A. 11.解析:因为∠PAB=90°,∠PAQ=60°, 所以∠BAQ=30°, 在△ABQ中,因为∠PBA=∠PBQ=60°, 所以∠ABQ=120°,又∠BAQ=30°, 所以∠AQB=180°-120°-30°=30°, 所以BQ=AB=300 m. 由正弦定理,得=, 所以AQ=900 m. 在Rt△ABP中,AP=ABtan 60°=900 m, 所以AQ=AP=900 m, 又∠PAQ=60°, 所以△APQ是等边三角形, 所以PQ=900 m, 即P,Q两点间的距离为900 m. 答案:900 12.解:(1)在△ABC中,∠ABC=180°-75°+15°=120°,根据余弦定理知, AC= = =30(km),即需要航行30 km. (2)在△ABC中,根据正弦定理知=,所以sin∠CAB= ==,所以∠CAB≈19.1°,75°-∠CAB≈55.9°,即此船应该沿北偏东55.9°的方向航行. 13.解:(1)在△BCD中,由正弦定理, 得=, 即=, 所以sin∠CDB=, 由题可知0°<∠CDB<90°, 所以cos∠CDB=,即cos θ=. (2)由(1)可知,cos∠ADB=sin∠CDB=, 在△ABD中,由余弦定理,得AB2=BD2+AD2-2BD·AD cos∠ADB=1 0002+ (400)2-2×1 000×400×=1 000 000, 所以AB=1 000, 故隧道口A,B间的距离为1 000 m. 【C级　应用创新练】 14.解析:对于A,在△ACD中,∠CAD=β-α,由正弦定理,得AC== ,在Rt△ABC中,AB=ACsin∠ACB=,A满足;对于B, 在△ACD中,∠CAD=π-(β+γ),由正弦定理,得AC==,在Rt△ABC中,AB=ACsin∠ACB=,B满足;对于C,在△ACD中,已知一边无法解三角形,在△BCD中,已知一边一角也无法解三角形,不能求出BC,AC,C不满足;对于D,设AB=h,则有BC=,BD=, BE=,在△BCD与△BED中,由余弦定理, 得 即 所以3BD2+a2-BC2-2BE2=0,即+a2--=0,解此方程即得h,D满足.故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $$