2024-2025学年苏科版八年级上册数学期末复习1（全等三角形1）

苏科八上数学 期末-01 数学期末复习-全等三角形1 · 【巩固练习-参考答案】 1.下列叙述中错误的是（ ） A．能够完全重合的图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形 【答案】C 【解析】解：A．能够重合的图形称为全等图形，说法正确，故本选项错误； B．全等图形的形状和大小都相同，说法正确，故本选项错误； C．所有正方形不一定都是全等图形，说法错误，故本选项正确； D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形，说法正确，故本选项错误； 故选C． 2.如图，△ABE≌△ACD，BC＝10，DE＝4，则DC的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【解析】解：∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD， ∴BE+CD＝BC+DE＝14，∴2CD＝14，∴CD＝7， 故选：B． 3.如图，，过点作，垂足为点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，∴， ∴，即， ∵，∴， ∵，∴，∴； 故选B． 4.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是（ ） A．40° B．50° C．60° D．30° 【答案】B 【解析】解：在△BDE与△CFD中， ， ∴△BDE≌△CFD（SAS）； ∴∠BDE=∠CFD， ∴∠EDF=180°-（∠BDE+∠CDF）=180°-（∠CFD+∠CDF）=180°-（180°-∠C）=50°； 故选：B． 5.如图所示，△ABC≌△DEC，AC＝DC，有以下结论：①EC＝BC；②∠DCA＝∠ECB；③∠DEA＝∠DCA； ④∠DEA＝∠DEC，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】解：∵△ABC≌△DEC，∴BC＝EC，CD＝AC，∠DCE＝∠ACB，故①正确； ∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，即∠DCA＝∠BCE，故②正确； ∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE， ∵，，， ∴，∴∠DEA＝∠DCA，故③正确， ④条件不足，无法判断； 正确的结论有①②③，共3个， 故选：C 6.如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（　　） A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠D 【答案】B 【解析】解：需要补充的条件是∠A＝∠D， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 故选：B． 7.如图，在中，，，垂足分别是D，E，AD，CE交于点H．已知，，则CH的长为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠ADB=90°， ∵∠BAD+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠BAD=∠BCE， 在△BCE和△HAE中， ， ∴△BCE≌△HAE(AAS)，∴CE=AE=6， ∴CH=CE-HE=6-4=2． 故选：B． 8.如图，AB＝AC，DB＝DC则直接由“SSS”可以判定（　　） A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE C．△EBD≌△ECD D．以上答案都不对 【答案】A 【解析】解：在△ABD与△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）． 故选：A． 9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为边BC、AB上的点，且AE＝AC，DE⊥AB．若∠ADC＝61°，则∠B的度数为_____． 【答案】32° 【解析】解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠DEB， 在Rt△ADE和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），∴∠ADE＝∠ADC＝61°， ∴∠BDE＝180°﹣61°×2＝58°，∴∠B＝90°﹣58°＝32°． 故答案为：32°． 10.如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为 ________cm. 【答案】45 【解析】∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF， ∴BC=EF． 在△ABC和△DEF中， AB=DE，∠B=∠E，BC=EF， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴△DEF的周长=△ABC的周长=24cm． ∵CF=3cm， ∴制成整个金属框架所需这种材料的总长度为： △DEF的周长+△ABC的周长-CF=24+24-3=45cm. 故答案为45. 11.如图，点D是△ABC的边AB上一点，FC∥AB，连接DF交AC于点E，若CE＝AE，AB＝7，CF＝4，则BD的长是　 　． 【答案】3 【解析】解：∵FC∥AB，∴∠A＝∠ECF， 在△AED和△CEF中， ，∴△AED≌△CEF（ASA），∴AD＝CF（全等三角形的对应边相等）， 又∵AB＝7，CF＝4，AB＝AD+BD，∴BD＝3． 故答案为：3． 12.如图，点为上一点，，，求证：. 【答案】见解析 【解析】在和中， ∵，，AC=AC， ∴.∴. 又在和中， ∵，AE=AE，，∴.∴ 13.如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN． （1）求证△AMB≌△CNA； （2）求证∠BAC＝90°． 【答案】证明见解析. 【解析】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°， 在Rt△AMB和Rt△CNA中， ， ∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）； （2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN， ∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°． 14.已知：如图，AB=DE，AB∥DE，BE=CF，且点B、E、C、F都在一条直线上，求证：AC∥DF． 【答案】详见解析 【解析】证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC， 又∵BE=CF，∴BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB=∠F， ∴AC∥DF． 15已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：∵BE=CF,∴BE-EF=CF-EF,∴BF=CE, ∵AB∥CD，∴∠B=∠C． 在和中 参考答案1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科八上数学 期末-01 数学期末复习-全等三角形1 · 【知识梳理】 · 全等图形 (1) 全等图形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等图形的周长相等，面积相等. (2) 判断全等图形的依据和方法 能够完全重合的图形叫全等图形．形状和大小相同是全等图形的特征．因此要判断图形是否全等，应根据全等图形的定义或特征． · 例题：如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________． 【答案】180°. 【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案． 解：∵∠1和∠4所在的三角形全等， ∴∠1+∠4=90°， ∵∠2和∠3所在的三角形全等， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°． 故答案为：180． 【点拨】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用． · 全等三角形 (1) 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. (2) 对应顶点，对应边，对应角 A. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. B. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. (3)全等三角形的性质 　　全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等. · 例题：如图，在中，已知，，，试把下面运用“叠合法”说明和全等的过程补充完整： 说理过程：把放到上，使点A与点重合，因为 ，所以可以使 ，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于 ，因此， ； 由于 ，因此， ；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样 ． 【分析】根据“叠合法”说明两三角形全等即可． 解答：把放到上，使点A与点重合，因为，所以可以使AB与重合，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于，因此， 射线AC与射线叠合 ； 由于 ，因此，射线BC与射线叠合；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样重合，即 全等． 【点拨】本题主要考查三角形全等的定义，掌握“叠合法”说明三角形全等，是解题的关键． · 三角形全等的条件1 (1) 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. (2) 全等三角形判定2——“边角边” A. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. B. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. · 例题：已知：如图，点A、F、E、D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AF＝DE，求证：BE∥CF． 【分析】 根据SAS证明△ABE与△DCF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 证明：∵AF＝DE， ∴AF＋FE＝DE＋FE， ∴AE＝DF， 在△ABE与△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠CFD＝∠BEA， ∴BE∥CF． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确运用三角形全等的判定方法是解题的关键． · 三角形全等的条件2 (1) 全等三角形判定3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. (2) 全等三角形判定4——“角角边” A. 全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. B. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. (3) 判定方法的选择 A. 选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS B. 如何选择三角形证全等 可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； 可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； 由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； 如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 例题：如图，已知∠B＝∠DEC，AB＝DE，要推得△ABC≌△DEC； （1）若以“SAS”为依据，还缺条件______________； （2）若以“ASA”为依据，还缺条件__________________； （3）若以“AAS”为依据，还缺条件_____________________； 【答案】BC=EC ∠A=∠EDC ∠ACB=∠DCE (或∠ACD=∠BCE) 【解析】根据三角形全等的判定方法，和题目中所给的条件，依次去判断添加哪一个条件；现有的条件是，∠B＝∠DEC，AB＝DE，如以“SAS”为依据，还缺边相等，找边即可；若以“ASA”为依据，还缺角相等，找角即可；以“AAS”为依据，也是缺角相等，找角即可． 解答：∵∠B=∠DEC，AB=DE ∴（1）要利用SAS，则还缺少一边即：BC=EC （2）要利用ASA，则缺少一角即：∠A=∠EDC （3）要利用AAS，则缺少一角即：∠ACB=∠DCE． 故填BC=EC，∠A=∠EDC，∠ACB=∠DCE． 点睛：本题属开放型的题目，解答关键是明白SAS、ASA、AAS的含义，据已知，缺什么条件，找什么条件，直接或间接的都可以．答案不唯一是本题的特点．要根据已知条件的位置选择方法． · 三角形全等的条件3 (1) 判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. (2) 判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt” · 例题：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，过D作DE⊥AB交AC于点E，CE=DE．连接CD交BE于点F． （1）求证：BC=BD； （2）若点D为AB的中点，求∠AED的度数． 【答案】（1）见详解；（2）60°． 【分析】 （1）利用HL直接证明Rt△DEB≌Rt△CEB，即可解决问题． （2）首先证明△ADE≌△BDE，进而证明∠AED=∠DEB=∠CEB，即可解决问题． 证明：（1）∵DE⊥AB，∠ACB=90°， ∴△DEB与△CEB都是直角三角形， 在△DEB与△CEB中， ， ∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL）， ∴BC=BD． （2）∵DE⊥AB， ∴∠ADE=∠BDE=90°； ∵点D为AB的中点， ∴AD=BD； 在△ADE与△BDE中， ， ∴△ADE≌△BDE（SAS）， ∴∠AED=∠DEB； ∵△DEB≌△CEB， ∴∠CEB=∠DEB， ∴∠AED=∠DEB=∠CEB； ∵∠AED+∠DEB+∠CEB=180°， ∴∠AED=60°． 【点拨】该命题以三角形为载体，以考查全等三角形的判定及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定及其性质，来分析、判断或推理． · 【巩固练习】 1.下列叙述中错误的是（ ） A．能够完全重合的图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形 2.如图，△ABE≌△ACD，BC＝10，DE＝4，则DC的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 3.如图，，过点作，垂足为点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是（ ） A．40° B．50° C．60° D．30° 5.如图所示，△ABC≌△DEC，AC＝DC，有以下结论：①EC＝BC；②∠DCA＝∠ECB；③∠DEA＝∠DCA； ④∠DEA＝∠DEC，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（　　） A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠D 7.如图，在中，，，垂足分别是D，E，AD，CE交于点H．已知，，则CH的长为（ ） A．1 B．2 C． D． 8.如图，AB＝AC，DB＝DC则直接由“SSS”可以判定（　　） A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE C．△EBD≌△ECD D．以上答案都不对 9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为边BC、AB上的点，且AE＝AC，DE⊥AB．若∠ADC＝61°，则∠B的度数为_____． 10.如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为 ________cm. 11.如图，点D是△ABC的边AB上一点，FC∥AB，连接DF交AC于点E，若CE＝AE，AB＝7，CF＝4，则BD的长是　 　． 12.如图，点为上一点，，，求证：. 13.如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN． （1）求证△AMB≌△CNA； （2）求证∠BAC＝90°． 14.已知：如图，AB=DE，AB∥DE，BE=CF，且点B、E、C、F都在一条直线上，求证：AC∥DF． 15.已知：如图，．求证：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$