27.2相似三角形性质与判定 同步练习2024-2025学年人教版数学九年级下册

2024-2025学年九年级下学期人教版数学 27.2相似三角形性质与判定 同步练习 一．选择题（共10小题） 1．如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，点E是AD中点，，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，BE是△ABC的中线，点D在BC上且满足CD＝2BD，连接AD，与BE交于点F，则的值为（　　） A． B． C．4 D． 3．边长分别为10、6、4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为（　　） A．15 B．18 C．21 D．30 4．如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE与BD相交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则EC：DE＝（　　） A．5：2 B．5：3 C．2：3 D．3：2 6．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，则下列结论：①△AEF∽△CAB；②BF＝2EF；③．其中正确结论的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 7．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 8．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．若AF＝7，DF＝1，则△ABC的边长等于（　　） A． B． C． D． 9．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA的长度为（　　） A．2cm B．3cm C．1cm或4cm D．2cm或3cm 10．如图，正方形ABCD和正方形AEFG，F点在边BC上，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD；③DG＝FC；④点G到直线AD和直线CD的距离相等．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．解答题（共6小题） 11．如图，已知P（2m+5，3m+6）在第一象限角平分线上，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠BPA＝90°． （1）求点P的坐标； （2）若点B为（0，2），求点A的坐标． 12．如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90° （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝6，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长． 13．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t s（0＜t＜5）后，△CQP的面积为S cm2 （1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 15．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0），直线交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达点O时，点P停止移动．连接BP、CP，设运动时间为t秒． （1）点D的坐标为 　 　； （2）当CP⊥OD时，求直线CP的表达式； （3）在点P、Q在运动的过程中，是否存在以点O、P、Q为顶点的三角形与△BCQ相似．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F． （1）求证：△AEB∽△CFB； （2）求证：； （3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B D A C C D D 一．选择题（共10小题） 1．如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，点E是AD中点，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由矩形的性质及∠BEF＝90°可推得∠A＝∠D＝90°，∠AEB＝∠EFD，进而判定△ABE∽△DEF，根据相似三角形的性质得出比例式，设AE＝a，用含a的式子分别表示出FC和BC，然后计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， 又∵∠BEF＝90°， ∴∠AEB+∠FED＝90°，∠FED+∠EFD＝90°， ∴∠AEB＝∠EFD， ∴△ABE∽△DEF， ∴， 设AE＝a， ∵点E是AD中点， ∴AE＝DE＝a， ∵， ∴， ∴ABa，DFa， ∴FC＝DC﹣DF＝AB﹣DFaaa， ∵BC＝AD＝2AE＝2a， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 2．如图，BE是△ABC的中线，点D在BC上且满足CD＝2BD，连接AD，与BE交于点F，则的值为（　　） A． B． C．4 D． 【分析】过点E作EG∥BC交AD于G，得出△BDF≌△EGF、△AGE∽△ADC，利用性质即可得出． 【解答】解：过点E作EG∥BC交AD于G， ∵BE是△ABC的中线， ∴，∠EGF＝∠BDF，∠GEF＝∠DBF， ∴CD＝2GE，AD＝2AG，△AGE∽△ADC， ∵CD＝2BD， ∴BD＝GE， ∴△BDF≌△EGF（ASA）， ∴DF＝GF， ∴AG＝2GF， 设S△GEF＝m， ∴S△AGE＝2m，S△ACD＝8m， ∴S△ABD＝4m，S△AEF＝3m， ∴S△ABC＝12m， ∴． 故答案为：C． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质和判定，利用已知条件熟练运用相关性质是正确解题的关键． 3．边长分别为10、6、4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为（　　） A．15 B．18 C．21 D．30 【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可． 【解答】解：如图， ∵BF∥DE， ∴△ABF∽△ADE， ∴， ∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10， ∴， ∴BF＝2， ∴GF＝6﹣2＝4， ∵CK∥DE， ∴△ACK∽△ADE， ∴， ∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10， ∴， ∴CK＝5， ∴HK＝6﹣5＝1， ∴阴影梯形的面积（HK+GF）•GH （1+4）×6 ＝15． 故选：A． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 4．如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】取BD的中点M，连接EM，交BF于点N，则EM，EM∥DC，由△BEN∽△BCF，得EN，由EM∥AB，得△EMG∽△ABG，△ENH∽△ABH，则EG，EH，从而解决问题． 【解答】解：方法1：∵矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点， ∴BE，AB∥CD，CF＝DF， 取BD的中点M，连接EM，交BF于点N，如图， 则EM是△BCD的中位线， ∴EM，EM∥DC， ∴EM，EM∥AB， ∴△BEN∽△BCF， ∴， ∴EN， ∴EN， ∵EM∥AB， ∴△EMG∽△ABG，△ENH∽△ABH， ∴，， ∴EG，EH， ∴GH＝EG﹣EH， ∴， 方法2：连接EF， 由EF是△BCD的中位线得EF∥BD，EFBD， ∴△BGH∽△FEH， ∴， ∵AD∥BC， ∴， ∴DG＝2BG， ∴EF， ∴， 故选：B． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示出GH和HE的长是解题的关键． 5．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE与BD相交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则EC：DE＝（　　） A．5：2 B．5：3 C．2：3 D．3：2 【分析】根据平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，得到△DFE∽△BFA，根据相似三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴△DFE∽△BFA， ∴， ∴， ∴EC：DE＝3：2， 故选：D． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 6．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，则下列结论：①△AEF∽△CAB；②BF＝2EF；③．其中正确结论的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】①先证明∠BAC＝∠AEB，再由∠ABC＝∠AFE＝90°，即可证明△AEF∽△CAB； ②先得到AD＝2AE，由矩形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，由此证明△AFE∽△CFB，根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到结论； ③可证△BAE∽△ADC，根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到结论． 【解答】解：∵BE⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∴∠CAE+∠AEB＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠CAE＝90°， ∴∠BAC＝∠AEB， 又∵∠ABC＝∠AFE＝90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵E是AD边的中点， ∴AD＝2AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴△AFE∽△CFB ∴ ∴BF＝2EF，故②正确； ∵∠BEA+∠ABE＝90°，∠BEA+∠CAD＝90°， ∴∠ABE＝∠CAD， ∵∠BAE＝∠ADC＝90°， ∴△BAE∽△ADC， ∴， ∵AB＝DC， ∴DC2＝AD•AE， ∴，故③正确， 故选：A． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握相关知识是解题关键． 7．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O'作O'N⊥AB，垂足为N， ∵CD∥AB， ∴△CDO∽△ABO'，即相似比为， ∴， ∵OM＝15﹣7＝8（cm），O'N＝11﹣7＝4（cm）， ∴， ∴AB＝3cm， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质． 8．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．若AF＝7，DF＝1，则△ABC的边长等于（　　） A． B． C． D． 【分析】先由△ABC是等边三角形证明△ABD≌△BCE，由此得∠BAD＝∠CBE，再证明△ABD∽△BFD，由此得，即BD2＝AD•DF＝（AF+DF）•DF＝8，BD＝2，再过点D作DG⊥AB于G，用勾股定理求出AG、BG即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE， 在△ABD与△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∠BAD＝∠CBE， ∵∠BDA＝∠FDB， ∴△ABD∽△BFD， ∴， ∴BD2＝AD•DF＝（AF+DF）•DF＝8， ∴BD＝2， 如图，过点D作DG⊥AB于G， ∵∠BDG＝30°， ∴BGBD， ∴DG， ∴AG， ∴AB． 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、勾股定理，证明出△ABD∽△BFD，求得BD＝2是解决此题的关键． 9．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA的长度为（　　） A．2cm B．3cm C．1cm或4cm D．2cm或3cm 【分析】当∠APD＝∠BCP时，因为∠A＝∠B＝90°，所以△APD∽△BCP，根据相似三角形的对应边成比例得，可求出此时AP的长；当∠APD＝∠BPC时，则△APD∽△BCP，根据相似三角形的对应边成比例得，可求得此时AP的长． 【解答】解：如图1，∠APD＝∠BCP， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴△APD∽△BCP， ∴， ∵AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm， ∴， ∴解得AP＝2或AP＝3， ∴AP的长为2cm或3cm； 如图2，∠APD＝∠BPC， ∴△APD∽△BCP， ∴， ∴， 解得AP＝3， ∴AP的长为3cm， 综上所述，AP的长为2cm或3cm， 故选：D． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，证明△APD∽△BCP及△APD∽△BCP是解题的关键． 10．如图，正方形ABCD和正方形AEFG，F点在边BC上，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD；③DG＝FC；④点G到直线AD和直线CD的距离相等．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由正方形的性质可得∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AFAG，ACAD，可得∠EAB＝∠DAG，可判断①；由，∠FAC＝∠DAG，可证△FAC∽△DAG，可判断②；由△FAC∽△DAG可得：，可判断③；由相似三角形的性质可得∠ADG＝∠ACB＝45°，可得∠CDG＝45°，则DG是∠ADC的平分线，可判断④；即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形， ∴∠EAG＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AFAG，ACAD， ∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG， ∴∠EAB＝∠DAG，故①正确； ∵AFAG，ACAD， ∴， ∵∠FAG＝∠CAD＝45°， ∴∠FAC＝∠DAG， ∴△FAC∽△GAD，故②正确， ∴∠ADG＝∠ACB＝45°，， ∴DG＝FC，故③正确， ∠CDG＝∠ADC﹣∠ADG＝45°， ∴DG是∠ADC的平分线， ∴点G到直线AD和直线CD的距离相等．故④正确． 综上所述：正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键． 二．解答题（共6小题） 11．如图，已知P（2m+5，3m+6）在第一象限角平分线上，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠BPA＝90°． （1）求点P的坐标； （2）若点B为（0，2），求点A的坐标． 【分析】（1）根据第一象限角平分线上的点的横纵坐标相等，列方程可解答； （2）介绍两种解法： 解法一：作辅助线构建△PGB≌△PHA，得AH＝BG＝1，可解答； 解法二：利用面积法可解答． 【解答】解：（1）∵P（2m+5，3m+6）在第一象限角平分线上， ∴2m+5＝3m+6， ∴m＝﹣1， ∴P（3，3）； （2）解法一：如图，过点P作PG⊥y轴于G，PH⊥x轴于H，则∠PGO＝∠PHO＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠GPH＝90°， ∵∠APB＝90°， ∴∠APH＝∠BPG， ∵OP平分∠AOB，PG⊥y轴，PH⊥x轴， ∴PG＝PH， 在△PGB和△PHA中， ， ∴△PGB≌△OHA（ASA）， ∴BG＝AH， ∵点B为（0，2）， ∴OB＝2， ∴AH＝BG＝3﹣2＝1， ∴A（4，0）． 解法二：如图所示，连接AB， ∵B（0，2），P（3，3）， ∴PB， ∵S四边形APBO＝S△OPB+S△AOP＝S△ABP+S△AOB， ∴2×3OA×32×OA， ∴OA＝4， ∴A（4，0）． 【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，坐标和图形的性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 12．如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90° （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝6，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长． 【分析】（1）利用“一线三直角”即可证明△ABE∽△DEF； （2）由AB＝CD＝6，CF＝3FD求出DF和CF的长，利用△ABE∽△DEF求出DE的长度，再由△CGF∽△DEF求出CG的长度，即可求出BG的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠D＝90o， ∵∠BEF＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEF＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∴△ABE∽△DEF； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝CD＝6，AD∥BG， ∵CF＝3FD， ∴DF＝1.5， 设DE＝x， ∵△ABE∽△DEF， ∴， 即， 解得：x＝3， ∴DE＝3， ∵AD∥BG， ∴∠DEF＝∠G， ∵∠DFE＝∠CFG ∴△CGF∽△DEF， ∴， ∵CF＝3FD， ∴， ∴CG＝9， ∴BG＝BC+CG＝15． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，能够正确找到相似三角形是解决本题的关键． 13．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可． 【解答】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时， ∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm， ∴， ∴， ②当△BPQ∽△BCA时， ∵， ∴， ∴； ∴或时，△BPQ与△ABC相似； （2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N， 则有PB＝3t，，，， ∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°， ∴△ACQ∽△CMP， ∴， ∴ 解得：． 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t s（0＜t＜5）后，△CQP的面积为S cm2 （1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 【分析】（1）在矩形ABCD中求出对角线AC的长度，然后表示出CQ、PC的长度，过点P作PH⊥BC于点H，然后在Rt△PHC中表示出PH的长度，根据面积为3.6cm2，列方程求解． （2）分∠PQC＝90°与∠CPQ＝90°两种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）在矩形ABCD中， ∵AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm， CQ＝tcm， 过点P作PH⊥BC于点H， 则PH（10﹣2t）cm， 根据题意，得 t•（10﹣2t）＝3.6， 解得：t1＝2，t2＝3． 答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3． （2）如答图1，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC， ∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t， ∴△PQC∽△ABC， ∴，即，解得t（秒）； 如答图2，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC， ∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC， ∴△CPQ∽△CBA， ∴，即，解得t（秒）． 综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答（2）时要注意分类讨论． 15．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0），直线交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达点O时，点P停止移动．连接BP、CP，设运动时间为t秒． （1）点D的坐标为 　（4，3）　； （2）当CP⊥OD时，求直线CP的表达式； （3）在点P、Q在运动的过程中，是否存在以点O、P、Q为顶点的三角形与△BCQ相似．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据矩形的性质以及A坐标为（0，3），把y＝3代入，得x＝4，即可作答； （2）连接CP，易证△AOD∽△PCO，得，，设，根据勾股定理列出方程可求得，设直线CP的表达式y＝kx+b，结合C坐标为（8，0），即可作答； （3）分类讨论：①如图，当PQ⊥x轴，根据△OPQ与△BCQ相似，则，解得t＝4，或，解得；②如图，当PQ⊥OD，因为△OPQ与△QCB相似，则有，解得t＝4，或，解得，即可作答． 【解答】解：（1）∵矩形OABC的顶点A坐标为（0，3）， ∴把y＝3代入，得x＝4， ∴点D的坐标为（4，3）； （2）连接CP， ∵点D的坐标为（4，3）， ∴OD＝5， ∵CP⊥OD， ∴∠CPO＝∠OAB＝90°， ∵四边形OABC是矩形， ∴AB∥OC， ∴∠ADO＝∠COD， ∴△AOD∽△PCO， 则， 即， ∴，， ∵直线交AB于点D， ∴设， 则， ∴， 解得， ∴， 设直线CP的表达式y＝kx+b， ∵C坐标为（8，0）， ∴， 解得， ∴， ∴直线CP的表达式； （3）解：存在，理由如下： ①如图，当PQ⊥x轴，连接BQ， ∵， ∴， ∵点D的坐标为（4，3）， ∴OD＝5， 则， ∴， 得， ∵PQ⊥x轴， ∴， ∴， ∴， ∵△OPQ与△QBC相似， ∴， 即 解得t＝4； 或， 即， 解得； ②如图，当PQ⊥OD， ∵， ∴， ∵点D的坐标为（4，3）， ∴OD＝5， 则， ∵点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，设运动时间为t秒， 则在Rt△OPQ中，， 得， 则在Rt△OPQ中，， 得， ∴， ∵△OPQ与△QCB相似， ∴， 即， 解得t＝4； 综上所述：t的值为4或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、一次函数的解析式以及矩形的性质，具有一定的难度，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F． （1）求证：△AEB∽△CFB； （2）求证：； （3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长． 【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断． （2）首先证明CE＝CF，利用相似三角形的性质即可解决问题． （3）解直角三角形求出FH，CH，利用相似三角形的性质求出DF，AD即可． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD为AB边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴△AEB∽△CFB． （2）证明：∵∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD， ∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE， ∵∠CEF＝∠A+∠ABE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∵△AEB∽△CFB， ∴， ∴． （3）解：如图，作CH⊥EF于H． ∵CE＝CF，CH⊥EF， ∴EH＝FH， ∴CH2， 由△BFD∽△CFH， ∴， ∴， ∴DF＝3，CD＝CF+DF＝8， 由△ACD∽△CBD， ∴， ∴， ∴AD． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$