第二十章解直角三角形同步练习 2024-2025学年北京版数学九年级上册

第二十章解直角三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在中，，，，则的值是(   ) A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△中，，，垂足为,若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），点B（0，﹣4），则tan∠ABO等于（　　） A． B． C． D． 5．在△ABC中，若AC：BC：AB＝7：24：25，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 6．在直角坐标平面的第一象限内有一点，如果射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 7．已知两直角重合的两块直角三角板，其中∠DCE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∠DEC＝45°，AC＝DC＝2．若将△DEC绕着点C顺时针旋转60°后，点D恰好落在AB边上，DE与BC交于F，如图所示，则△CEF的面积为（　　） A．3 B． C．2 D．3 8．如图，彩旗中，，点在上，，则的长介于下列哪两个整数之间（    ）    A．2与3 B．3与4 C．4与5 D．11与13 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（    ） A．10 B．24 C．48 D．50 10．如图，个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为，、、都在格点上；点在过、、三点的圆弧上，若也在格点上，且，则的值为（   ）    A． B． C． D． 11．已知在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 12．在中，，，则的值为（　　） A． B． C． D．2 二、填空题 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为 ． 14．如图，在矩形中，点P是边上一点，连接，，点E是边上一点，且，点F是边上一点，过点E作的垂线交边于点G．若，且恰好平分的周长，则的面积为 ．    15．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了90米，则此时该小车离水平面的垂直高度为 米． 16．如图，函数y＝x与y＝的图像交于A，B两点，P是反比例函数图像上任一点（不与A，B重合），连接PA、PB，对于△ABP，有如下性质：|∠PBA－∠PAB|恒为定值且等于90°，根据上述性质完成：若tan∠PAB＝，，则k＝ 17．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为2米，那么此拦水坝的坡角为 度． 三、解答题 18．计算： 19．如图1，在等边△ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）． （1）当0°＜α＜30°时， ①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）； ②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明； （2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系．    20．如图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面的高度为．当起重臂长度为，张角为时，求操作平台C离地面的高度．（参考数据：） 21．广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组成广州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在离塔底水平距离450米的地点，测得塔身主体的顶端C的仰角为，天线桅杆的顶端的仰角为．    (1)根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直） (2)求天线桅杆的高度．（参考数据：） 22．七中育才学校正在举行运动会，某同学想用无人机记录下运动会的盛况，如图，当无人机到达离地面高度为米的A处时，仪器显示正前方的教学楼顶部B的仰角是，底部C的俯角是，求教学楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到米）    23．如图，在中，，D为的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，是等边三角形，求的长． 24．如图，四边形ABCD是菱形，点为对角线AC的中点，点在AB的延长线上，，垂足为，点在AD的延长线上，，垂足为． （1）求证：四边形CEHF是菱形； （2）已知四边形CEHF的周长为，求菱形ABCD的面积． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A A A A B C B 题号 11 12 答案 C A 1．B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：B． 2．A 【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，据此求解即可． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=， ∴cosA ，∠A+∠B=90°， ∴sinB=cosA=． 故选：A． 【点睛】本题考查的是互余两角三角函数的关系，属基础题，掌握正余弦的这一转换关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 3．D 【分析】在△中，根据勾股定理可得，而∠B=∠ACD，即可把求转化为求． 【详解】在△中，根据勾股定理可得： ∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， ∴=． 故选D． 【点睛】本题考查了了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中． 4．A 【详解】∵A（3，0），B（0，-4），∴AO=3，OB=4， ∵∠AOB=90°，∴tan∠ABO==， 故选 A. 5．A 【分析】根据三角形三边的比可以判断三角形是直角三角形，则根据三角函数的定义就可以求解． 【详解】∵AC：BC：AB=25：24：7，故设AC=25k，BC=24k，AB=7k，(k>0) 又∵(7k)2+(24k)2=(25k)2， ∴这个三角形是直角三角形， ∴sinA===． 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理以及锐角三角函数的定义即运用，互联掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解直角三角形，过点作轴于点，则，，再由正切的定义得到，则． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选A． 7．A 【分析】过点作，交于点，过点作，根据三角形中位线的性质求出的长，利用解直角三角形求出的长，再根据求出的长，即可求解 【详解】解：如图：过点作，交于点，过点作，交于点 ， ， 为的中点 ，，为的中点 即 故选： 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线，解直角三角形，利用三角形面积的不同求法，求出线段的长是解题关键． 8．B 【分析】根据等腰三角形的性质可求∠BAC=60°，在Rt△ABC中求BC的长度后，再估计无理数的大小即可求得答案． 【详解】∵AD=AB=4cm，∠D=30°， ∴∠ABD=∠D=30°，∠CAB=2∠D=60°． ∴， ∵ ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数以及无理数大小的估计，注意利用数的平方大小进行比较是解此题的方法． 9．C 【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值． 【详解】解：如图，过点C作于点E， ∵菱形OABC的边OA在x轴上，点， ∴， ∵． ∴， ∴ ∴点C坐标 ∵若反比例函数经过点C， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标． 10．B 【分析】根据菱形的性质结合可得出为等边三角形，进而可得出点为圆弧的圆心，将圆补充完整，利用圆周角定理找出点的位置，再根据菱形的性质即可得出为等边三角形，进而即可得出的值． 【详解】解：在图中标上点、，连接，    四边形为菱形， ，平分． ， 为等边三角形， ， 点为圆弧的圆心． ， 以点为圆心长度为半径补充完整圆，点即是所求，如图所示． 所对的圆周角为、， 图中所标点符合题意． 四边形为菱形，且， 为等边三角形， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定依据圆周角定理，根据圆周角定理结合图形找出点的位置是解题的关键． 11．C 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，结合图形根据余弦函数的定义求解可得，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键． 【详解】如图， ∵，即， ∴， 故选：C． 12．A 【分析】先利用正切的定义得到，则设，，利用勾股定理表示出，然后利用正弦的定义求解． 【详解】解：如图： ， ， 设，则， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：利用一个锐角的一个三角函数值表示出边之间的关系，再利用勾股定理表示出第三边，然后根据三角函数的定义求这个角的另两个三角函数值． 13．． 【分析】如图作点C关于直线OB的对称点C′，连接OC′，CC′，AC′，AC′交OB于P′，连接P′C，此时P′A+P′C的值最小，最小值为线段AC′的长． 【详解】解：如图作点C关于直线OB的对称点C′，连接OC′，CC′，AC′，AC′交OB于P′，连接P′C，此时P′A+P′C的值最小，最小值为线段AC′的长． 在Rt△OAB中，∵OA=3，AB=， ∴tan∠BOA=， ∴∠BOA=30°， 根据对称性可知：∠COC′=60°，OC=OC′=1， ∴△OCC′是等边三角形， ∴C′（，）， ∵A（3，0）， ∴AC′=， ∴PA+PC的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质及解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题． 14． 【分析】取的中点M，连接，作于点H．设．证明，得到，则，，，由得到，则，得到，进一步求得，，求得，则，得到，则，即可求出△PBC的面积． 【详解】如图，取的中点M，连接，作于点H．    设， ∵，， ∴是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴，   ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为 ． 【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 15．45 【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可． 【详解】设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米． 根据勾股定理可得：x2＋（x）2＝902． 解得x＝45． 即此时该小车离水平面的垂直高度为45米． 故答案为：45. 【点睛】考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan（坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理． 16． 【分析】作BF⊥y轴于点F，作PE⊥AB于点E，首先根据等量代换得出∠PAB＝∠BPE，然后利用＝BE：AB求出，进而求出，然后利用反比例函数与一次函数联立求出点B的坐标，从而利用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图，作BF⊥y轴于点F，作PE⊥AB于点E， ∵∠PBA＝∠BPE＋90°，∠PBA－∠PAB＝90°， ∴∠PAB＝∠BPE， ∴tan∠PAB＝tan∠BPE＝， 设BE＝a，则PE＝2a，AE＝4a，则AB＝3a， ∵O是AB的中点， ∴OB＝a， ∵∠BOF＝45°， ∴BF＝OF＝a， ∵＝BE：AB＝1：3， ∴＝4， ∵＝＝， ∴＝4， ∵ ∴， ∴或 ∴k＝． 【点睛】本题主要考查反比例函数，一次函数与几何综合，数形结合是关键． 17．60 【分析】从上底两个顶点向下底引垂线，构造出两个直角三角形和一个矩形，利用等腰梯形的性质得到DE长，进而得到坡角． 【详解】解：如图，作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F． AB＝6，DC＝10，AE＝BF＝2， ∵AE⊥DC，BF⊥DC，四边形ABCD为等腰梯形． ∴四边形AFEB是矩形， ∴AB＝EF＝6，AE=BF，∠AED=∠BFC=90°， 又∵AD=BC， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）， ∴DE＝CF＝， ∴， ∴∠D=60°， 故答案为：60． 【点睛】此题主要考查学生对坡角的理解及等腰梯形的性质的应用． 18． 【分析】先分别计算负指数幂、零指数幂、绝对值、三角函数值，然后进行加减运算． 【详解】解： = = =． 【点睛】本题考查了实数的运算，属于基础题，需要一定的运算求解能力，熟练掌握实数运算公式和法则是解题的关键． 19．（1）图形见解析；∠BQE=60°+2α；（2）CE+AC=CQ；证明见解析；（3）AC-CE=CQ． 【分析】（1）①先根据等边三角形的性质的QA=QB，进而得出QB=QE，最后用三角形的内角和定理即可得出结论； ②延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H．先判断出△QAF≌△QEC，得出QF=QC，再判断出△QCF是底角为30度的等腰三角形，再构造出直角三角形即可得出结论； （2）同②的方法即可得出结论． 【详解】（1）当0°＜α＜30°时， ①画出的图形如图1所示， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°． ∵CD为等边三角形的中线， ∴CD是AB的垂直平分线， ∵Q为线段CD上的点， ∴QA=QB． ∵∠DAQ=α， ∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α． ∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得， ∴QE=QA． ∴QB=QE． ∴∠QEB=∠QBE=60°-α， ∴∠BQE=180°-2∠QBE=180°-2（60°-α）=60°+2α； ②CE+AC=CQ；证明： 如图2，延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H． ∵∠BQE=60°+2α，点E在BC上， ∴∠QEC=∠BQE+∠QBE=（60°+2α）+（ 60°-α）=120°+α． ∵点F在CA的延长线上，∠DAQ=α， ∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α． ∴∠QAF=∠QEC． 又∵AF=CE，QA=QE， ∴△QAF≌△QEC． ∴QF=QC． ∵QH⊥AC于点H， ∴FH=CH，CF=2CH． ∵在等边三角形ABC中，CD为中线， 点Q在CD上， ∴∠ACQ=∠ACB=30°， 即△QCF为底角为30°的等腰三角形． ∴CH＝CQ•cos∠HCQ＝CQ•cos30°＝CQ． ∴CE+AC=AF+AC=CF=2CH＝CQ． （2）如图3，当30°＜α＜60°时， 在AC上取一点F使AF=CE， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°． ∵CD为等边三角形的中线， ∵Q为线段CD上的点， ∴CD是AB的垂直平分线， 由等边三角形的对称性得QA=QB． ∵∠DAQ=α， ∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α． ∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得， ∴QE=QA． ∴QB=QE． ∴∠QEB=∠QBE=60°-α=∠QAF， 又∵AF=CE，QA=QE， ∴△QAF≌△QEC． ∴QF=QC． ∵QH⊥AC于点H， ∴FH=CH，CF=2CH． ∵在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在CD上， ∴∠ACQ=∠ACB=30°， 即△QCF为底角为30°的等腰三角形． ∴CH＝CQ•cos∠HCQ＝CQ•cos30°＝CQ． ∴AC-CE=AC-AF=CF=2CH＝CQ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 20．操作平台离地面的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作于，于，如图，易得四边形为矩形，则，，再计算出，则在中利用正弦可计算出，然后计算即可． 【详解】解：作于，于，如图， 则四边形为矩形， ，， ， 在中，， ， ， 答：操作平台离地面的高度为． 21．(1)见详解 (2)150米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意，画出几何示意图即可； （2）利用三角函数，分别解得、的值，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，画出几何示意图如下；    （2）根据题意，米，，， ∴米， 米， ∴米． 答：天线桅杆的高度为150米． 22．米 【分析】本题考查解直角三角解决仰俯角问题，过A作，根据求出，结合即可得到答案； 【详解】解：过A作，由题意可得，   ， ∵， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴（米）． 23．(1)见解析； (2)2． 【分析】（1）先根据题意证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，即可求证结论； （2）由是等边三角形及菱形的性质，证明，根据解直角三角形可求解答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 在中， D为的中点， ． 四边形是菱形． （2）是等边三角形， ， 四边形是菱形， ； ， ； 【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质以及等边三角形的性质，涉及到直角三角形斜边中线性质，特殊三角函数值，解题的根据是熟练掌握菱形的判定和性质以及等边三角形的性质的运用． 24．（1）见解析；（2） 【分析】（1）由菱形的性质及角平分线的性质定理可得CE=CF，再由直角三角形斜边上中线的性质可得，由即可得△CEH是等边三角形，从而可证得四边形CEHF是菱形； （2）连接BD，由菱形的周长可得CE=CH=4，可得AC=8；再由及菱形的性质可得，在Rt△BCH中利用锐角三角函数即可求得BH的长，从而求得BD的长，最后可求得菱形ABCD的面积． 【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD． ∵，， ∴． ∵为对角线AC的中点， ∴． ∵， ∴△CEH是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形CEHF是菱形． （2）连接BD，如图所示． ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AB=BC， ∴∠BCA=∠EAC． ∵四边形CEHF是菱形，周长为16， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴菱形ABCD的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数，求菱形的面积，等边三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些知识是解答问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$