第四章　相似三角形——三角形的面积之比再探索　课件+学案　　2024—2025学年浙教版数学九年级上册

专题复习： 《三角形面积之比的探索》 一、内容分析 本节课的主要内容是“三角形面积之比的探索”，它是运用三角形的面积计算公式和相似三角形的基本性质，灵活地运算三角形面积之比，归纳出同高的两个三角形面积之比等于底之比、相似的两个三角形面积之比等于相似比的平方这两个主要结论。本节课是浙教版九年级上册第四章第五节的内容。学习本节课之前，学生已经学习了相似三角形的定义、判定等相关知识； 本节课学习的内容也能为学生在图形与几何领域的深入探索奠定重要基础，所以其在教学中起着承上启下的作用。 本节课对三角形面积之比的探索要求学生通过探究活动发现数学规律，理解数学知识，提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。 二、学情分析 学生已经熟练掌握三角形的面积计算公式，学习了相似三角形的定义、判定、性质等相关知识，对本节课等探究拥有相应的知识和活动经验。 学生的抽象能力、空间想象能力等较为薄弱，对如何创造性地分析图形，添加恰当的辅助线缺乏一定的经验。 三、教学目标 (1) 理解并掌握求两个三角形的面积之比的方法：同高的两个三角形面积之比等于底之比，相似的两个三角形面积之比等于相似比的平方。 (2) 通过“观察—探索—归纳—应用”的活动过程， 以转化与化归的数学思想方法为手段，促进抽象能力、应用意识等数学核心素养的发展。 (3) 在探索中学会发现、学会探索、学会归纳，培养良好的探究习惯。 四、教学重难点 教学重点： “同高的两个三角形面积之比等于底之比”， “相似的两个三角形面积之比等于相似比的平方”两个结论的掌握与运用。 教学难点：将题目问题转化为对已知结论的运用。 五、教学过程设计 (一) 复习回顾，引入主题 导入: 如图1, 在△ABC中, D是线段AB的中点, 连结CD, 4 思考：你能得到哪些结论? 则 变式1: 如图2, 若E是AC的中点, 连结BE, CD交于点P, 则 变式2: 如图3, 连结DE, 则 思考：通过以上练习，你能总结出哪些求两个三角形的面积之比的方法? 师生活动：归纳总结两个三角形的面积之比：①同高的两个三角形，面积之比等于底之比； ②相似的两个三角形，面积之比等于相似比的平方。 设计意图：从学生熟悉的图形出发，根据他们熟悉的三角形面积计算公式，逐步深入，层层递进，引导学生自主发现并归纳出求两个三角形的面积之比的方法。 (二) 例题解析，当堂练习 例 已知: 如图, D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点, DE∥BC,若 求S△ADE: S△ABC的值. 思考1： 1 思考2：则图中≤ . 练一练：如图， 已知△ABC和 的面积相等, 点E在BC边上, DE∥AB交AC于点F， , 则DF的长是 . 设计意图：对总结出的方法进行及时强化，将题目所给的问题转化为对已知结论的运用，牢固并深化学生对求两个三角形的面积之比方法的掌握。 (三) 学以致用，能力提升 1.如图, 在正方形ABCD中, 点G在边BC上(不与点B, C重合) , 连结AG, 设 设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S₁和S₂. (1)当 则S 的值是 . (2) 求S₂/s的最大值. 设计意图：从特殊到一般，层层递进，逐步深化。通过添加辅助线，将陌生问题转化为熟悉的问题情境，巩固学生对求两个三角形的面积之比方法的理解与掌握。 2.在正方形ABCD中, 点E在线段AM上(不与点A重合) , 点F在边BC上, 且AE=2BF, 连接EF, 以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH. 如图, 已知直线HG分别与边AD, BC交于点I, J, 射线EH与射线AD交于点K. (1) 求证: EK=2EH; (2) 设∠AEK=α, △FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1, S2. 求证: 3.如图, 在△ABC中, D, E在AB, AC上, 已知AD: BD=1:2, AE: CE=2:1,则 设计意图：及时巩固本节课内容，强化对求两个三角形的面积之比方法的理解与掌握。创造性地分析图形，综合运用已有知识解决问题，培养学生的高阶思维，促进几何推理能力等数学核心素养的发展。 (四) 总结归纳，梳理关系 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： (1) 本节课学了哪些主要内容? (2) 用自己的语言说一说我们是如何探索两个面积比的问题的? 设计意图：归纳本节课所学知识点与数学思想方法，建构知识结构。培养学生归纳总结的能力，掌握探究问题的一般方法。 巩固练习 1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于E，已知AD＝AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF；④S△ABF＝3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N下列结论： ①DE＝CN；②＝；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤GN+EG＝BG； 其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确的有（　　） A． ①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．如图，点E在正方形ABCD的对角线BD上，EF⊥AE交BC于点F，AE的延长线交CD于点P，AF交BD于点G，连接PF，则下列结论中；①EA＝EF；②∠DPF＝2∠BGF；③CF+2BF＝BE；④BG2+DG2＝2DG•GE；⑤若DP＝PC，则PC：CF：FP＝3：4：5；⑥若BD＝BE，则PF＝2DP，GE2＝2GB2．其中正确的结论有（　　）个． A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，在平行四边形ABCD中，点M为CD的中点，AM与BD相交于点N，那么s△DMN：s平行四边形ABCD＝（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是高和角平分线，已知△BEC的面积是15，△CDE的面积为3，则△ABC的面积为（　　） A．22.5或20 B．22.5 C．24或20 D．20 7．如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH＝α（0°＜α＜90°），令，当α＝60°时，n＝　 　；当时，S△ABC＝　 　． 9．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为 　 　． 10．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 　 　． 11．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论： ①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝． 其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号） 12．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为　 　．（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角形面积之比的探索学案 一、 引入 归纳结论： 二、例题解析 例 已知: 如图, D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点, DE∥BC, 若 求 S△ADE: S△ABC|的值. 思考1: S△DPE: S△CPB = . 思考2：则图中S△DPE: S△CPB: S△CPE: S△DPB: S△ADE= . 练一练: 如图, 已知△ABC和△DEC的面积相等, 点E在BC边上, DE∥AB交AC于点F,AB=4, EF=3, 则 DF 的长是 . 三、能力提升 如图, 在正方形ABCD中, 点G在边 BC上(不与点B, C重合), 连结AG, 设 设线段AG与对角线 BD交于点 H， 和四边形CDHG的面积分别为 和 (1) .当 则 的值是 . (2) 求 的最大值. 试一试：在正方形ABCD中，点E在线段AM上(不与点A重合)，点F在边 BC上， 且 连接EF, 以 EF为边在正方形 ABCD 内作正方形 EFGH. 如图, 已知直线HG分别与边AD, BC交于点I, J, 射线EH与射线AD交于点K. (1)求证: (2)设 和四边形AEHI的面积分别为， 求证： 四、拓展题 如图，在 中, D, E在AB, AC上, 已知AD: BD=1:2, AE: CE=2:1, 则 巩固练习 1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于E，已知AD＝AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF；④S△ABF＝3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N下列结论： ①DE＝CN；②＝；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤GN+EG＝BG； 其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确的有（　　） A． ①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．如图，点E在正方形ABCD的对角线BD上，EF⊥AE交BC于点F，AE的延长线交CD于点P，AF交BD于点G，连接PF，则下列结论中；①EA＝EF；②∠DPF＝2∠BGF；③CF+2BF＝BE；④BG2+DG2＝2DG•GE；⑤若DP＝PC，则PC：CF：FP＝3：4：5；⑥若BD＝BE，则PF＝2DP，GE2＝2GB2．其中正确的结论有（　　）个． A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，在平行四边形ABCD中，点M为CD的中点，AM与BD相交于点N，那么s△DMN：s平行四边形ABCD＝（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是高和角平分线，已知△BEC的面积是15，△CDE的面积为3，则△ABC的面积为（　　） A．22.5或20 B．22.5 C．24或20 D．20 7．如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH＝α（0°＜α＜90°），令，当α＝60°时，n＝　 　；当时，S△ABC＝　 　． 9．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为 　 　． 10．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 　 　． 11．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论： ①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝． 其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号） 12．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为　 　．（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 学科网（北京）股份有限公司 $$三角形面积之比的探索 1 引入 变式1：若E是AC的中点，连结BE，CD交于点P，则= 如图，在△ABC中，D是线段AB的中点，连结CD. 变式2：连结DE，则= 思 考：你能得到哪些结论？ E = = = P 思考：通过以上练习， 求两个三角形的面积之比， 你能总结出哪些方法？ ??? 2 归纳方法 同高的两个三角形面积之比等于底之比. 相似的两个三角形面积之比等于相似比的平方. 3 例题解析 已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点， DE∥BC，若S△ADE：S△BDE＝1：3，求S△ADE：S△ABC的值. 同高的两个三角形面积之比等于底之比. 相似的两个三角形面积之比等于相似比的平方. S△ADE：S△BDE＝1：3 AD:BD=1:3 S△ADE：S△ABC＝ =( 4 例题解析 已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点， DE∥BC，若S△ADE：S△BDE＝1：3，求S△ADE：S△ABC的值. 思考1：则S△DPE：S△CPB = 思考2：则= 5 练一练 如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上， DE∥AB交AC于点F，AB=4，EF=3，则DF的长是________. 同高的两个三角形面积之比等于底之比. 相似的两个三角形面积之比等于相似比的平方. 6 能力提升 如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合）. 连结AG，设＝k．设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD 和四边形CDHG的面积分别为S1和S2． (1)的值是_______． 7 能力提升 如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合）. 连结AG，设＝k．设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD 和四边形CDHG的面积分别为S1和S2． (2)求的最大值． 8 能力提升 如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合）. 连结AG，设＝k．设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD 和四边形CDHG的面积分别为S1和S2． (2)求的最大值． 9 能力提升 如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合）. 连结AG，设＝k．设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD 和四边形CDHG的面积分别为S1和S2．求的最大值． =1+ = = =k(1-k) =1+k-=-+ 10 试一试 在正方形ABCD中，点E在线段AB上（不与点A重合）， 点F在边BC上，且AE＝2BF，连接EF，以EF为边在 正方形ABCD内作正方形EFGH．如图，已知直线HG分别 与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K． (1)求证：EK＝2EH； (2)设∠AEK＝α，△FGJ和四边 形AEHI的面积分别为S1，S2． 求证：＝4sin2α﹣1． 11 小结 本节课，你学到了哪些知识？ 三角形面积之比 同高的两个三角形面积之比等于底之比. 相似的两个三角形面积之比等于相似比的平方. 同底的两个三角形面积之比等于高之比. 延伸 12 拓展题 如图，在△ABC中，D，E在AB，AC上， 已知AD：BD=1:2，AE：CE=2:1，则=________ 13 巩固练习 1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于E，已知AD＝AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF；④S△ABF＝3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 14 2．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N下列结论： ①DE＝CN；②＝；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤GN+EG＝BG； 其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15 3．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 16 4．如图，点E在正方形ABCD的对角线BD上，EF⊥AE交BC于点F，AE的延长线交CD于点P，AF交BD于点G，连接PF，则下列结论中；①EA＝EF；②∠DPF＝2∠BGF；③CF+2BF＝BE；④BG2+DG2＝2DG•GE；⑤若DP＝PC，则PC：CF：FP＝3：4：5；⑥若BD＝BE，则PF＝2DP，GE2＝2GB2．其中正确的结论有（　　）个． A．6 B．5 C．4 D．3 17 5．如图，在平行四边形ABCD中，点M为CD的中点，AM与BD相交于点N，那么s△DMN：s平行四边形ABCD＝（　　） 18 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是高和角平分线，已知△BEC的面积是15，△CDE的面积为3，则△ABC的面积为（　　） 19 7．如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（　　） 20 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH＝α（0°＜α＜90°），令， 当α＝60°时，n＝　 　；当 时，S△ABC＝　 　． 21 9．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为　     　． 22 10．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E， ＝ ，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则 的值等于？　 　． 23 11．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论： 24 12．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为　                  　．（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 25 $$