精品解析：湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

长沙市芙蓉高级中学2024年下学期高一期中考试数学试卷 （命题人：唐永福 审题人：晏建良 考试时间：120分钟 总分150分） 班级：________ 姓名：________ 考场号：________ 座位号：________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的值为（ ） A. 11 B. 0 C. 5 D. 4 6. 已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递增．若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A B. C. D. 10. 已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得对，恒成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是____________． 13. 函数当时，恒成立，则实数的取值范围为___________ 14. 已知，且，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 设集合，. （1）若且，求取值范围； （2）若，求取值范围. 16. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得年利润最大，并求出最大利润． 17. 已知函数，且. （1）求和的值； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明. 18. 已知函数，满足. （1）求值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式. 19. 已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立． （1）判定并证明函数在R上的单调性； （2）讨论函数奇偶性； （3）若，求x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市芙蓉高级中学2024年下学期高一期中考试数学试卷 （命题人：唐永福 审题人：晏建良 考试时间：120分钟 总分150分） 班级：________ 姓名：________ 考场号：________ 座位号：________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集、交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由，得到，解得或， 所以不等式的解集是或， 故选：D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列出关于x的不等式组，解之即可求得函数的定义域. 【详解】由，可得，故且 则函数的定义域是 故选：D 4. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性逐一分析即可. 【详解】对于：为一次函数，在上单调递减，不符合题意； 对于：为二次函数，对称轴， 所以在上单调递减，不符合题意； 对于：反比例函数，在上单调递增，符合题意； 对于：，当时，，则在单调递减，不符合题意； 故选：. 5. 已知函数，则的值为（ ） A. 11 B. 0 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式来求得正确答案. 【详解】由题可得. 故选：C 6. 已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数、反比例函数的性质列不等式组求参数范围. 【详解】函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B. 7. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次不等式恒成立问题可转化为二次方程解的情况，可得不等式，解不等式即可. 【详解】由已知，恒成立， 当时，不等式为，解得，不成立； 当时，由不等式恒成立可知， 解得， 故选：D. 8. 已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递增．若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性来求得的取值范围. 【详解】依题意，函数是定义域为的奇函数，且在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 所以， 所以的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误. 【详解】对于A，， ，，， ，即，A正确； 对于B，， ，，， ，即，B正确； 对于C，当，，，时，，C错误； 对于D，当，，，时，，D错误. 故选：AB. 10. 已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】解不等式求得：，利用充分不必要条件的概念计算即可. 【详解】由，解得. 要满足题意，只需在的子集中确定即可， 显然和都是命题成立的充分不必要条件. 故选：AB. 11. 已知定义域为函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得对，恒成立 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知可判断函数的奇偶性与单调性，进而判断各选项. 【详解】由已知，，且，当时，都有， 则函数为上的偶函数，且当时函数单调递增， 则当时函数单调递减， 所以，A选项错误； 且若，则，解得，B选项错误； 又，所以，又函数的图象是连续不断的， 所以当时，，当时，，当时，， 所以解集为，C选项正确； 由函数图象连续不断及函数的单调性可知，当时，取最小值， 所以当时，，恒成立，D选项正确； 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是____________． 【答案】(–∞，1]和(1，＋∞) 【解析】 【分析】直接由图像观察得到函数的增区间. 【详解】由已知中函数y＝f(x)的图象可得，函数f(x)的单调递增区间是(–∞，1]和(1，＋∞)， 故答案为：(–∞，1]和(1，＋∞)． 13. 函数当时，恒成立，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】通过换元令,函数可变为，将恒成立可转化为在上恒成立.求得最小值即可求解. 【详解】令，则由，得．由题意，得在上恒成立，故有． ，开口向上，对称轴为 则 所以 故答案为： 14. 已知，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，证明函数为奇函数，结合奇函数性质可得，由此可求结论. 【详解】设，又， 所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为奇函数，故， 所以，又， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 设集合，. （1）若且，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据且，列不等式组求的取值范围； （2）分和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求取值范围. 【小问1详解】 因为，且，所以，解得，， 综上所述，的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，，解得，，满足题意； 当时，因为，所以，解得，或无解； 综上所述，的取值范围为. 16. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 当时，， 由函数性质可知当时单调递增，所以当时，， 当时，， 由不等式性质可知， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 综上当时，. 17. 已知函数，且. （1）求和的值； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】（1） （2）在上的单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，代入直接可求； （2）应用定义法证明单调性. 【小问1详解】 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴，∴，在上的单调递减. 18. 已知函数，满足. （1）求值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果； （2）根据题意可得：在上恒成立，结合二次不等式的恒成立问题分析求解； （3）分别讨论，，三种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【小问1详解】 因为二次函数满足， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为开口向上，对称轴为， 可知在上单调递减，则，可得， 所以实数m的取值范围为. 【小问3详解】 因为是对称轴为，开口向上的二次函数， 当时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 可知； 综上所述：. 19. 已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立． （1）判定并证明函数在R上的单调性； （2）讨论函数的奇偶性； （3）若，求x的取值范围． 【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2）奇函数，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性定义判断函数的单调性； （2）赋值法得到，进而赋值得到，得到答案； （3）根据函数奇偶性和单调性解不等式，得到答案. 【小问1详解】 在R上单调递减，理由如下： 任取，且， 因为，所以， 令， 则， 因为当时，恒成立， 又，所以， 所以，， 所以在R上单调递减； 【小问2详解】 令，则，解得， 令，因为， 故，所以， 所以是奇函数； 【小问3详解】 因为， 所以， 因为是奇函数，所以， 因为是R上的减函数，所以， 解得或，所以不等式解集为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$