陕西省渭南市华州区咸林中学2024-2025学年高二上学期第三次质量检测数学试题

咸林中学2024--2025学年度上学高二年级第三次质量检测 数学试题 （试卷共150分，时长120分钟） 第Ⅰ卷(选择题，共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量若则（ ） A. B. 1 C. D. 1 2. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的动漫书，第3层放有2本不同的地理书，从书架上任取1本书，不同的取法总数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线，下列结论正确的是（ ） A. C的实轴长为 B. C的渐近线方程为 C. C的离心率为 D. C的一个焦点的坐标为 4. 已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为抛物线C上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为，点是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为（ ） A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 圆 7. 已知，，，为空间中不共面的四点，且若，，，四点共面，则函数的最小值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于非零向量，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若，则. D. 若，则. 10.下列说法正确的是（ ） A. 到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线. B. 方程表示双曲线. C. 到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线 D. 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁 11. 如图，正方体的棱长为1，点在线段上运动，则下列选项中正确的是（ ） A. 最小值为. B. 平面平面. C. 若是的中点，则二面角的余弦值为. D. 若，则直线与所成角的余弦值为. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若-=则n=_______. 13.(1)已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=6，则2a-b在a方向上的投影数量为　　　　.  14.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点．若是中点，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记=a，=b，=c.　 （1）.若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离. （2）.（1）的条件下，求异面直线EG与BD所成角的余弦值. 16.（15分）求下列问题的排列数： (1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻； (2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻； (3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端. 17.（15分）已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(-，0)的距离与它到定直线l：x=-的距离之比为常数. (1)求动点M的轨迹Q的方程； (2)设点A，若P是(1)中轨迹Q上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程 18.（17分)如图，在四棱锥中，平面为的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19.设椭圆的方程为（），离心率为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于A，两点，. （1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点满足，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 咸林中学2024--2025学年度上学高二年级第三次质量检测 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量若则（ ） A. B. 1 C. D. 1 【答案】D 【解析】因为， 所以，即， 解得． 故选：D． 2. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的动漫书，第3层放有2本不同的地理书，从书架上任取1本书，不同的取法总数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意可得从书架上任取1本书，有种不同的取法． 故选：C． 3. 已知双曲线，下列结论正确的是（ ） A. C的实轴长为 B. C的渐近线方程为 C. C的离心率为 D. C的一个焦点的坐标为 【答案】C 【解析】对A，C的实轴长为，A错； 对B，C的渐近线方程为，B错； 对C，C的离心率为，C对； 对D，C的焦点的坐标为，D错. 故选：C 4. 已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为抛物线C上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为抛物线C：， 故由，解得， 所以， 所以的面积为． 故选：D 5. 在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得，. 故选：A.、 6. 已知正方体的棱长为，点是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为（ ） A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 圆 【答案】A 【解析】过点在平面内作，垂足为点，连接， 在正方体中，平面，平面，则， 因为点P到直线的距离与到直线的距离相等，即， 即点到直线的距离等于点到点的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹为抛物线. 【答案】A 7. 已知，，，为空间中不共面的四点，且若，，，四点共面，则函数的最小值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】因为，，，四点共面，所以存在，使得， 故,整理得 ，又， 所以，所以， 所以， 当时，函数取最小值，且最小值. 故选:D. 8. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】取的中点为，连接，，，因为，为的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以， 又底面是矩形，所以， 以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 由，，，得， 所以，，， 则， 设， 则，， ， ， 因此点到直线的距离 ， 故当时，取最小值， 即线段上的动点到直线的距离的最小值为． 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于非零向量，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若，则. D. 若，则. 【答案】BD 【解析】对于A，不能得到的方向，故A错误， 对于B，若，则，B正确， 对于C，向量不能比较大小，故C错误， 对于D，若，则，D正确， 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线. B. 方程表示双曲线. C. 到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线 D. 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁 【答案】BD 【解析】到两定点的距离差的绝对值等于正常数,且该常数小于两定点的距离的点的轨迹是双曲线，故A错误； 对于方程，若，则表示焦点在横轴的双曲线， 若，原式可化为，则表示焦点在纵轴的双曲线，故B正确； 根据抛物线的定义可知:该定点不能在定直线上，否则轨迹不能是抛物线，故C错误； 椭圆的离心率是焦距与长轴的比值，离心率越大说明焦距与长轴长越接近，则短轴长越短，此时椭圆越扁平，故D正确. 故选：BD 11. 如图，正方体的棱长为1，点在线段上运动，则下列选项中正确的是（ ） A. 最小值为. B. 平面平面. C. 若是的中点，则二面角的余弦值为. D. 若，则直线与所成角的余弦值为. 【答案】ABC 【解析】对A：如图 连接，，因为是正方体， 所以平面，平面，所以. 又点在线段上，所以为直角三角形， 所以（当点与点重合时取“”）.故A正确； 对B：因为是正方体，所以平面， 又平面，所以：平面平面，故B正确； 对C：当为线段中点时，因为，， 所以即为二面角的平面角. 在中，，，，所以， 所以.故C正确； 对D：如图： 因为，在上取点，使， 连接，，则, 所以即为异面直线与所成的角. 中，，，. 由余弦定理可得：，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若-=则n=_______. 【答案】n=14. 解析　=+= ∴n+1=7+8，n=14. 13.已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=6，则2a-b在a方向上的投影数量为　　　　.  答案　1 解析　∵a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=6， ∴(2a-b)·a=2|a|2-a·b=2×22-2×6×=2， ∴2a-b在a方向上的投影数量为==1. 13. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点．若是中点，则双曲线的离心率为__________. 【答案】D 【详解】因为为中点，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记=a，=b，=c.　 （1）.若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离. （2）.（1）的条件下，求异面直线EG与BD所成角的余弦值. 解　（1）.=++=+(-)+-)=a+(b-a)+(c-b) =-a+b+c， 所以=a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c=， 所以||=，即E，G间的距离为 （2）.由（1）知，=-a+b+c，||=， 又=-=c-a， 所以·=(-a+b+c)·(c-a) =(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c) =×=， 又||=1， 则cos〈，〉===. 故异面直线EG与BD所成角的余弦值为. 16.（15分）求下列问题的排列数： (1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻； (2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻； (3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端. 解　(1)根据相邻问题捆绑法得，先将3名女生全排列，并作为一个元素，再和其余4名男生一起排列，共有=6×120=720(种)不同的安排方法. (2)根据不相邻问题插空法得，先将4名男生进行全排列，再将3名女生插在5个空位上，共有=24×60=1 440(种)不同的排列方法. (3)先从4名男生中取2人排在两端，再将其余5人排在中间5个位置上，共有=12×120=1 440(种)不同的排列方法. 17.（15分）已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(-，0)的距离与它到定直线l：x=-的距离之比为常数. (1)求动点M的轨迹Q的方程； (2)设点A，若P是(1)中轨迹Q上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程. 解　(1)设动点M(x，y)， 由已知可得=， 即x2+2x+3+y2=， 化简得+y2=1， 即所求动点M的轨迹Q的方程为+y2=1. (2)设B(x，y)，P(x0，y0)， 由得 由点P在轨迹Q上，得+=1，整理得+4=1， ∴线段PA的中点B的轨迹方程是 18.（17分)如图，在四棱锥中，平面为的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 解：（1）如图： 取的中点，连接， 则，且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面. （2）因为平面平面，所以， 由题设易知为直角梯形，且， 则，， 所以，即， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （3）如图： 取的中点，连接，则， 由（2）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 因为， 所以. 所以. 即直线与平面所成角的正弦值为. 19.设椭圆的方程为（），离心率为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于A，两点，. （1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点满足，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由离心率得，由得椭圆过点，代入椭圆方程结合求得得椭圆方程； （2）设，，由斜率之积得这两点坐标关系，两点在椭圆上，代入椭圆方程，由向量的坐标运算可用用表示，然后计算可得． 【小问1详解】 由，得， 因为过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于A，两点，且， 所以椭圆的对称性知，椭圆过点，即， 即，解得，，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，，则，化简得. 因为，是椭圆上的点，所以，，即有，， 由，得， 所以 . 即为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$