4.5.1 函数的零点与方程的解 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1函数的零点与方程的解 hán shù de línɡ diǎn yǔ fānɡ chénɡ de jiě 情境引入 新知导学 巩固提高 课堂小结 01. 02. 03. 04. 课程环节 05. 作业布置 2 重点：函数的零点、函数零点存在定理. 难点：会借助函数单调性图象判断零点个数； 求函数零点或零点所在区间. 教 学 重 难 点 3 1 . 掌握函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系. 2 . 会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间；能借助函数单调性及图象判断零点个数． 教 学 目 标 4 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座。今天我们从教科书中了解到的各式各样方程的解法，是经历了相当漫长的岁月形成的. 情境引入 中外历史上的方程求解 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法——正负开方术. 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上方程的解法. 约公元50年—100年编成的《九章算术》，给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的求解方法. 中外历史上的方程求解 卡尔达诺，意大利数学家，他第一个发 表了三次代数方程一般解法的卡尔达诺 公式，也称卡当公式. 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.“韦达定理”（方程的根与系数）. 阿拉伯数学家花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法. 阿贝尔(1802～1829)挪威数学家.证明了五次以上一般方程没有求根公式. 2024/12/15 思考：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是对应二次函数的零点。例如，方程x2-5x+6=0的根为x1=2,x2=3,则二次函数f(x)=x2-5x+6的零点就是2和3. y 6 3 x 0 2 如图所示 1.求下列方程的根． ①x-2=0 ②x2-2x-3=0 ③log2x=0 2.画出下列函数的图象 ①y=x-2 ②y=x2-2x-3 ③y=log2x 3 2 1 -1 -1 2 1 0 1 -1 -2 -1 -2 2 1 0 x y O -1 3 思考：方程的根与对应函数图象有什么联系? 探究 方程f(x)=0的实数根函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标 9 一 函数的零点 新知导学 定义：对于函数y=f(x), 叫做函数y=f(x)的零点. 使 f(x)=0的实数x 零点是一个点吗? 注意： 函数的零点不是点，而是一个实数. 区别： 零点对于函数而言，根对于方程而言． 等价关系： 方程f(x)=0有实数解  函数y=f(x)有零点  函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 巩固提高 求下列函数的零点， 求函数零点的方法 (1)代数（方程）法：解方程 f(x)=0，得出函数的零点。 (2)几何（图象）法：画出y= f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标。 2 1 1 -2 2 -1 3 4 -1 -2 -3 -4 x 图4.5-1 探究（P143） 对于二次函数 f(x)=x2-2x-3,观察它的图象(图4.5-1),发现它在区间[2, 4]上有零点。这时，函数图象与x轴有什么关系?在区间[-2, 0]上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系? 可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴。函数在端点x=2和x =4的取值异号，即 f(2) f(4)<0,函数 f(x)=x2-2x-3在区间(2, 4)内有零点x =3,它是方程x2-2x-3=0的一个根。 同样地，f(-2) f(0)<0，函数f(x)=x2-2x-3在 (-2, 0)内有零点x=-1,它是方程x2-2x-3=0的另一个根。 0 y 新知导学 二 函数零点存在定理 定义：如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线， 且有 f(a) f(b)<0 ，那么，函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内至少有一 个零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解. 几何意义：在区间[a,b]上有连续曲线 y=f(x) ，且连续曲线的始点 （a, f(a)）与终点（b, f(b)）分别在x轴的两侧，则此连续 曲线至少与x轴有一个交点. 说明： （1) 存在性：定理只能判断零点存在，不能判断零点个数，如图（1）。 （2）严谨性：①f(x) 在区间[a,b]上是连续不断的曲线；②f(a) f(b)<0 。 两个条件缺一不可，如图（2），图（3）。 （3）不可逆性：f(x) 在[a,b]上存在零点，不一定能推出f(a) f(b)<0，如图（4）。 思考：图（1）的零点与图（4）的零点有什么不同之处？ 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 变号零点与不变号零点 定义：函数 y=f(x) 在[a,b]上至少有一个零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0， 且在c的两侧，函数值异号，则称该零点为变号零点；反之，在c的两 侧，函数值同号，则称该零点为不变号零点。 图（1） 图（4） 巩固提高 例1 求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数。 思考：求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数可不可以转化为求函数y=lnx和 y=-2x+6图像交点的个数？ 解：令f(x)=lnx+2x-6，定义域为(0,+∞) ∵y=lnx和y=2x-6在(0,+∞)上都是↑， ∴f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是↑， 又∵f(2)=ln2+2 ×2－6<0 f (3)=ln3+2 ×3－6>0 ∴函数在定义域(0,+∞)内仅有一个零点。 判断零点个数的方法：（1）零点存在定理；（2）图像法 （存在性，唯一性） 例2 函数f(x)=lnx- 的零点所在的区间是（ ） 例3 函数 的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 答案： 例 2：B 例 3：B 函数 y =f (x) 有零点 函数 y =f (x) 的图象与 x 轴有公共点 1、函数的零点与方程的解的关系： 方程 f (x)=0 有实数解 2、判断零点存在的方法（函数零点存在定理） 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解。 课堂小结 投影屏幕 4.5.1函数的零点与方程的解 1.零点的定义： 2.函数零点存在定理： 3.巩固提高 4.课堂小结 5.作业布置 （三）板书设计 课本P159 第1，2，4题 作业布置 板书设计 敬请各位老师批评指正 A． B． C. D． $$