第14章　全等三角形——三角形全等模型　训练　2024—2025学年沪科版数学八年级上册

三角形全等模型 一．一线三等角（共6小题） 1．在平面直角坐标系中，已知A（﹣6，﹣2），将点A绕原点逆时针旋转45度得到点B，则点B的坐标为 　 　． 2．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 　 　． 3．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D、E分别在BC、AC上（点D不与B、C两点重合），且∠1＝∠C，若AD＝DE，则AE的长为 　 　． 4．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，若CE＝5，AD＝3，则DE的长是 　 　． 5．如图，CD⊥DB，AB⊥BD，为了测量教学楼的高度，在旗杆CD与教学楼之间选定一点P，使得测旗杆顶C的视线PC与测楼顶A的视线PA的夹角∠APC＝90°，测得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于9米，又测得旗杆与楼之间距离DB＝27米，求这幢教学楼的高度多少米？ 6．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB． （1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝　 　°； （2）过D点作DG⊥AE，垂足为G． ①填空：△DEG≌△　 　； ②求证：AE＝AF+BC； 二．手拉手模型（共7小题） 7．如图，OB＝OD，∠DOB＝∠COA，添加下面条件不能判断△OAB≌△OCD的是（　　） A．AB＝CD B．OA＝OC C．∠A＝∠C D．∠B＝∠D 8．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论正确的为（　　） ①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到； ②∠BCE+∠BCD＝180°； ③∠ABE＝∠DAE； ④BA+BC＝2BF． A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A'BC'，连接AC'、AA'，则∠CAC'的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 10．如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AF＝BE，连接CF、CE． 求证：（1）∠CAF＝∠CBE； （2）△CEF是等边三角形． 11．（1）如图（1），△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE．则∠AEB的度数为 　 　度，线段AD与BE的数量关系为 　 　（用几何语言填写）． （2）如图（2），△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．若∠CAD＝30°，求AB与BE的位置关系． 12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．且点A、B、E在同一条直线上； （1）求证：DA平分∠BDE； （2）若AC⊥DE，求旋转角α的度数． 13．【初步感知】： 如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．小组同学发现： （1）△ACD与△BCE全等，依据是 　 　（填写全等三角形判定定理）； （2）线段BE＝AD，依据是 　 　； 【拓展探究】： 如图②，△ABC和△CDE都是等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM． （3）线段BE与AD之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请说明理由； （4）∠AMB＝　 　（用含α的式子表示），并说明理由． 三．倍长中线模型（共5小题） 14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 15．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是　 　． 16．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接EC． ①根据所作辅助线可以证得△ADB≌△EDC，其中判定全等的依据为：　 　； ②若AB＝4，AC＝3，则AD的取值范围是 　 　； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB＝BC，求证：AC平分∠DAE； 【问题拓展】 17．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：． 分析：如图2，要证明BD等于AC的一半，可以用“中线倍长法”延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE，可证△ADE≌△CDB，再证明△ABE≌△BAC，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC到E，使得，D是AB边的中点，连接ED，求证：∠B＝2∠E； 【模型构造】如图4，在△ABC中，∠B＝30°，延长BC到D，使得CD＝BC，连接AD，求∠D的度数． 18．如图，C是AE的中点，BC＝DC，求证：△ABC≌△EDC． 四．平行线加线段中点构造全等（共8小题） 19．如图，点O为▱ABCD的对角线AC，BD的交点，经过点O的直线分别与BA的延长线和DC的延长线交于点E，F．求证：BE＝DF． 20．如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由． 21．如图，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，则线段DF的长为 　 　． 22．如图，已知点A，B为直线MN外两点，且在MN异侧，连接AB，分别过点A作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D，点F是线段BD上一点，连接CF交AB于点E． （1）下列条件： ①点F是DB的中点； ②点E是AB的中点； ③点E是CF的中点． 请从中选择一个能证明AC＝BF的条件，并写出证明过程； （2）若AC＝BF，且AC＝5，BD＝13，CE＝6，求CD的长． 23．【发现】如图①，点O为线段AB，CD的中点，连接AC，BD，我们易得△AOC≌△BOD，进而可以得到AC＝BD，且AC∥BD． 【应用】如图②，在Rt△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，点D为线段AC上一点，以AD为斜边作等腰直角△AED（点A，E，D按顺时针顺序排列），即AE＝DE，∠AED＝90°，取CD的中点F，连接BF，EF，BE． （1）求∠EDF的度数． （2）求证：∠EBF＝45°． 【拓展】 24．如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AD于点F，交AC于点G，则的值是（　　） A． B． C． D． 25．如图，△ABD中，∠A＝60°．点B为线段DE的中点，EF⊥AD，交AB于点C，若AC＝BC＝3，则AD＝　 　． 26．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则GH＝　 　． 五．角平分线加垂直构造全等（共6小题） 27．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若，则△ABC的面积等于（　　） A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．不能确定 28．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 29．如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F． （1）求证：EG＝EF； （2）联结AE，求证：∠AEG＝∠AEF． 30．如图，AD是∠BAC的平分线，DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F，且∠EBD＝∠C．求证： （1）BE＝CF； （2）AC﹣AB＝2BE． 31．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝BA，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若BD＝12，AB＝2CE，求BC的长度． 32．已知：如图，在△ABC中，AB＝10，∠BAC的角平分线交BC边于点D，且AD＝8，BD＝6．求证：△ABC是等腰三角形． 六．正方形中的半角模型（共7小题） 33．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F是对角线BD上的两点，且，则四边形AECF的面积是 　 　． 34．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E都在BC上，∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝5，则DE的长为 　 　． 35．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的点，且满足∠EAF＝45°，连EF，则BE，EF与DF三者之间有什么数量关系？ 36．如图1，点M、N别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠MAN＝45°，连接MN． （1）求证：MN＝BM+DN．下面提供解题思路，请填空： 如图2，把△ADN绕点A顺时针旋转 　 　度至△ABE，可使AD与AB重合． 由∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝180°，则知E、B、C三点共线，从而可证△AEM≌　 　，从而得MN＝BM+DN． （2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明． 37．【问题发现与证明】 如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，“截长补短”是常用的方法之一．在图2中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF”，小亮延长CB到G，使BG＝DF解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； 【问题拓展与应用】 如图3，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在BC，CD上，若，∠EAF＝45°，求AF的长． 38．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且∠EAF＝45°，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接BD交AF于点M，DE＝2，BF＝3，则GM＝　 　． 39．如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：△EDF≌△MDF； （2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$