专题03 全等三角形10大经典必考模型专项训练（10大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题03 全等三角形10大经典必考模型专项训练（10大题型+20道拓展培优） 经典必考模型一 平移模型 经典必考模型二 轴对称模型 经典必考模型三 旋转模型 经典必考模型四 一线三等角模型 经典必考模型五 垂直模型 经典必考模型六 手拉手模型 经典必考模型七 半角模型 经典必考模型八 倍长中线模型 经典必考模型九 对角互补模型 经典必考模型十 角平分线模型 注：本讲义有部分题型可用勾股定理来作答：a²+b²=c²； 【经典模型一 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 【例1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，正方形的顶点在直线上，将直线向上平移线段的长得到直线，直线分别交，于点，．若求的周长，则只需知道(    ) A．的长 B．的长 C．的长 D．DF的长 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将沿方向平移得到，使点的对应点恰好落在边的中点上，点的对应点在的延长线上，连接，、交于点．下列结论一定正确的是（ ）    A． B． C． D．、互相平分 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为 ．    3．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，过点作交的延长线于点．三角尺直角顶点为，一条直角边置于边所在直线．    (1)当三角尺直角边经过点时，如图1，请写出与数量关系，并说明理由？ (2)在图1中，将三角尺沿方向平移，使直角边与边相交于点（不与、重合），且点在延长线上，如图2，作于点．请证明：； (3)在图（2）中，将三角尺沿方向继续平移，使点在线段上时，如图3，请写出、、三者之间的数量关系，不必证明． 【经典模型二 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 【例2】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，，，，，则的度数为（    ）    A．70° B．85° C．110° D．25° 1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，，添加下列条件，能使的是（    ） A． B． C． D．以上都可以 2．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，和关于直线对称．若，则的度数为 ． 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）材料阅读：“对称补缺”是解决与轴对称图形有关问题的一种添加辅助线的常用策略．例如图，中，是的平分线，交的延长线于点．如图，延长、交于点，即可构造出轴对称图形，进而得到边、角之间特殊的数量关系，为解决问题提供思路． 迁移应用： 如图，中，若，，是的角平分线交于点，垂足为点．若，求的长． 【经典例题三 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 【例3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 2．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知：在等腰中，，把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点A，的对应点．    (1)如图，若，平分，求的度数； (2)在旋转过程中，若直线，相交于点， ①如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； ②设，请直接用含的式子表示； (3) 如图，若，请直接写出的度数． 【经典例题四 一线三等角模型】 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：． 应用：如图②，在中，，三点都在直线上，并且有．求出和的关系． 拓展：如图①中，若，梯形的面积______． 1．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小明在自己家阳台处测得处的俯角为，小华站在处测得眼睛到楼端点的仰角为，发现与互余，已知米，米，米，试求单元楼AB的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）【提出问题】（1）如图1，在和中，，点B，C，D在一条直线上，且．，，求的长度； 【解决问题】（2）如图2，在中，，，过点C作，且，求点D到直线的距离； 【拓展应用】（3）某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境，如图3，在河流段的周边规划一个面积为的四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，，点E在边上，且，，的面积为，请直接写出河流段的另一边森林公园的面积． 【经典例题五 垂直模型】 【例5】（23-24七年级下·陕西西安·期中）小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，于D，，，则（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，为中线，过点作，交的延长线于点，过点作于点，若，则 ．    3．（24-25八年级上·海南海口·期中）在中，，，直线经过点C，于M，于N． (1)当直线经过外部时，如图1，求证：①；②； (2)当直线经过内部时，如图2，找出线段，，的数量关系并加以证明． (3)当直线经过内部时，如图3，线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不必证明． 【经典例题六 手拉手模型】 模型.手拉手模型（三角形） 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 【例6】例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．(1)求证：；(2)连接，若，求的度数． 1．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在和中，，（），，直线，交于点，连接下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 【经典例题七 半角模型】 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.半角模型（90°-45°型） 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【例7】（2022春·山东烟台·八年级校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____． 1．（2022春·广东河源·八年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，若，则的长为______． 2．（2023春·江苏·八年级期中）请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： (1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； (2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 3．（2022·江苏南京·九年级专题练习）（1）阅读理解：如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常会想到：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．易证△AEF≌_______，得出线段BF，DE，EF之间的数量关系为____________； （2）类比探究：如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求线段DE的长；（3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，请直接写出BD：CE的值． 【经典例题八 倍长中线模型】 【例8】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图中，是中线，，，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 3．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：； (2)如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 【经典例题九 对角互补模型】 模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【例9】在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段和之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明； （2）观察线段、和之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明； 1、如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交于点，与交于点．(1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系(2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积． 2．如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：CD＝CE． 理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，… 请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分． （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． （3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°． ①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系． 3、（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____． 【经典例题十 角平分线模型】 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 【例10】（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____． 1．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为 ． 3．（23-24七年级下·云南文山·期末）如图．已知线段，分别过线段的两个端点作射线，使，点E为平分线上的一点，且，垂足为E，若，请解答下列问题：    (1)求的度数； (2)过点E作直线，交于点D，交于点C．求证：； (3)无论线段的两个端点在上如何移动，只要线段经过点E，那么的值是否发生变化？请说明理由． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　）    A．28 B．24 C．14 D．7 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 4．（23-24八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为 ． 7．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）等腰直角在平面直角坐标系中如图所示，，，，，则点的坐标为 ． 8．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为射线上的一个动点，分别以为直角边，B为直角顶点，在两侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接交于点P，则当点B在射线上运动时，的长是 ． 9．（24-25八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，为中线，过点作，交的延长线于点，过点作于点，若，则 ．    10．（2024八年级上·吉林·专题练习）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为 ． 11．（24-25八年级上·辽宁营口·阶段练习）如图，已知和中，，，，BE交FC于O点． (1)当时，判断BE与CF的关系并证明． (2)当时，直接写出∠BOC的度数为______（用含的式子表示）． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ； (2)如图2，，，．点D为的中点，求证：； (3)如图3，四边形，对角线，相交于点E，点F是边的中点，，，试探索与的数量关系，并证明． 13．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）以点A 为顶点作两个等腰直角三角形（，），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接，． (1)求证：． (2)延长 ，交 于点 F，求的度数． (3)若按图2放置，试探究 与之间的关系．（只写结论，不必说明理由） 14．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）【提出问题】（1）如图1，在和中，，点B，C，D在一条直线上，且．，，求的长度； 【解决问题】（2）如图2，在中，，，过点C作，且，求点D到直线的距离； 【拓展应用】（3）某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境，如图3，在河流段的周边规划一个面积为的四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，，点E在边上，且，，的面积为，请直接写出河流段的另一边森林公园的面积． 15．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在与中，且，点、、三点在同一直线上． (1)若，求的度数． (2)若，，求的面积． 16．（河北省邢台市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）【探究发现】 （）如图，在中，是的中线，作，边交延长线于点．求证：； 【初步应用】 （）如图，在中，，，是中线，则的取值范围 ； 【探究提升】 （）如图，是的中线，过点分别向外作、，使得，，连接，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 17．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 18．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知：在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明 ；再证明 ；即可得出之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 19．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 20．（24-25八年级上·河南信阳·期中）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、猜想线段，，之间的数量关系是______． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那（1）的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、A、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角请问（1）的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）常老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，点为线段的三等分点，则的面积为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形10大经典必考模型专项训练（10大题型+20道拓展培优） 经典必考模型一 平移模型 经典必考模型二 轴对称模型 经典必考模型三 旋转模型 经典必考模型四 一线三等角模型 经典必考模型五 垂直模型 经典必考模型六 手拉手模型 经典必考模型七 半角模型 经典必考模型八 倍长中线模型 经典必考模型九 对角互补模型 经典必考模型十 角平分线模型 注：本讲义有部分题型可用勾股定理来作答：a²+b²=c²； 【经典模型一 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 【例1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，正方形的顶点在直线上，将直线向上平移线段的长得到直线，直线分别交，于点，．若求的周长，则只需知道(    ) A．的长 B．的长 C．的长 D．DF的长 【答案】A 【分析】过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明)，)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过作于，连接，， 直线向上平移线段的长得到直线， ， 而，， )， ， 同理)， ， 的周长为：． 求的周长，则只需知道的长． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将沿方向平移得到，使点的对应点恰好落在边的中点上，点的对应点在的延长线上，连接，、交于点．下列结论一定正确的是（ ）    A． B． C． D．、互相平分 【答案】D 【分析】根据平移的性质得到∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，由于只有当∠BAC=90°时，AC⊥DE；只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，则可对A、B、C选项的进行判断；AC交DE于O点，如图，证明△AOD≌△COE得到OD=OE，OA=OC，则可对D选项进行判断． 【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上， ∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC， 只有当∠BAC=90°时，AC⊥DE； 只有当BC=2AC时，DF=AC=BE，所以A、B、C选项的结论不一定正确； ∵AD∥BC， ∴∠OAD=∠OCE，∠ODA=∠OEC， 而AD=CE， ∴△AOD≌△COE（ASA）， ∴OD=OE，OA=OC 即AC、 DE互相平分，所以D选项的结论正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，由平移的性质可得，，证明，得到，根据三角形中线平分三角形面积可得，则． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，过点作交的延长线于点．三角尺直角顶点为，一条直角边置于边所在直线．    (1)当三角尺直角边经过点时，如图1，请写出与数量关系，并说明理由？ (2)在图1中，将三角尺沿方向平移，使直角边与边相交于点（不与、重合），且点在延长线上，如图2，作于点．请证明：； (3)在图（2）中，将三角尺沿方向继续平移，使点在线段上时，如图3，请写出、、三者之间的数量关系，不必证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）方法一：作于点，得四边形是长方形，所以，证明，得出，则，即可得出结论； 方法二：连接．根据的面积的面积的面积，即可得出结论． （3）根据（2）的方法即可求解． 【详解】（1）解：． 在和中    ∵ ∴， ∴． （2）方法一： 如图2，作于点，得四边形是长方形，所以．    ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中 ∵ ∴， ∴． ∵，∴． 方法二：连接．    ∵的面积的面积的面积 ∴， ∴． （3）解：如图所示，连接． ∵的面积的面积的面积 ∴， ∴．    【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【经典模型二 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 【例2】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，，，，，则的度数为（    ）    A．70° B．85° C．110° D．25° 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键．证明得到，则可由三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，，添加下列条件，能使的是（    ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定, 根据全等三角形的判定方法对各选项分别进行判断，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：， 添加时，则可利用证明， ， ，， 即， ，故A正确； 添加时，可得，， ， ，故B正确； 添加时，如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，故C正确； 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，和关于直线对称．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵和关于直线对称． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：. 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）材料阅读：“对称补缺”是解决与轴对称图形有关问题的一种添加辅助线的常用策略．例如图，中，是的平分线，交的延长线于点．如图，延长、交于点，即可构造出轴对称图形，进而得到边、角之间特殊的数量关系，为解决问题提供思路． 迁移应用： 如图，中，若，，是的角平分线交于点，垂足为点．若，求的长． 【答案】14 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，延长，交于点，先证明得出，然后证明得出，即可求出． 【详解】解：延长，交于点，如图： ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ， ，， ， ，即， ． 【经典例题三 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 【例3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，因为求得，所以，，过A作交于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：解方程组于是得到结论． 【详解】解：一次函数的图象分别交轴，轴于，两点， ，， ， ，， ，， 过作交于，过作轴于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 设直线的函数表达式为：， ， 解得 直线的函数表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知：在等腰中，，把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点A，的对应点．    (1)如图，若，平分，求的度数； (2)在旋转过程中，若直线，相交于点， ①如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； ②设，请直接用含的式子表示； (3)如图，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）由，，可得，根据把． 绕点逆时针旋转得到，可得，又平分，即得，故； （2）设，有，从而，又，得，故，即得；设，同的方法可得； （3）在线段上取一点，使，连接，证明，得，，可得，设，即可得，由，，根据，，得，可得，故，解得． 【详解】（1）（1），， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， 平分， ， ， 的度数是； （2）（2）设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 即； （3）解：在线段上取一点，使，连接，如图： ，， ∴， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， ．    【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰三角形的性质及应用，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 【经典例题四 一线三等角模型】 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：． 应用：如图②，在中，，三点都在直线上，并且有．求出和的关系． 拓展：如图①中，若，梯形的面积______． 【答案】探究：证明过程见详解；应用：，理由见详解；拓展： 【分析】探究：，，可知是等腰直角三角形，，，可知，可求出，根据角角边即可求证；应用：，三点都在直线上，，可求出，可证，可得，由此即可求解；拓展：由，可知，设，则，根据梯形面积公式即可求解． 【详解】探究：证明：∵，直线经过点，于点，于点， ∴点三点都在直线上， ∴，，∴， 在，中，，∴； 应用：∵，三点都在直线上，， ∴，，∴， 在，中，，∴，∴， ∵，∴； 拓展：由探究可知，，， ∴，设，则， ∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，全等三角形，梯形的综合，掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积计算方法是解题的关键． 1．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小明在自己家阳台处测得处的俯角为，小华站在处测得眼睛到楼端点的仰角为，发现与互余，已知米，米，米，试求单元楼AB的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及俯角仰角的知识，采用数形结合的方法并巧妙借助辅助线是解题的关键． 过点作，再根据已知条件，证明与全等，结合全等三角形的性质再进行计算即可得出． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得： ，米，米，，， ， ， ， 米， 米， ≌， 米， 米， 单元楼的高为米． 故选B． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）【提出问题】（1）如图1，在和中，，点B，C，D在一条直线上，且．，，求的长度； 【解决问题】（2）如图2，在中，，，过点C作，且，求点D到直线的距离； 【拓展应用】（3）某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境，如图3，在河流段的周边规划一个面积为的四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，，点E在边上，且，，的面积为，请直接写出河流段的另一边森林公园的面积． 【答案】（1）9（2）4（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键： （1）证明，得到，，根据线段的和差关系进行求解即可； （2）过点作，交的延长线于点，证明，进而得到，即可得出结果； （3）过点作，交的延长线于点，根据的面积为，求出的长，证明，得到，进而求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （2）过点作，交的延长线于点， 则：， ∵， ∴， 同（1）可得：， ∴， ∴点D到直线的距离为4； （3）过点作，交于点， 则：， ∵， ∴， 同法（1）可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 【经典例题五 垂直模型】 【例5】（23-24七年级下·陕西西安·期中）小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可求解． 【详解】解： ， 又，， ， ， ． 在和中， ，，， ， ． ∵， ∴ 故选：B． 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，于D，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．根据题意证明，得到，，故可求出的长． 【详解】解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，为中线，过点作，交的延长线于点，过点作于点，若，则 ．    【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用． 根据中线的定义可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·海南海口·期中）在中，，，直线经过点C，于M，于N． (1)当直线经过外部时，如图1，求证：①；②； (2)当直线经过内部时，如图2，找出线段，，的数量关系并加以证明． (3)当直线经过内部时，如图3，线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不必证明． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）①根据题意得到，即可证明全等； ②由全等三角形的性质即可证明； （2）证明，再根据全等对应边相等即可； （3）证明，再根据全等对应边相等即可 【详解】（1）证明：①， ， 于M，于N， ， ， ， 在和中， ， ； ②， ， ； （2）证明：； ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）证明：； ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 【经典例题六 手拉手模型】 模型.手拉手模型（三角形） 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 （等边） （等腰直角） （等腰） 【例6】例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．(1)求证：；(2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案； （2）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解． 【详解】（1）证明：是等边三角形，，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，．．． 在和中，，． （2）解：如图， ，，为等边三角形．， ，．． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键． 1．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在和中，，（），，直线，交于点，连接下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，先证明，即可证明得到，即可判断①②；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③，无法得出，进而判断④． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ， 故①正确； ∴， 故②正确； 设于的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ∴， ∴， 故③正确； 同理可得，，而未知，则未知， 故④不一定正确， 故选：B． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过可得出，即可判断①；根据可得，，再通过外角和定理即可得出，即可判断②；根据已知条件无法得出，即可判断③；根据可得，再根据，，即可得出结论，即可判断④；综合即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴在和中， ， ∴， 故①正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 故②正确； 根据已知条件不能证明， 故③不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故④正确； 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析； (3)米． 【分析】（）证即可证出，再根据“”字型得； （）先 证，再证，最后通过线段和差即可得证； （）按照前问思路构造“手拉手模型”全等，作，使，连接，则为等腰直角三角形，证明，则，最后利用勾股定理求即可； 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形, ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形， 同（）同理可证：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故答案为：． 【经典例题七 半角模型】 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。 思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.半角模型（90°-45°型） 【模型展示】 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型） 1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 模型3.半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【例7】（2022春·山东烟台·八年级校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____． 【答案】2 【分析】延长BA到点G，使AG=CF，连接DG，EF，利用SAS证明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，设AE=x，则BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解决问题． 【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF， ∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF， ∵∠EDF＝45°，∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°， ∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE（SAS），∴GE＝EF， ∵F是BC的中点，∴AG=CF=BF=3，设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3， 由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2， ∴DE＝，故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键． 1．（2022春·广东河源·八年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，若，则的长为______． 【答案】5 【分析】由题意易得，则有，然后可证，则有，设，则有，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为6， ∴，∵绕点顺时针旋转90°得到， ∴，∴点G、B、E三点共线， ∵，∴，∵AE=AE，∴，∴， 设，则有，∴在Rt△ECF中，由勾股定理可得， 即，解得：，∴；故答案为5． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 2．（2023春·江苏·八年级期中）请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： (1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； (2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 【答案】(1)(2)不变，见解析(3)， 【分析】（1）将绕A顺时针旋转后成，根据题意证明，故，因为中，，所以，从而可得，在中，由勾股定理得线段之间的等量关系式；（2）解法一：将沿直线对折，得，连接，根据全等三角形的性质得到，，然后进一步证明，然后根据全等三角形的性质求解即可；解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接，根据题意证明，进而求解即可； （3）与（2）类似，以为一边，作，在上截取，证明出，然后根据等腰三角形的概念求解即可． 【详解】（1），证明如下： 将绕A顺时针旋转后成，连接， ∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，∴；故答案为：； （2）关系式仍然成立．证明：将沿直线对折，得，连接 ∴，∴，， 又∵，∴，∵， ，∴， 又∵，∴， ∴ ∴，∴在中，，即； 解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接． ∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵∴； （3）当时，线段能构成一个等腰三角形． 如图，与（2）类似，以为一边，作，在上截取， 可得．∴．∴． 若使为等腰三角形，只需，即， ∴当时，线段能构成一个等腰三角形，且顶角为． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是通过旋转变换构造全等三角形． 3．（2022·江苏南京·九年级专题练习）（1）阅读理解：如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常会想到：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．易证△AEF≌_______，得出线段BF，DE，EF之间的数量关系为____________； （2）类比探究：如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求线段DE的长；（3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，请直接写出BD：CE的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而得到，由全等三角形的性质可得，即可解答；（2）将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交的延长线于点，进而证≌，得到，即可求出和，再根据勾股定理即可解答；（3）用的方法，分类讨论是等腰的腰长，求出：的值即可． 【详解】解：（1）把绕点顺时针旋转得到，可知：，，， ，， 在和中，≌，， ，，故答案为；． （2）如图，将△ACE绕点A顺时针旋转60°，得到△ABF，连接DF，过点F作FG⊥BC，交CB的延长线于点G，如图所示： ∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠C＝60°，AB=AC， ∵∠DAE＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝30°，∴∠DAF＝30°， 又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∵∠ABF＝∠ABC＝∠C＝60°，∠FBG＝60°， ∵BF=CE=4，∠G＝90°，∴BG＝BF=2，FG＝=， ∴DG＝5，∴在Rt△DFG中，DF=，∴线段DF的长为． （3）如图，将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABG，连接DG，过点D作DH⊥BG，交BG的于点H，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，∠ADE为顶角，则∠ADE=30°， ∵AB=AC，∠BAC=150°，∴∠ABC=∠C=（180°-150°）=15°， ∴由旋转性质得△ABG≌△ACE，∴BG=CE，AG=AE，∠ABG=∠C=15°，∴∠DBG=30°， ∵将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABG，∴∠EAG=150°， ∵∠DAE＝75°，∴∠GAD=75°，∴∠ADE=30°， 在△ADE和△ADG中，，∴△ADE≌△ADG，∴∠GDA=∠ADE=30°，∴∠GDE=60°， ∵∠GDE=∠GBD+∠BGD，∴∠BGD=60°-30°=30°，∴BD=DG，∴BH=GH=BG=CE， 在Rt△BHD中，设HD=x，∵∠DBG=30°，∴BD=2x，由勾股定理得：BH=， ∴BG=2，∴CE=2，∴BD：CE=：3； 如图将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABM，连接DM，过点M作MN⊥BD，交BD于点N， ∵∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，∠E为顶角，∴∠E=30°， ∵AB=AC，∠BAC＝150°，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠CAE=15°， ∴AE=CE=DE，∴∠BAD=150°-75°-15°=60°，由旋转性质可知△ABM≌△ACE， ∴∠BAM=∠CAE=15°，∠ABM=∠ACE=15°，AM=AE，BM=CE，∴∠MAD=15°+60°=75°=∠DAE， 在△MAD和△EAD中，，∴△MAD≌△EAD，∴DM=DE=CE=BM， ∵MN⊥BD，∴BN=DN=BD，∵∠MBD=∠ABM＋∠ABC=15°+15°=30°， ∴在Rt△BNM中 ，设MN=a，∴BM=2a，∴CE=2a， 由勾股定理得：BN=，∴BD=2a，∴BD：CE=2a：2a=：1=． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【经典例题八 倍长中线模型】 【例8】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图中，是中线，，，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长至点E，使，连接，利用证明，得，再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接， ∵是上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C．    【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关系． 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：延长到，使，连接，   点D是的边上的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：； (2)如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． （1）先推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，则； （2）连接并延长到点，使，连接，由倍长中线，模型可证明，得到，，进一步，，则，而，所以，即可证明，得，所以，则，即可证明点，，在同一条直线上． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2，连接并延长到点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 与在同一条直线上， 点，，在同一条直线上． 【经典例题九 对角互补模型】 模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=PA； 模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型） 1）“2α对180°-2α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB 注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型” 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。 【例9】在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段和之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明； （2）观察线段、和之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明； 【解答】解：（1），理由如下： 如图②，连接，是等腰直角三角形，为斜边的中点， ，，，， 又，，， 在和中，，，； （2），理由如下：连接，如图③所示： 同（1）得：，， ， 1、如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交于点，与交于点．(1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系(2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积． 【答案】（1），证明详见解析；（2）， 【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，平分，∴， ∵，∴ ，∴是等边三角形，∴； （2）过点作，， ∵平分，∴，， ∵，∴∠QPH＝60°，∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ， ∵，，平分，∴， ∴，＝，∴＝， ∴四边形的面积＝＝ 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：CD＝CE． 理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，… 请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分． （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． （3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°． ①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系． 解：（1）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，且∠OCF＝90°， ∴∠OFC＝45°＝∠BOC，∴OC＝FC， ∵∠DCE＝∠OCF＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，且CO＝CF，∠AOC＝∠CFE＝45°， ∴△CDO≌△CEF（ASA）∴CD＝CE （2）如图2，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°， 又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， 又∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠CEO＝∠CDM，且∠CMD＝∠CNE，CM＝CN， ∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE． （3）①（1）中的结论仍成立．OE+OD＝OC． 理由如下：如图3，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°， 又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°， 在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°， 又∵∠AOB+∠DCE＝60°+120°＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， 又∵∠CEO+∠CEN＝180°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE， ∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN． ∴OE+OD＝OE+OM+DM＝OE+OM+EN＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°， ∴，同理可得ON＝OC，∴． ②在图4中，（1）中的结论成立，OE﹣OD＝OC， 如图4，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°， 又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°， ∵∠COE+∠CEO+∠DCE+∠OCD＝180°，∴∠OCD+∠CEO＝60°， ∵∠AOC＝∠CDO+∠OCD＝60°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE， ∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN． ∴OE﹣OD＝ON+NE﹣（MD﹣OM）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°， ∴，同理可得ON＝OC，∴OE﹣OD＝ON+OM＝OC； 在图5中，（1）中的结论成立，OD﹣OE＝OC， 如图5，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°， 又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°， ∵∠COA+∠CDO+∠DCE+∠OCE＝180°，∴∠OCE+∠CDO＝60°， ∵∠NOC＝∠CEO+∠OCE＝60°，∴∠CDO＝∠CEO，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE， ∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN． ∴OD﹣OE＝DM+OM﹣（EN﹣ON）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°， ∴，同理可得ON＝OC，∴OD﹣OE＝ON+OM＝OC； 3、（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____． 【答案】（1）（4） 【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断． 【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF， 在△POE和△POF中，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF， 在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF， ∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确， ∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误， ∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值， 在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，故答案为：（1）（4）． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【经典例题十 角平分线模型】 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 【例10】（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____． 【答案】1 【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵平分，，，∴， ∴．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键． 1．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，先证明，得到，再证明，得到，即可求出长． 【详解】解：如图，延长、交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，延长交点于，可证，得到，，进而得到，由三角形全等推导出，并判断出当时，最大，是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交点于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·云南文山·期末）如图．已知线段，分别过线段的两个端点作射线，使，点E为平分线上的一点，且，垂足为E，若，请解答下列问题：    (1)求的度数； (2)过点E作直线，交于点D，交于点C．求证：； (3)无论线段的两个端点在上如何移动，只要线段经过点E，那么的值是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值不会发生变化，都等于的长，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得出得出再根据直角三角形两锐角互余可得从而可得出结论； （2）延长交于点F，证明得到，再根据证明即可得出； （3）由（2）知得，从而可证明再证明，从而可得出结论． 【详解】（1）∵是的平分线， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）证明：如图所示，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴； （3）解：的值不会发生变化，都等于的长，理由如下： 由（2）得， ∴， ∴， ∴线段经过点E，那么的值不会发生变化，都等于的长 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过A和B分别作于D，于E， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴则B点的坐标是． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，线段的和差，本题能根据证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题． 2．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，是的角平分线，于点．若点为动点，在点运动的过程中满足，则的最大值为（　　）    A．28 B．24 C．14 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；延长和相交于点，构造出，从而求出的值；，根据当时，有最大值求解即可； 【详解】解：延长和相交于点，如图：    ∵ 是 的角平分线 ∴ ∵ ∴ ， 当时， 有最大值； 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 4．（23-24八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】在上截取，连接，由可证得，于是可得，由可证得，于是可得，进而可求得的长． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 周长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，等式的性质，解一元一次方程等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 6．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系．延长到E，使，连接，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 【详解】延长到E，使，连接，如图所示： ∵为中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即， 故答案是：． 7．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）等腰直角在平面直角坐标系中如图所示，，，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、点坐标与图形，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∵轴轴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 则点的坐标为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为射线上的一个动点，分别以为直角边，B为直角顶点，在两侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接交于点P，则当点B在射线上运动时，的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用等知识，过点E作，垂足为点N，先证明，得到，再证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点E作，垂足为点N， ∵， ∴， ∴， ∵均为等腰直角三角形， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴． 故答案为：2． 9．（24-25八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，为中线，过点作，交的延长线于点，过点作于点，若，则 ．    【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用． 根据中线的定义可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：5． 10．（2024八年级上·吉林·专题练习）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 设，延长到点，使，连接，延长和交于点，根据已知条件证明，即可解决问题． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长到点，使，连接， ， ，， ， ， ， 延长和交于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：4． 11．（24-25八年级上·辽宁营口·阶段练习）如图，已知和中，，，，BE交FC于O点． (1)当时，判断BE与CF的关系并证明． (2)当时，直接写出∠BOC的度数为______（用含的式子表示）． 【答案】(1)，；证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用， （1）推出，证明，推出，，根据三角形内角和定理推出即可； （2）求出，求出，即可得出答案； 解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 【详解】（1）解：与的关系：，． 证明：设交于点， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，设交于点， ∵， ∴， 同（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ； (2)如图2，，，．点D为的中点，求证：； (3)如图3，四边形，对角线，相交于点E，点F是边的中点，，，试探索与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）以点A 为顶点作两个等腰直角三角形（，），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接，． (1)求证：． (2)延长 ，交 于点 F，求的度数． (3)若按图2放置，试探究 与之间的关系．（只写结论，不必说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) (3)且 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，，，利用“”可证明，则； （2）由得到，利用三角形内角和定理可得到； （3）与（1）一样可证明，得到，，利用三角形内角和定理得到． 【详解】（1）证明：∵，是等腰直角三角形， ，，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：∵， ， 而在中， 又 ； （3）解：且，理由如下： 如图2， ∵，是等腰直角三角形 ，，， ， 在和中， ， ∴ ，， ， ， ∴， ∴与之间的关系为：且． 14．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）【提出问题】（1）如图1，在和中，，点B，C，D在一条直线上，且．，，求的长度； 【解决问题】（2）如图2，在中，，，过点C作，且，求点D到直线的距离； 【拓展应用】（3）某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境，如图3，在河流段的周边规划一个面积为的四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，，点E在边上，且，，的面积为，请直接写出河流段的另一边森林公园的面积． 【答案】（1）9（2）4（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键： （1）证明，得到，，根据线段的和差关系进行求解即可； （2）过点作，交的延长线于点，证明，进而得到，即可得出结果； （3）过点作，交的延长线于点，根据的面积为，求出的长，证明，得到，进而求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （2）过点作，交的延长线于点， 则：， ∵， ∴， 同（1）可得：， ∴， ∴点D到直线的距离为4； （3）过点作，交于点， 则：， ∵， ∴， 同法（1）可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 15．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在与中，且，点、、三点在同一直线上． (1)若，求的度数． (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质及内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，，再利用三角形的外角性质得，进而利用三角形的内角和定理即可得解； （2）令交于点，由（）得，，进而，，再利用三角形的内角和定理及垂线定义证明，从而即可得解． 【详解】（1）解： ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， （2）解：如图，令交于点， 由（）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16．（河北省邢台市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）【探究发现】 （）如图，在中，是的中线，作，边交延长线于点．求证：； 【初步应用】 （）如图，在中，，，是中线，则的取值范围 ； 【探究提升】 （）如图，是的中线，过点分别向外作、，使得，，连接，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】（）证明见解析；（）；（），，理由见解析 【分析】（）利用证明即可； （）如图，延长至，使得，则，先证明，得到，再根据三角形三边关系得，据此即可求解； （）如图，延长到，使得，连接，则，证明得到，，即得，再根据得到，即可得到． 【详解】（）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （）如图，延长至，使得，则， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由三角形三边关系得，， ∴， ∴， 故答案为：； （）解：，，理由如下： 如图，延长到，使得，连接，则， 由（）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系，平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 17．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解； （2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证． 【详解】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点， ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴； 小丽∶延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 18．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知：在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明 ；再证明 ；即可得出之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 【答案】(1)见解析， (2)（1）中的结论仍然成立，见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）由题意补图，补充思路即可； （2）延长到G，使，连接，证明即可； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，证明即可，再进行线段和差计算． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 小明的解题思路：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系是， 证明如下：延长到点G，使，连接， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， 即， 又， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中结论仍成立，理由如下： 延长到G，使，连接，如图所示， ，， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， 即， 又， ， ， ， ， （3） E，F分别是边上，则有，第（2）问已证明； 点E在边延长线上，点F在边延长线上，此时，证明如下： 在上截取，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， 又， ， ， ， ； 当点E在延长线上，点F在延长线上，如图，在上截取，连接， 同上可证明：， ， ， 即， 综上所述：线段之间的数量关系为或或． 19．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等；线段和线段垂直，理由见解析 (2)存在，或，使得与全等 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，在解题时注意分类讨论思想的运用． （1）利用证得，得出，进一步得出得出结论即可； （2）由，分两种情况：，，建立方程组求得答案即可． 【详解】（1）解：（1）与全等，线段和线段垂直．理由如下： 当时，， 又，即， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． ∴， 即线段和线段垂直． （2）存在，或，使得与全等． 理由：依题意得： ①若， 则， 则， 解得； ②若， 则， 则， 解得：， 综上所述，存在或，使得与全等． 20．（24-25八年级上·河南信阳·期中）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、猜想线段，，之间的数量关系是______． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那（1）的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、A、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角请问（1）的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）常老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，点为线段的三等分点，则的面积为______． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形边的等分点、三角形的面积公式等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证明出，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （2）证明，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （3）如图，过点作于，的延长线于．同（1）可证、可得、、；再证明可得；由点A为线段的三等分点，得，设，，则、，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：． （2）仍然成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． （3）证明：如图，过点作于，的延长线于． 同（1）可得，， ，，， 在和中， ， ， ， 点A为线段的三等分点， ， 设，， ， ，， 的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$