6.1.1两个计数原理的综合应用学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

两个计数原理的综合应用 课标要求　1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别. 2.能根据具体问题的特征，选择两个计数原理解决一些实际问题. 【引入】 随着人们生活水平的提高，车辆拥有量迅速增长，汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求，再加上许多车主还希望车牌号“个性化”，因此，汽车号码需要进行扩容，这样就需要“数出”某种方案下的所有号码数，号码的个数是如何进行计算的呢？ 一、抽取与分配问题 例1 (1)(链接教材P6例4)高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 (2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　抽(选)取与分配问题的常用解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行. ②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 训练1 有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(　　) A.11 B.10 C.9 D.8 二、组数问题 例2 (链接教材P7练习T5)用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 迁移 由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　对于组数问题，应掌握以下原则： (1)明确特殊位置或特殊数字，这是采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解. (2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数字以上的数的最高位. 训练2 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　) A.24 B.18 C.12 D.6 三、涂色与种植问题 例3 (1)从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在3块不同土质的土地上，则不同的种植方法种数为(　　) A.12 B.24 C.36 D.48 (2)如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法种数为(　　) A.120 B.260 C.340 D.420 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　求解涂色(种植)问题的策略 (1)①以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算. ②以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算. (2)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准. 训练3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【课堂达标】 1.从数字1，2，3，4中取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为(　　) A.7 B.9 C.10 D.13 2.对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色.现有红、黄、蓝三种不同的颜色可以选择，则不同的染色方法共有(　　) A B C A.22种 B.18种 C.12种 D.6种 3.某年级要从3名男生、2名女生中选派2人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种. 4.用数字1，2组成一个四位数，则数字1，2都出现的四位偶数的个数为________. 两个计数原理及其简单应用 探究1　提示　该代表共有3＋4＝7(种)快捷途径可选. 知识梳理 m＋n 例1　解　(1)选取数学课外小组组长分四类： 从一班中选一人有4种方法，从二班中选一人有5种方法，从三班中选一人有6种方法，从四班中选一人有7种方法. 故共有不同的选法N＝4＋5＋6＋7＝22(种). (2)法一　根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8分成8类， 在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个). 法二　分析个位数字，可分以下几类： 个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个； 个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个； 同理，个位数字是7的有6个； …… 个位数字是2的有1个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个). 迁移　解　当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个； 当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个； 当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个； 同理可知，当个位数字是2时，共7个； 当个位数字是0时，共9个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个). 训练1　(1)A　(2)8　[(1)因为椭圆的焦点位于x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1. 所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个). (2)任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案： 第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法； 第二类，从女同学中选取1名参加学科竞赛，有5种不同的选法. 由分类加法计数原理，不同的选派方法有3＋5＝8(种).] 探究2　(1)提示　两个步骤：先乘飞机从A地到C地；再坐火车到B地. (2)提示　第1步有7种方法，第2步有6种方法. (3)提示　共有7×6＝42(种)不同方法. 知识梳理 m×n 例2　(1)448　[第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同的选法；第二步，确定百位，除去6和千位数字外，有8种不同的选法；第三步，确定十位，除去6和千位、百位上的数字外，有7种不同的选法. 故共有8×8×7＝448(个)不同的“吉祥数”.] (2)解　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，第1个拨号盘有10种拨号方式，所以m1＝10； 同理，第二步，m2＝10； 第三步，m3＝10； 第四步，m4＝10. 根据分步乘法计数原理，共可以组成 N＝10×10×10×10＝10 000(个)四位数的号码. 迁移　解　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第1步，有10种拨号方式，即m1＝10； 第2步，去掉第1步拨的数字，有m2＝9种拨号法； 第3步，去掉前2步拨的数字，有m3＝8种拨号法； 第4步，去掉前3步拨的数字，有m4＝7种拨号法. 根据分步乘法计数原理，共可以组成 N＝10×9×8×7＝5 040(个)四位数的号码. 训练2　解　第一步，确定十位数字，1，2，3，4，5，6六个数字都可以选择，有6种方法； 第二步，确定个位数字，0，1，2，3，4，5，6七个数字都可以选择，有7种选法. 根据分步乘法计数原理，组成的两位数共有 6×7＝42(个). 例3　解　(1)从高一选1人作总负责人有50种选法； 从高二选1人作总负责人有42种选法； 从高三选1人作总负责人有30种选法. 由分类加法计数原理，共有50＋42＋30＝122(种)选法. (2)从高一选1名负责人有50种选法； 从高二选1名负责人有42种选法； 从高三选1名负责人有30种选法. 由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000(种)选法. (3)①高一和高二各选1人作为中心发言人， 有50×42＝2 100(种)选法； ②高二和高三各选1人作为中心发言人， 有42×30＝1 260(种)选法； ③高一和高三各选1人作为中心发言人， 有50×30＝1 500(种)选法. 故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860(种)选法. 训练3　解　(1)可分为两类：A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x， 则共得到3×4＋4×3＝24(个)不同的点. (2)第一象限内的点，x，y均为正数， 所以只能取A，B中的正数. 共有2×2＋2×2＝8(个)不同的点. 课堂达标 1.B　[不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选1本阅读，共有9种选法.] 2.C　[小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种， 根据分步乘法计数原理，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法.] 3.7　[当子集中的元素属于集合A时，有3种情况； 当子集中的元素属于集合B时，有4种情况. ∵集合A与集合B无公共元素， ∴子集的情况共有3＋4＝7(种).] 4.32　[根据题意，教学楼共有6层，共5层楼梯，每层均有两个楼梯，即每层有2种走法， 则一共有2×2×2×2×2＝32(种)走法.] 学科网（北京）股份有限公司 $$