7.4.3二项分布与超几何分布的综合应用限时训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

二项分布与超几何分布的综合应用 (分值：100分) 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共18分. 一、基础巩固 1.某人射击一次命中目标的概率为，假设各次射击的结果互不影响，则他射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为(　　) C× A× C× C× 2.(多选)从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机抽取1个球，有放回地抽取5次，设取得白球的个数为X.若E(X)＝3，则下列结论正确的是(　　) D(X)＝ D(X)＝ m＝2 m＝4 3.设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为(　　) 1－ 1－ 4.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有(　　) 2本 3本 4本 5本 5.(多选)某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的产品中均有5件次品，员工A从自己抽取的产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从自己抽取的产品中无放回地随机抽取3件产品.设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3.则下列判断正确的是(　　) 随机变量X服从二项分布 随机变量Y服从超几何分布 P(X＝k)<P(Y＝k) E(X)＝E(Y) 6.袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均得________分. 7.已知离散型随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝q，则＋的最小值为________. 8.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示).已知成绩在[90，100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50，60)中，则n＝________，现由成绩在[50，60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的均值是________. 9.(13分)某科技公司为5G基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件A和元件B按如图方式连接而成.已知元件A至少有一个正常工作，且元件B正常工作，则该装置正常工作.据统计，元件A和元件B正常工作超过10 000小时的概率分别为和. (1)求该装置正常工作超过10 000小时的概率； (2)某城市5G基站建设需购进1 200台该装置，估计该批装置能正常工作超过 10 000小时的台数. 10.(13分)在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值； (2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差. 二、综合运用 11.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为(　　) 12.某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为________. 13.(16分)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照[27.5，32.5)，[32.5，37.5)，[37.5，42.5)，[42.5，47.5)，[47.5，52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示. (1)求图中a的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实，用样本估计总体.若从这种植物果实中随机抽取3个，其中优质果实的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X). 三、创新拓展 14.(多选)袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数.若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是(　　) P(|Z－6|≤1)＝ 　E(X)>E(Y) D(X)＝D(Y) 　 　E(Z)＝ 二项分布与超几何分布的综合应用 1.B　[射击6次，3次命中的概率为 C××＝C×， 恰有2次连续命中的概率为. 故他射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为C××＝A×.] 2.BC　[由题意可知X～B， 由E(X)＝5×＝3，解得m＝2. 所以D(X)＝5××＝.] 3.D　[从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N＝12，M＝8，n＝4的超几何分布， 故至多3个红球的概率为 P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－.] 4.C　[设语文课本有n(n≥2)本，则数学课本有(7－n)本，则2本都是语文课本的概率是 ＝， 所以n2－n－12＝0，解之得n＝4.] 5.ABD　[由超几何分布和二项分布的概念，A，B正确； 对于D，设该批产品有M件，则 E(X)＝3·＝， E(Y)＝ ＝ ＝＝，因此D正确； 对于C，若C正确，可得E(X)<E(Y)，则D错误，矛盾，故C错误.] 6.1.5　[用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何分布，且N＝10，M＝3，n＝5，于是E(X)＝n·＝5×＝1.5.] 7.　[依题设E(X)＝np＝4， D(X)＝np(1－p)＝q，即4p＋q＝4， 故p＋＝1(p>0，q>0)， 所以＋＝ ＝＋＋≥＋2＝， 当且仅当q＝2p＝时取得等号.] 8.50　　[依题意得0.016×10n＝8，则n＝50. 成绩在[50，60)的人数为0.012×10×50＝6， 其中4个为女生，2个为男生. ξ的可能取值为0，1，2，则ξ服从超几何分布. P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝＝， 故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.] 9.解　(1)元件A至少有一个正常工作超过10 000小时的概率为1－＝， 则该装置正常工作超过10 000小时的概率为 ×＝. (2)设1 200台该装置能正常工作超过10 000小时的有X台，则X～B. 所以这1 200台装置能正常工作超过10 000小时的约有1 200×＝840(台). 10.解　(1)法一　由题意知X的可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. ∴随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 法二　由题意知P(X＝k)＝，k＝0，1，2， ∴随机变量X服从超几何分布， n＝3，M＝2，N＝10， ∴E(X)＝＝＝. (2)由题意知，抽取1次取到次品的概率为＝， 随机变量Y服从二项分布Y～B， ∴E(Y)＝3×＝， D(Y)＝3××＝. 11.C　[由题意可知，10个数中，1，3，5，7，9是阳数，2，4，6，8，10是阴数， 若任取3个数中有2个阳数， 则概率为p1＝＝＝， 若任取3个数中有3个阳数， 则概率为p2＝＝＝， 故这3个数中至少有2个阳数的概率 p＝＋＝.] 12.24　[由题意，可得X的所有可能取值为190，150，110，且 P(X＝190)＝＝， P(X＝150)＝＝， P(X＝110)＝＝， 则E(X)＝190×＋150×＋110×＝158， 标准差＝ ＝24.] 13.解　(1)组距d＝5，由5×(0.02＋0.04＋0.075＋a＋0.015)＝1，得a＝0.05. (2)各组中点值和相应的频率依次为 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 ＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40， s2＝(－10)2×0.1＋(－5)2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75. (3)由已知，这种植物果实的优质率p＝0.9， 且X～B(3，0.9)，X＝0，1，2，3. 所以P(X＝0)＝0.13＝0.001， P(X＝1)＝C×0.9×0.12＝0.027， P(X＝2)＝C×0.92×0.1＝0.243， P(X＝3)＝0.93＝0.729， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 E(X)＝np＝3×0.9＝2.7. 14.ACD　[依题意，X，Y服从超几何分布，且X＋Y＝4， Z＝2X＋Y，P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4). 从而P(|Z－6|≤1)＝P(5≤Z≤7) ＝1－P(Z＝4)－P(Z＝8) ＝1－P(X＝0)－P(X＝4) ＝1－－＝，故A正确. E(X)＝4×＝，E(Y)＝4－E(X)＝， D(X)＝D(4－Y)＝D(Y)，故B错误，C正确. E(Z)＝2E(X)＋E(Y)＝，故D正确.] 学科网（北京）股份有限公司 $$