山东省淄博第五中学2024-2025学年高一上学期12月冬学竞赛数学试题

淄博五中2024-2025学年度第一学期冬学竞赛 高一数学试题2024.12 命题人:潘文超 审核人:吴岳 一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上 1. 已知集合A={0,1,a?},B=(1,0,2a+3},若A=B,则a等于( _ B.0或-1 C.3 A. -1或3 D.-1 _ 2. 若扇形的孤长是8,面积是16,则这个扇形的圆心角的孤度数是( B.2 C.5 A.3 D.4 (-sinx.x<0 #。##-) 的值为( _ C B. 2 D A.4 4. 关于x的方程x*-2x+1-0的两个实数根,x,满足0<x<1<x.<2,则常数“的 取值范围是( ) B.(1.+) C.- D.) A. (0.1) 5$ 算sin3-)-co(5+4)}+ an(7--)_() A.2+1 C.2-1 B.1 D.-2+1 6. 已知a=log0.2,b=log。 0.2,c=0.4*},则( ) B.a<b<c C. b<c<a A. a<c<b D. c<a<b 7. 沙漏也叫做沙钟,是一种测量时间的装置,现有一个沙漏(如图)上方装有acm的细沙 细沙从中间小孔由上方慢慢漏下,经过tmin时剩余的细沙量为ycm3,且y=a.e-*(b 高一数学试题,第1页,共4页 需经过的时 间为( _ C. 24min 8min B. 16min D. 26min 一的最小值为() C. 8 A. 10 B. 9 D. 7 二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个 选项中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上,全部选对 得6分,部分选对得部分分,不选或有错选的得0分 9. 若角g的终边上有一点P(a,2a)(a;0),则2sina-cosa的值可以是( __ - # 10. 下列说法不正确的是( _~ A. 若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(2x)的定义域为[0,4] B. 函数y-1是减函数 C.函数/(x)x1 x2 的图象关于点(-2,1)成中心对称 D. 寡函数f(x)=(m2}-3m+3)x3m在(0,+o)上为减函数,则m的值为1或2 11. 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,对于任意x,yeR都满足 f(x)=yf(x)+xf(y),则下列说法正确的是( _ A f(o)-0 高一数学试题,第2页,共4页 B. f(x)是奇函数 C.若(3)3.则()-1 f(x)在(0,+o)单调递减 D.若当x>1时,f(x)<0,则g(x)-= 士 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分,请把答案填写在答题 卡相应位置上. #2#{#(#)△# 12.计算: .log9.log4- 13. 若函数f(x)=log(x2-ax+3a)在区间[2,+co)上是增函数,则实数a的取值范围是 14. 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,用其名字命名的“高斯函数”为:设 xeR,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如: 域是 四、解答题:本大题共5小题,共77分.请在答题卡指定区域内作答,解答 时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 (1)当a=1时,求AoB,(C4)UB; (2)若“xEA”是“xEB”的充分不必要条件,求实数a的取值范围 高一数学试题,第3页,共4页 16(15分)已知角x满足cosa+3sing=0 (1)若-<a<o,求sing,cosa的值; sinB-3cos/B (2)若角B的终边与角&的终边关于x轴对称,求 2sin/B+cos/B 的值 17.(15分)已知函数(x)sn)(<7),A#o ./(x)#(). (1)求o的值; (2)求f(x)的单调递增区间; (3)答[ n)()的值域是1. 求m的取值范围. 18.(17分)已知函数f(x)=log。9+1)+kx(xeR)是偶函数,其中k为实数 (1)求k的值; (2)若函数g(x)=9/(x).3-2m·3+1(0<x<2),是否存在实数m,使得g(x)的最 小值为0?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由 19.(17分)对于函数y=f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),其中k 为整数,则称函数y=f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”. (1)已知函数f(x)-3sinx+cosx,试判断y=f(x)是否为(-)上的“2阶局部 奇函数”?并说明理由: (2)若f(x)=log(x+m)是[-2.2]上的“1阶局部奇函数”,求实数m的取值范围; (3)若f(x)=x2-2x+t,对任意的实数tE(-oo,2l,函数y=f(x)恒为R上的“k 阶局部奇函数”,求整数k取值的集合 高一数学试题,第4页,共4页 淄博五中2024-2025学年度第一学期冬学竞赛 高一数学试题参考答案 2024.12 一、选择题: 1.C 2.B 3.C. 4.D 5.A 6.A 【详解】由对数函数的单调性可知: a=log.0.2<log.1=0. b=log.0.2>log。0.4=1. 由指数函数的单调性可知: 0<c-0.4*<0.4=1: 所以a<c<b. 故选:A. 7.C 【详解】依题意有ae--1。 2,即-8-1. 两边取对数得-8b=ln-=-ln2,所以b-ln2 1. 2 8 -a,所以e 8 8 8 ln2 2 -ln-=-3ln2,所以t=24. 1 两边取对数得一 8 8 故选:C. 8.B 【详解】因为3x>y>0,则3x-y>0. 则由题意得, 第1页/共8页 4x+6y 4(3x-)9. -5+ 3x-y 4x+6y 1时取等号. 当且仅当2(3x-v=4x+6v,即x= # 3y= 33 故选:B. 二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分. 9.AD 【详解】若a的终边上有一点P(a,2a)(a;0). 5 d d 5,0 则cosa=_- #5 . {#0 /2# 2a 2a #,0 sing=- 25 #a2+(2a)5]= #~,<0 35 #-□0 所以2sing-cosg= 35 5~-<0 故选:AD. 10.ABD 【详解】对于A,函数f(x)的定义域为[0,2] 由0<2x<2得0<x<1 则函数/(2x)的定义域为[0,1,A错误: 对于B,函数y--在(-0.0)和(0,+oo)上是减函数,在整个定义域内不为减函数,B错误; 。 的图象, _ x+2 x+2 x+1 所以函数y= x+2 的对称中心为(-2.1),C正确; 对于D,因为函数f(x)=(m2}-3m+3)x3为幕函数且在(0.+o0)上为减函数, 第2页/共8页 [m-3m+3=1 所以 ,解得m=1:D错误 3m-4<0 故选:ABD. 11.ABD 【详解】因为f(xy)=yf(x)+xf(y). 所以令x=v=0,得f(0)=0,故A正确 令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0 令x=y=-1,得f(1)=-f(-1)-f(-1) 所以f(-1)=0,令y=-1,得f(-x)=-f(x)+xf(-1),又f(-1)= 所以f(-x)=-f(x),又因为定义域为R,所以函数f(x)是奇函数,故B正确: 令-3.y-,得/(1)-(3)+3/(1)# 又/(1)-0.(3)3. 所以()-),故&C错误: 当x.yzo时,由/f(xy)=yf(x)+xf(y) () ()./(),又::g(x)-/(). 可得 xr x .gxy)=g(x)+g(y).在(0,+)上任取x,x,不妨设x<x. 8(r)-8(七)-8()- ]-()- (x)-8-() x 故选:ABD. 第3页/共8页 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12.1 【详解】原式 13.(-4.4] 【详解】由题设,令t三x2-ax+3a:而y=log。1为增函数. .要使f(x)在[2,+o)上是增函数,即t=x2-ax+3a在[2,+o0)上为增函数且恒大于零, { ,可得-4<a<4,..a的取值范围是(-4.4l.故答案为:(-4.4 14.(-1,0{ 21+e=2- 定义域为R, 1+e{ 1+e 在定义域R上单调递减, 当x<o时,e(0.1)(1)#/(x) 0.]),[/(1)]=_0 [(0]-[10]10,□(])0 当x-0时, 当x→o时, e(1,+),(0)#/(x)-.0)#,(x)]-1: 所以,当x>0时-x<o,则[f(x)]=-1./(-x)]=0,于是[f(x)]+[f(-x)]=-1+0=-1; 当x<0时-x0,则f(x)]=0.[f(-x)]=-1,于是f(x) ]+f(-x) ]=0+(-1)= 当x-0时, [/(x)]+[/(-x)]=0+0=0 综上所述,y=f(x)+[f(-x)]的值域为-1.0. 第4页/共8页 故答案为: .1-1.0}. 四、解答题:本大题共5小题,共77分. 15. 【答案】(1)AB={$ 0<x<3}:(CA)B={xl$<-或$ >0 (2)(al-3<aso 【小问1详解】 x+1 所以A={x-1<<3},CA={xx<-1或x>3{ 当a-1时,B=[0.7], 所以AB={xl0x<3, (CA)B-(x|x-1或 0. 【小问2详解】 由“xEA”是“xEB”的充分不必要条件可得,集合A是集合B的真子集 又A={x-1<x<3,B=[a-1,a+6] [a-1-1 所以 a+6<3,解得-35as0. 故实数a的取值范围为a-3<a<0. 0.cos30 10 【小问1详解】 cosa+3sing=0,即cosa=-3sina,又sin}a+cos{a=1. 0 又-<a<o,故sina-- 3V0 .cosa=1-sin?g= 10 #2 【小问2详解】 角B的终边与角q的终边关于x轴对称:则B=-a+2知.k乙 第5页/共8页 sing sing tang= =一 cosa -3sing 3. sinB-3cos$ tanB-3 8 故 #7 ##7# 17.(1)=1 (2)--~(}(e(<) 【详解】(1)因为()+R.(#所/ 可得#3)+,#”#,+_^# 所以=1+6k,kE ,0< 7$ 所以=1. (2)×+ - 6e 2) 又因为f(x)-sin +13 )2 #所以5n,即520# 26 6 3 3 18.【答案】(1)k=- 1 2 (2)存在m=2. 【小问1详解】 因函数f(x)=log。(9+1)+kx(kER)是偶函数, 故f(-x)-f(x)=log(9+1)-k-log(9+1+kx =1log。9{+1 9+12kr=log。9-*-2kr=-(2k+1)x=0, #2 第6页/共8页