期末复习专项之“一次函数”2024-2025学年北师大版 数学八年级上册

八年级上学期期末专项训练之“一次函数” 一、一次函数与几何综合问题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，点从点出发沿以1个单位每秒的速度向终点匀速运动（不与点重合），同时，点从点出发以相同的速度沿轴正半轴匀速运动，两个点的运动时间为秒．过点作轴，垂足为，连接，在轴上找一点（点在点右侧）使．连接并延长交轴于点，若点始终在点的左侧，则的取值范围是 ． 2．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．    (1)直接写出正比例函数与一次函数的表达式； (2)如图2，点是直线上的一动点（与，点不重合），过点作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为，用含的式子表示的长，并求出当时，的值； (3)如图3，在（2）的条件下，若是线段上一动点（与，点不重合），连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点坐标；若不能，请说明理由． 3．如图1，已知直线与坐标轴交于、两点，直线与轴交于点，且两直线交于点，点坐标为． (1)求出值． (2)如图2，连接，求出的面积． (3)在（2）的前提下，平面内是否存在一点，使得与面积相等？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． (4)如图3，已知点，点在轴的负半轴上运动，连接，与直线交于点，与直线交于点，当与面积相等时，直接写出点的坐标． 4．点，在直线同一侧，如图，于点，于点，已知，，，为直线上的动点．设． (1)请用含的代数式表示______； (2)将图建立在直角坐标系中，如图，当为何值时，求的最小值是多少？ 5．小莉同学在一次数练习中曾经遇到了平面直角系中的折叠问题，张老师讲评完试卷后又让她尝试完成以下同类问题： (1)如图①，在平面直角坐标系中，点，B分别是坐标轴上的两点，当时，将沿边翻折得到，点O的对应点为C，则点C坐标为________； (2)如图②，长方形位于平面直角坐标系中，点，，分别位于两个坐标轴上，D是上一动点，将沿翻折得到，当F落在上时，试求所在直线的函数表达式． (3)如图③，四边形是工厂张师傅设计的某零件平面示意图一部分，P，D分别是，上两点，且，，，现准备在边上再确定一点Q，画出一条分割线，使得，若存在点Q，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，，面积为，点为线段上一点． (1)直接写出点、点坐标，点坐标为 　，点坐标为 　； (2)如图，当时，设长度为，用含有的式子表示． (3)如图，将线段绕点逆时针旋转得到，将线段绕点顺时针旋转得到，若，求的值． 7．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 8．给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知平面内一定点，若对于一点，有点与点关于点对称，即为线段的中点，则称点为点关于点的完美对称点．例如：若已知定点，则对于点，有，因为点与点关于点对称，则可得关于的完美对称点． (1)若定点，点，则关于点的完美对称点的坐标为______； (2)在（）的条件下，若点，在直线上有一点使得，求点的坐标； (3)已知定点，对任意的点关于定点的完美对称点为． ①的坐标为______， ②连接，若的最小值为，则的值为______． 9．在平面直角坐标系，中，已知点，过点且垂直于x轴的直线记为直线，过点且垂直于y轴的直线记为直线．给出如下定义：将图形G关于直线对称得到图形，再将图形关于直线得到图形，则称图形是图形G关于点M的双对称图形．    (1)已知点M的坐标为，点关于点M的双对称图形点的坐标为______； (2)如图，的顶点坐标是，，． ①已知点M的坐标为，点，点，线段关于点M的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），求n的取值范围； ②已知点M的坐标为，直线l经过点且平行于第一三象限的角平分线，当关于点M的双对称图形与坐标轴有交点时，直线l上存在满足条件的双对称图形上的点，直接写出k的取值范围． 二、一次函数与生活实际问题 10．【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表： 价格p/（万元） 1 2 3 4 5 需求量/（万件） 22 20 18 16 14 求出与p的函数表达式； 任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______． 11．项目化学习 项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 研究步骤：（1）取一桶桶装水，打开置于空气中； （2）逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； （3）数据分析，形成结论． 试验数据： 试验天数天 0 1 2 3 4 菌落总数 15 20 25 30 35 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)根据表中信息，求出菌落总数与试验天数之间的函数关系式； (2)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？ 12．2024年10月27日，以“乐跑公园城市奋进创新之城”为主题的2024成都马拉松鸣枪起跑．来自全球的35000名选手从金沙遗址出发，一同体验“雪山下的公园城市、烟火里的幸福成都、奋进中的创新之城”的万千气象和独特魅力．经过激烈争夺，来自埃塞俄比亚的阿达内以2小时8分55秒的成绩夺得男子冠军，并刷新赛会纪录．甲、乙两名选手也参加了本次比赛，l1，l2分别表示在某段时间内甲、乙两名选手距离补给点A的距离与时间之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)谁先经过补给点A？早多少时间？ (2)在这段时间内，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过补给点A后多长时间，甲乙两名选手相距？ 13．综合与实践 问题情境：在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数，例如，在弹性限度内，弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加，当弹簧所受的外力过大时，会损坏它的弹性，使得弹簧被拉到最长且无法复原．某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究．    方案设计：“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量x（单位：），测量得到弹簧的长度y（单位：），且通过实验记录得到的数据如表所示： 砝码的质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧的长度 2 3 4 5 6 7 如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象．    问题解决： (1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________． (2)在弹性限度内，求弹簧的长度y与所挂砝码的质量x之间的关系式；当砝码的质量为时，求弹簧的长度． (3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过________． (4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象． 14．市区某中学八年级学生组队从学校到郊外秋游，一班学生组成前队速度为，二班学生组成后队速度，前队出发1小时后后队出发，后队的行进时间为．前、后队距学校的路程为y千米，y与x图象如下． (1)求后队追上前队的时间． (2)后队开始行进的同时派一名联络员骑自行车在两队之间进行联络，联络员的速度为，联络员从出发开始到第一次返回后队为止，联络员距学校的路程s千米． ①联络员追上前队时距离学校______千米 ②求联络员折返后与后队相遇过程中s与x的函数表达式． ③联络员从出发到折返与后队相遇的全过程中，他离前队的路程与他离后队的路程相等时，直接写出x的值．______ 15．5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． (1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数(人)和时间x(分钟)之间的函数关系式； (2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ (3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 16．2023年12月27日南昌东站通车运营，南昌东站以“霞鹜齐飞，祥瑞绽放”为设计理念，展现出了新时代高铁客运枢纽的活力，东站通车后旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候安检．经调查发现，某天开始安检时，已有200人排队等候，此后每分钟又增加10位旅客排队安检，而一个安检门每分钟只能办理5位旅客的安检工作．此时间段内东站排队等候安检的人数（人）与车站开放后的时间（分钟）的关系如图所示，其中前分钟只开放了4个安检门． (1)求的值； (2)由于突发情况，要求在候检旅客在13分钟内（含13分钟）动态清零，如图中点所示，求在分钟后至少要增设多少个安检门． 17．某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行器所在海拔高度（单位：）与上升时间（单位：）满足一次函数关系，部分数值如表： 上升时间(单位：） … 5 15 … 海拔高度（单位：） … 10 20 … 乙飞行器从海拔的高度，以的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态． (1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度（单位：）与上升时间(单位：）之间的函数关系式； (2)①求甲飞行器的初始高度； ②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明理由； (3)若甲飞行器因为电量不足，上升后，减速为继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，设两个飞行器的高度差为（单位：）．请直接写出：当，h最多为多少米？ 18．温州某一企业原先一次性口罩和防雾霾口罩生产信息如表： 口罩类型 材料成本不含人工 出厂价 产量一人一天 一次性口罩 元个 元个 个 防雾霾口罩 元个 元个 个 已知该企业有名工人，工资每人每天元，该企业原来每天产量共个口罩． (1)求原先企业安排生产一次性口罩和防雾霾口罩各有多少人． (2)经一段时间运行，企业发现每天销售的防雾霾口罩，最多只能卖个，而一次性口罩可以全部销售，市场缺口较大，怎么安排生产口罩的人数可以使该企业每一天获得利润最大，最大利润是多少？（注：没有销售的口罩，作为库存暂时当做不赚不亏）． (3)在疫情期间，为了配合政府防疫工作，该厂“改为全部生产一次性口罩”，因为原材料价格暴涨，口罩的材料成本和出厂价分别变为元个和元个．一部分员工因为滞留在外，无法及时回来工作．所以该厂提高了剩余老员工的工资，也招募了几个新员工过来且老员工人数多于新员工，信息如表： 员工类型 每日工资 一次性口罩产量一人一天 老员工 元天 个 新员工 元天 个 要是该厂的利润达到元天求该厂留下来的老员工和招募的新员工人数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上学期期末专项训练之“一次函数” 一、一次函数与几何综合问题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，点从点出发沿以1个单位每秒的速度向终点匀速运动（不与点重合），同时，点从点出发以相同的速度沿轴正半轴匀速运动，两个点的运动时间为秒．过点作轴，垂足为，连接，在轴上找一点（点在点右侧）使．连接并延长交轴于点，若点始终在点的左侧，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用．依题意，结合已知先用待定系数法求得直线解析式，进一步求得点的坐标，分析可得解． 【详解】解：由题可知，点，，且， 则， ， ， 设直线解析式为：， 把点，代入， 可得：， 解得：， 直线解析式为：， 当时，， 即点，点在左侧， 故， ，且， 故答案为：． 2．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．    (1)直接写出正比例函数与一次函数的表达式； (2)如图2，点是直线上的一动点（与，点不重合），过点作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为，用含的式子表示的长，并求出当时，的值； (3)如图3，在（2）的条件下，若是线段上一动点（与，点不重合），连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； (2)，； (3)点坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形面积的计算． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意得到，，分当或时，两种情况讨论，列式计算即可求解； （3）根据（2）的结果求得，再分当或时，两种情况讨论，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵点是直线上的一动点，点的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， 当时，； 当时，； ∵， ∴， 当时， ∴或， 解得（舍去），或， 综上，，； （3）解：∵是线段上一动点， ∴，由（2）知，，， 作于点，    ∴，，， 当时，， 解得，此时， ∴； 当时，，解得， 此时， ∴； 综上，点坐标为或． 3．如图1，已知直线与坐标轴交于、两点，直线与轴交于点，且两直线交于点，点坐标为． (1)求出值． (2)如图2，连接，求出的面积． (3)在（2）的前提下，平面内是否存在一点，使得与面积相等？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． (4)如图3，已知点，点在轴的负半轴上运动，连接，与直线交于点，与直线交于点，当与面积相等时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 (4) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，坐标系中求三角形面积，已知三角形之间的面积关系求点的坐标，解题的关键是运用分类讨论思想． （1）把代入求出点坐标，把代入求出值即可； （2）根据两直线解析式分别求出点、、坐标，即可得出，根据，结合三角形面积公式即可得答案； （3）在点下方轴上取点，使，过点、分别作，，根据平行线间的距离相等得出、到的距离与点到的距离相等，根据两条平行线的值相等分别求出、的解析式，代入求出的值即可； （4）根据与面积相等得出，根据，，，，结合三角形面积公式求出点横坐标，代入即可得答案． 【详解】（1）解：∵点坐标为，点在直线上， ∴，即， ∵点在直线上， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴， ∴当时，，当时，， ∴，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴在点下方轴上取点，使， ∴ 过点、分别作，， ∴、，到的距离与点到的距离相等， ∴与面积相等， ∵，直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， 同理可得：直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 综上所述：存在点，使与面积相等，的值为或． （4）解：∵与面积相等， ∴，即， ∵，，，， ∴，即， ∵点在轴的负半轴上运动， ∴， 把代入得：， ∴． 4．点，在直线同一侧，如图，于点，于点，已知，，，为直线上的动点．设． (1)请用含的代数式表示______； (2)将图建立在直角坐标系中，如图，当为何值时，求的最小值是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，． 【分析】本题主要考查了勾股定理、一次函数的应用、轴对称最短路线问题． 利用勾股定理分别表示出、，然后再相加得到所需要的代数式； 利用轴对称的性质可得作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，建立坐标系求出直线的解析式，当时得到，代入中的代数式，求出的最小值． 【详解】（1）解：如下图所示， ，， ， 于点，， ， 于点，，， ， ； （2）解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时的值最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 此时． 5．小莉同学在一次数练习中曾经遇到了平面直角系中的折叠问题，张老师讲评完试卷后又让她尝试完成以下同类问题： (1)如图①，在平面直角坐标系中，点，B分别是坐标轴上的两点，当时，将沿边翻折得到，点O的对应点为C，则点C坐标为________； (2)如图②，长方形位于平面直角坐标系中，点，，分别位于两个坐标轴上，D是上一动点，将沿翻折得到，当F落在上时，试求所在直线的函数表达式． (3)如图③，四边形是工厂张师傅设计的某零件平面示意图一部分，P，D分别是，上两点，且，，，现准备在边上再确定一点Q，画出一条分割线，使得，若存在点Q，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由得到，根据，并结合勾股定理可求得，由翻折可得是等边三角形，过点C作于点D，根据“三线合一”与勾股定理即可求得点C的坐标； （2）由，，，得到，，，，根据长方形的性质与勾股定理求得，， ，设点D的坐标为，则，，根据勾股定理有，代入即可求出点D的坐标，进而根据待定系数法即可求出所在直线的函数表达式； （3）过点B作，交的延长线于点E，可得四边形是长方形，从而，，，根据勾股定理求得，进而得到，从而证得，得到，又证，得到，因此，根据面积公式求得，．连接，得到，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 过点C作于点D， ∴， ， ∴点C的坐标为． 故答案为： （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ，， ∴在中，， 设点D的坐标为，则，， 由翻折可得，，， ∴，， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴点， ∵四边形是长方形，，， ∴点， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴所在直线的函数表达式为． （3）解：过点B作，交的延长线于点E， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵，且与的高相等， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查图形与坐标，勾股定理，轴对称图形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定及性质，待定系数法求解析式，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，，面积为，点为线段上一点． (1)直接写出点、点坐标，点坐标为 　，点坐标为 　； (2)如图，当时，设长度为，用含有的式子表示． (3)如图，将线段绕点逆时针旋转得到，将线段绕点顺时针旋转得到，若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）利用面积为求出即可求解； （）在轴上截取，可得，设，得到，，即得，据此即可求解； （）过作轴于，由旋转的性质可得，，即得，进而可证，得到，，即得，再根据可得，利用待定系数法求出直线的解析式为，过作轴于，再证明，得到，，即得，最后把点坐标代入直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：（）∵面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵点坐标为， ∴， 在轴上截取， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过作轴于， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴ 解得 ∴直线的解析式为， 过作轴于， ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴的值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)，过程见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的新定义题型，读懂题意结合所学知识是解本题的关键． （1）由点 可得， ，再根据题意将点 到矩形的最短距离算出来， 若大小等于， 则符合题意，即可求解； （2）先求出正方形上任意两点之间的最大距离为 ， 再根据直线在坐标轴内平移，找出直线上关联点到正方形距离等于 时的临界点时的值即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：，符合题意； 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：， 符合题意， 故 是矩形的“关联点”， 故答案为，； （2）根据题意可得，正方形上任意两点之间的最大距离为 ， 根据题意画出临界点如图所示： 当直线经过点时，为最大值， 当直线经过时，为最小值， ， 当直线经过点时， ，解得， 当直线经过时， ， 解得 ， 所以取值范围为：． 8．给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知平面内一定点，若对于一点，有点与点关于点对称，即为线段的中点，则称点为点关于点的完美对称点．例如：若已知定点，则对于点，有，因为点与点关于点对称，则可得关于的完美对称点． (1)若定点，点，则关于点的完美对称点的坐标为______； (2)在（）的条件下，若点，在直线上有一点使得，求点的坐标； (3)已知定点，对任意的点关于定点的完美对称点为． ①的坐标为______， ②连接，若的最小值为，则的值为______． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② 【分析】（）根据定义可得，设，由是线段中点，利用中点公式得到，，据此即可求解； （）利用待定系数法求得直线的函数解析式为，设，可得，进而由可得，解方程即可求解； （）由题意可知，当轴时，的值最小，此时，，得到，由的最小值为得到，求出即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴，即， 设， ∵是线段中点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴或； （3）解：①∵点，点， ∴， 设， ∵点是线段中点， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②由题意可知，当轴时，的值最小， 此时，， ∴， ∵的最小值为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义对称点，中点坐标公式，一次函数的几何应用，解绝对值方程，理解新定义是解题的关键． 9．在平面直角坐标系，中，已知点，过点且垂直于x轴的直线记为直线，过点且垂直于y轴的直线记为直线．给出如下定义：将图形G关于直线对称得到图形，再将图形关于直线得到图形，则称图形是图形G关于点M的双对称图形．    (1)已知点M的坐标为，点关于点M的双对称图形点的坐标为______； (2)如图，的顶点坐标是，，． ①已知点M的坐标为，点，点，线段关于点M的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），求n的取值范围； ②已知点M的坐标为，直线l经过点且平行于第一三象限的角平分线，当关于点M的双对称图形与坐标轴有交点时，直线l上存在满足条件的双对称图形上的点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，“双对称图形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会性质特殊点解决问题，属于中考压轴题． （1）根据“双对称图形”的定义求解，由此即可解决问题． （2）①由关于点M的双对称图形，可得各顶点坐标为：，线段落在线段上时（不含端点），线段关于点M的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），结合图形求解即可； ②先求出，再利用图象法解决问题即可． 【详解】（1）解： 点M，点， 点关于直线对称点的坐标为，点关于直线对称点的坐标为， 点关于点M的双对称图形点的坐标为， 故答案为； （2）解：①如图，   的顶点坐标是，，．点M的坐标为， 关于点M的双对称图形各顶点坐标为：， 点，点， 结合图形可得出直线将于点，， 当线段落在线段上时（不含端点），线段关于点M的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边）， ， 解得， ②的顶点坐标是，，．且关于点的双对称图形， ， 当关于点M的双对称图形与坐标轴有交点时，直线l上存在满足条件的双对称图形上的点，如图，   如图，当与坐标轴有交点时，在与之间或在与之间， 同时这四条直线的斜率都为1；可设四条直线的解析式为：， ①当与坐标轴y轴的交点为时，此时，得，此时坐标为，代入解析式，解得； ②当与坐标轴y轴的交点为时，此时，得，此时坐标为，代入解析式，解得； ③当与坐标轴x轴的交点为时，此时，得，此时坐标为，代入解析式，解得； ④当与坐标轴x轴的交点为时，此时，得，此时坐标为，代入解析式，解得； 或 二、一次函数与生活实际问题 10．【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表： 价格p/（万元） 1 2 3 4 5 需求量/（万件） 22 20 18 16 14 求出与p的函数表达式； 任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______． 【答案】任务1：；任务2：达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元；任务3：． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，根据函数图象信息解决问题，理解题意构建方程是解答本题的关键． 任务1：设，找到两组表格数据，代入求解即可； 任务2：根据题意可知，当时，市场达到均衡，构建方程即可解决问题； 任务3：首先求出与p轴的交点，利用图象法即可求决问题． 【详解】解：任务1：设， 由表格可知，一次函数经过，两个点， ， 解得：， 关于的函数关系式为； 任务2：由题意得， 解得， 达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元； 任务3：当时，， 解得， 当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是． 11．项目化学习 项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 研究步骤：（1）取一桶桶装水，打开置于空气中； （2）逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； （3）数据分析，形成结论． 试验数据： 试验天数天 0 1 2 3 4 菌落总数 15 20 25 30 35 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)根据表中信息，求出菌落总数与试验天数之间的函数关系式； (2)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？ 【答案】(1) (2)桶装水最佳饮用时间是7天 【分析】题目主要考查一次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）设，利用待定系数法代入求解即可； （2）当时，代入求解即可． 【详解】（1）解：设． 当时， ． ， 将代入得：． 解得：， （2）解：当时，． 解得：． 桶装水最佳饮用时间是7天． 12．2024年10月27日，以“乐跑公园城市奋进创新之城”为主题的2024成都马拉松鸣枪起跑．来自全球的35000名选手从金沙遗址出发，一同体验“雪山下的公园城市、烟火里的幸福成都、奋进中的创新之城”的万千气象和独特魅力．经过激烈争夺，来自埃塞俄比亚的阿达内以2小时8分55秒的成绩夺得男子冠军，并刷新赛会纪录．甲、乙两名选手也参加了本次比赛，l1，l2分别表示在某段时间内甲、乙两名选手距离补给点A的距离与时间之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)谁先经过补给点A？早多少时间？ (2)在这段时间内，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过补给点A后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【答案】(1)甲先经过补给点A，早到0.5小时 (2)甲的速度：，乙的速度： (3)乙经过补给点A后或时间，甲乙两名选手相距 【分析】本题主要考查一次函数的应用和绝对值的应用，解题的关键是明白题目时间和距离补给点距离的关系， （1）根据图像已知数据即可判定谁先经过补给点，以及时间差； （2）结合图像中的数据和速度公式即可计算出甲乙二人的速度； （3）根据（2）中的数据和待定系数法即可求得各自的一次函数的解析式，结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得，甲先经过补给点A，早到0.5小时； （2）解：甲的速度：， 乙的速度：， （3）解：设直线的关系式为：， 由（2）得：， ∴直线的关系式为： ， 设直线的关系式为：， 由（2）得：， 又∵过点， ∴， 解得：， ∴直线的关系式为： 由题意得：，即 解得：或 ∴乙经过补给点A后或时间，甲乙两名选手相距． 13．综合与实践 问题情境：在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数，例如，在弹性限度内，弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加，当弹簧所受的外力过大时，会损坏它的弹性，使得弹簧被拉到最长且无法复原．某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究．    方案设计：“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量x（单位：），测量得到弹簧的长度y（单位：），且通过实验记录得到的数据如表所示： 砝码的质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧的长度 2 3 4 5 6 7 如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象．    问题解决： (1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________． (2)在弹性限度内，求弹簧的长度y与所挂砝码的质量x之间的关系式；当砝码的质量为时，求弹簧的长度． (3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过________． (4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象． 【答案】(1)砝码的质量 (2)，，， (3) (4)画图见解析 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是关键． （1）根据函数的定义可得自变量为砝码的质量； （2）根据表格信息，图象信息，判断函数的类型，再利用待定系数法求解函数解析式即可，再计算当时的函数值即可； （3）根据表格信息可得：在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过． （4）根据表格信息，描点画图即可． 【详解】（1）解：材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是砝码的质量， （2）解：由题意可得：当时，设， ∴， 解得：， ∴函数关系式为：， 当时，设函数为， ∴， 解得：， ∴函数关系式为：， 当时， ； 当时，， ∴当砝码的质量为时，弹簧的长度为． （3）解：由表格信息可得：在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过． （4）解：画图如下：    14．市区某中学八年级学生组队从学校到郊外秋游，一班学生组成前队速度为，二班学生组成后队速度，前队出发1小时后后队出发，后队的行进时间为．前、后队距学校的路程为y千米，y与x图象如下． (1)求后队追上前队的时间． (2)后队开始行进的同时派一名联络员骑自行车在两队之间进行联络，联络员的速度为，联络员从出发开始到第一次返回后队为止，联络员距学校的路程s千米． ①联络员追上前队时距离学校______千米 ②求联络员折返后与后队相遇过程中s与x的函数表达式． ③联络员从出发到折返与后队相遇的全过程中，他离前队的路程与他离后队的路程相等时，直接写出x的值．______ 【答案】(1)后队追到前队所用的时间的值是 (2)①联络员追上前队时距离学校千米；②；③或． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，列一次函数关系式，理解题意是解本题的关键； （1）设后队追上前队的时间为，再根据两队的路程关系建立方程求解即可； （2）①设联络员追上前队的时间小时，再根据两队的路程关系建立方程求解即可；②由联络员追上前队时距离学校千米，用时小时，可得，再求解的范围即可；③当联络员从出发后没追上前队时，由前队路程减去联络员路程等于联络员路程减去后队路程建立方程求解即可；当联络员从出发后追上前队返回时，由联络员返回路程等于两队路程的一半，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设后队追上前队的时间为， ∴， 解得：， 故后队追到前队所用的时间的值是； （2）解：①设联络员追上前队的时间小时，则 ， 解得：， ∴联络员追上前队时距离学校（千米）； ②∵联络员追上前队时距离学校千米，用时小时， ∴， 当与前队相遇时，， 解得：， ∴； ③设联络员从出发后没追上前队时，他离前队的路程与他离后队的路程相等， ∴， 解得：， 设联络员从出发后追上前队返回时，他离前队的路程与他离后队的路程相等， ∴， 解得：， 综上：当或时，他离前队的路程与他离后队的路程相等． 15．5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． (1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数(人)和时间x(分钟)之间的函数关系式； (2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ (3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 【答案】(1)； (2)第分钟后会开始拥堵 (3)举措有效，见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法分别求解即可； （2）设楼梯口的总人数为人，当时，则，据此列不等式计算即可求解； （3）学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，则，据此楼梯口的总人数为，画出图象，根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴； 当时，设直线的解析式为， 将和代入得，，解得， ∴； 综上，； （2）解：设楼梯口的总人数为人， 当时，， 令，则， 得， 答：第分钟后会开始拥堵； （3）解：学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，有效， 由题意得， 即， 楼梯口的总人数为， 即， 画出图象如图： 由图可知，总人数最多为65人，小于70人，故不会发生拥堵． 16．2023年12月27日南昌东站通车运营，南昌东站以“霞鹜齐飞，祥瑞绽放”为设计理念，展现出了新时代高铁客运枢纽的活力，东站通车后旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候安检．经调查发现，某天开始安检时，已有200人排队等候，此后每分钟又增加10位旅客排队安检，而一个安检门每分钟只能办理5位旅客的安检工作．此时间段内东站排队等候安检的人数（人）与车站开放后的时间（分钟）的关系如图所示，其中前分钟只开放了4个安检门． (1)求的值； (2)由于突发情况，要求在候检旅客在13分钟内（含13分钟）动态清零，如图中点所示，求在分钟后至少要增设多少个安检门． 【答案】(1)5 (2)至少要增设2个安检门 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并得到“等候安检的人数=原有排队人数+新增排队人数-办理安检的人数”是解题的关键． （1）根据“等候安检的人数=原有排队人数+新增排队人数-办理安检的人数”列关于m的方程并求解即可； （2）设在m分钟后增设a个安检门，当时实现动态清零，根据等候安检的人数为0列方程并求出t（关于a的代数式），令，求出a的取值范围并取其最小整数值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． （2）设在分钟后增设个安检门，当时实现动态清零． 根据题意，得， 将代入并整理，得， 解得， 当时，解得， 为整数， 在分钟后至少要增设2个安检门． 17．某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行器所在海拔高度（单位：）与上升时间（单位：）满足一次函数关系，部分数值如表： 上升时间(单位：） … 5 15 … 海拔高度（单位：） … 10 20 … 乙飞行器从海拔的高度，以的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态． (1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度（单位：）与上升时间(单位：）之间的函数关系式； (2)①求甲飞行器的初始高度； ②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明理由； (3)若甲飞行器因为电量不足，上升后，减速为继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，设两个飞行器的高度差为（单位：）．请直接写出：当，h最多为多少米？ 【答案】(1)甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为，乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为 (2)；能， (3)h最多为 【分析】（1）利用待定系数法求出甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式，根据”路程速度时间“求出乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式； ①将代入甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式，求出对应y的值即可； ②令两函数值相等并解方程求出x的值，再将x的值代入任一函数求出y的值即可； 求出当时，甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式，用绝对值将h表示出来，利用一次函数的增减性和x的取值范围求出h的最大值即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的关系及待定系数法求函数表达式、一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为 将和分别代入，得 解得， ∴； 根据题意，得乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为； ∴甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为，乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为 （2）解：①在中，当时，， ∴甲飞行器的初始高度是； ②在某时刻甲、乙两个飞行器能位于同一高度． 当甲、乙两个飞行器位于同一高度时，得，解得， ， ∴此时两个飞行器的高度为； （3）解：当时，甲飞行器所在位置的海拔高度， ∴当时，甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为， ∴ ∵当时，， ∴， ∵， ∴h随x的减小而增大， ∵， ∴当时，h最大，h最大， ∴h最多为． 18．温州某一企业原先一次性口罩和防雾霾口罩生产信息如表： 口罩类型 材料成本不含人工 出厂价 产量一人一天 一次性口罩 元个 元个 个 防雾霾口罩 元个 元个 个 已知该企业有名工人，工资每人每天元，该企业原来每天产量共个口罩． (1)求原先企业安排生产一次性口罩和防雾霾口罩各有多少人． (2)经一段时间运行，企业发现每天销售的防雾霾口罩，最多只能卖个，而一次性口罩可以全部销售，市场缺口较大，怎么安排生产口罩的人数可以使该企业每一天获得利润最大，最大利润是多少？（注：没有销售的口罩，作为库存暂时当做不赚不亏）． (3)在疫情期间，为了配合政府防疫工作，该厂“改为全部生产一次性口罩”，因为原材料价格暴涨，口罩的材料成本和出厂价分别变为元个和元个．一部分员工因为滞留在外，无法及时回来工作．所以该厂提高了剩余老员工的工资，也招募了几个新员工过来且老员工人数多于新员工，信息如表： 员工类型 每日工资 一次性口罩产量一人一天 老员工 元天 个 新员工 元天 个 要是该厂的利润达到元天求该厂留下来的老员工和招募的新员工人数． 【答案】(1)安排生产一次性口罩7人，则生产防雾霾口罩人； (2)当安排生产防雾霾口罩人，安排生产一次性口罩8人，总利润最大值为元； (3)该厂留下来的老员工和招募的新员工人数分别为6人，5人． 【分析】此考查了一次函数、一元一次方程、二元一次方程的实际应用． （1）设安排生产一次性口罩m人，则生产防雾霾口罩人，根据企业原来每天产量共个口罩列方程解方程即可； （2）设安排生产防雾霾口罩人，总利润为元，分和两种情况列出一次函数，根据一次函数的性质求出最值即可； （3）设该厂留下来的老员工和招募的新员工人数分别为a人，b人．该厂的利润达到元天，据此列出二元一次方程，根据题意求出答案即可． 【详解】（1）解：设安排生产一次性口罩m人，则生产防雾霾口罩人， 则， 解得 ∴ 答：安排生产一次性口罩7人，则生产防雾霾口罩人； （2）设安排生产防雾霾口罩人，总利润为元， 则当时， ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，，即y的最大值为， 当时， ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，，即y的最大值为， 综上可知，当安排生产防雾霾口罩人，安排生产一次性口罩8人，总利润最大值为元； （3）设该厂留下来的老员工和招募的新员工人数分别为a人，b人． 由题意可得，， ∴ ∵且均为正整数， ∴， 答：该厂留下来的老员工和招募的新员工人数分别为6人，5人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$