第三章 圆 单元试卷 2023--2024学年北师大版九年级数学下册

北师大版数学九下第三章　圆（含解析） 时间 90分钟　满分 100分　答案 D17 题号 一 二 三 总分 分数 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 1.(2023·山东潍坊潍城区期中)下列圆中既有圆心角又有圆周角的是(　　) A B C D 2.(2023·上海杨浦区期末)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若点A,B,C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的值可以是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 (第2题)　　(第3题)　 　(第4题) 3.如图,△ABC的外心的坐标是(　　) A.(-2,-1) B.(-1,-2) C.(-1,-1) D.无法确定 4.(2022·浙江金华模拟)如图,线段AB是☉O的直径,点C在圆上,∠AOC=60°,点P是线段AB延长线上的一点,连接PC,则∠APC的度数不可能是(　　) A.30°　 B.25°　 C.10°　 D.5° 5.(2023·江苏南京鼓楼区一模)将半径为5的☉O按如图方式折叠,折痕AB长为8,C为折叠后的中点,则OC的长为(　　) A.2 B. C.1 D. (第5题)　　(第6题)　　 (第7题) 6.(2023·湖北武汉青山区段考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,延长AD,BC,相交于点E,延长AB,DC,相交于点F.若∠E=∠F=40°,则∠A的度数为(　　) A.60° B.50° C.45° D.40° 7.(2023·湖北恩施期末)如图,在Rt△ABC中,∠CAB=36°,斜边AC与量角器的直径重合(点A的刻度为0°),将射线BF绕点B转动,与量角器的外圆弧交于点D,与AC交于点E,若△ABE是等腰三角形,则点D在量角器上对应的刻度为(　　) A.72° B.144° C.36° D.72°或144° 8.如图,已知☉O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM=2,则该圆的内接正三角形ACE的面积为(　　) A.2 B.4 C.4 D.6 (第8题)　　　(第9题)　　 　(第10题) 9.(2023·山东淄博临淄区期末)如图,在Rt△AOB中,OA=OB=4,☉O的半径为2,点P是AB边上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点),则线段PQ长的最小值为(　　) A.2 B. C.1 D.2 10.(2022·河北保定一模)如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=8,以CD为直径作☉O.将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A1B1CD1,使A1B1与☉O相切于点E,CB1与☉O相交于点F,则CF的长是(　　) A.3　 B.4 C.6　 D.8 二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分) 11.(2022·山东济南天桥区期末)如图,☉A,☉B,☉C两两相离,且半径都为2,则图中阴影部分的面积之和为　　　　.(结果保留π)  (第11题)　　(第12题)　 　(第13题) 12.(2023·江苏南京秦淮区期末)如图,A,B,C,D为一个正多边形相邻的4个顶点,∠ADB=15°,则这个正多边形的边数为　　　　.  13.(2022·福建三明模拟)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C都在格点上,点D在以AB为直径的圆上,则tan∠ADC=　　　　.  14.(2022·河北唐山期末改编)如图,△ABC内接于☉O,过点A作直线EF,已知∠B=∠EAC,根据弦AB的位置变化,试探究直线EF与☉O的位置关系. 甲:如图(1),当弦AB过点O时,EF与☉O相切. 乙:如图(2),当弦AB不过点O时,EF也与☉O相切. 你认为　　　　的判断正确.  (第14题)　　　　(第15题) 15.[中考创新题型|填空双空题](2023·浙江杭州西湖区一模)如图,☉O为锐角三角形ABC的外接圆,点D在上,AD交BO于点E,且满足∠AEB-∠BED=2∠BCD,连接AO,设∠BCD=α. (1)则∠BED=　　　　.(用含α的代数式表示)  (2)若AO∥BD,∠ADB=2∠BAD,则=　　　　.  三、解答题(共6小题,共55分) 16.(7分)[课标理念|关注数学文化]在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺(1尺=10寸),问径几何?”用现代语言表述:如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,AE=1寸,CD=10寸,求直径AB的长.请你解答这个问题. 17.(8分)[中考创新题型|创新作图题]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D. (1)求作☉O,使点O是AB上一点,且☉O经过B,D两点,分别交AB,BC于点E,F.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) (2)求证:☉O与AC相切于点D. 18.(8分)如图,AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,过点D作半圆O的切线DE,与AB的延长线相交于点E,连接OC,AD,∠DAB=22.5°. (1)求证:四边形COED是平行四边形. (2)当CD=2时,求阴影部分的周长. 19.(10分)(2023·安徽阜阳颍州区段考)如图,☉O为等边三角形ABC的外接圆,半径为2,点D在劣弧AB上运动(不与点A,B重合),连接DA,DB,DC. (1)求证:DC是∠ADB的平分线. (2)若将△ADC绕点C逆时针旋转60°得到△BHC,则四边形ADBC的面积S是线段CD的长x的函数吗?如果是,求出函数解析式,并写出x的取值范围;如果不是,请说明理由. 20.(10分)(2022·河南三模)定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.如图(1),AC为☉O的切线,A为切点,AB为☉O的一条弦,∠CAB即为弦切角. (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著.第三卷中命题32——弦切角定理的内容是“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角的度数.” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程. 已知:如图(2),AC为☉O的切线,A为切点,AB为☉O的一条弦,点D在☉O上,连接OA,OB,BD,AD. 求证:　　　　　　　　　　.  证明: (2)如图(3),AB为☉O的切线,A为切点,C是☉O上一动点,过点C作CD⊥AB于点D,CD交☉O于点E,连接OA,OE,OC,AE.若AD=10,AE=2,求CE的长. 图(1)图(2)图(3) 21.(12分)[中考创新题型|探究性试题]【问题呈现】阿基米德折弦定理:如图(1),AB和BC是☉O的两条弦(即折线ABC是☉O的一条折弦),BC>AB,M是的中点,则过点M向BC作垂线,垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的过程. 证明:如图(2),在CD上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG. ∵M是的中点,∴MA=MC.① ∵∠A=∠C,② ∴△MAB≌△MCG, ∴MB=MG. 又MD⊥BC,∴BD=DG, ∴CD=CG+DG=AB+BD,即CD=AB+BD. 根据证明过程,分别写出步骤①,②的理由: ①　　　　　 　　　　　　.②　　　 　　　　　　　　.  【理解运用】在图(1)中,若AB=4,BC=6,则BD=　　　　.  【变式探究】如图(3),AB,BC是☉O的两条弦,M是的中点,MD⊥BC于点D,请写出CD,DB,BA之间存在的数量关系:　　　　　　　　　　.  【实践应用】如图(4),△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,点D为圆周上一点,满足∠DAC=45°.若AB=6,☉O的半径为5,求AD的长. 　 图(1)　　　　 　图(2) 　 图(3)　　　　 　 图(4) 第三章　圆·B卷 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A A C B D C A C 11.2π 12.12 13. 14.甲、乙 15.(1)90°-α (2) 1.C 2.B　连接BD(图略),∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=90°,由勾股定理可得BD===5,由题意可知,3<r<5,因此只有B选项符合. 判断点和圆的位置关系的实质是判断点到圆心的距离与半径的大小关系. 3.A　如图,分别作边BC,AC的垂直平分线,相交于点P,则点P是△ABC的外心,由图可知P(-2,-1).故选A. 本题主要考查了三角形外心的确定方法.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.在网格中确定点的坐标要借助已知线段的特殊位置来求解. 4.A　 如图,连接CB,∵∠AOC=60°,∴∠ABC=∠AOC=30°.∵∠ABC是△PBC的一个外角,∴∠ABC>∠APC,∴∠APC的度数不可能是30°.故选A. 5.C　如图,延长OC交☉O于点D,交AB于点E,连接OA,OB,AC,BC,∵C为折叠后的中点,∴=,∴CA=CB.∵OA=OB,∴OC垂直平分AB,∴AE=BE=AB=4,在Rt△AOE中,OE===3,∴DE=OD-OE=5-3=2.∵沿AB折叠得到,CD⊥AB,∴点C和点D关于AB对称,∴CE=DE=2,∴OC=OE-CE=3-2=1. 6.B　在△ABE与△ADF中,∠A为公共角,且∠E=∠F,由三角形内角和定理可知,∠ABE=∠ADF.∵∠ABE与∠ADF是☉O的内接四边形ABCD的对角,∴∠ABE+∠ADF=180°,∴∠ABE=∠ADF=90°,∴∠A+∠E=90°,∴∠A=90°-∠E=50°.故选B. ∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠DCE=∠A.∵∠EDC=∠A+∠F=∠A+40°,∠EDC+∠DCE+∠E=180°,∴∠A+40°+∠A+40°=180°,∴∠A=50°. 7.D　如图,点O是AC的中点,连接DO,∵∠ABC=90°,AC与量角器的直径重合,∴点B在量角器外圆弧所在的圆上,∴∠AOD=2∠ABD.∵当△ABE是等腰三角形时,∠ABD=36°或72°,∴点D在量角器上对应的刻度为72°或144°. 8.C　如图,连接OC,OB,过点O作ON⊥CE于点N.∵多边形ABCDEF是正六边形,∴∠COB=60°.∵OC=OB,∴△COB是正三角形,∴∠OCM=60°,∴OC==.易得∠OCN=30°,∴ON=OC=,CN=2,∴CE=2CN=4,∴该圆的内接正三角形ACE的面积为3××4×=4.故选C. 9.A　如图,连接OQ.∵PQ是☉O的切线,∴OQ⊥PQ.根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2,∵OQ为定值,∴当OP的值最小时,PQ的值最小,∴当PO⊥AB时,线段PO最短.∵在Rt△AOB中,OA=OB=4,∴AB=OA=8.当PO⊥AB时,OP==4,∴PQ==2.故线段PQ长的最小值为2. 10.C　如图,连接OE,作OH⊥B1C于点H,∵A1B1与☉O相切于点E,∴∠OEB1=∠OHB1=90°,∵矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A1B1CD1,∴∠B1=∠B1CD1=90°,AB=CD=10,BC=B1C=AD=8,∴四边形OEB1H是矩形,OE=OD=OC=5,∴B1H=OE=5,∴CH=B1C-B1H=3,∴CF=2CH=6.故选C. 11.2π　∵∠A+∠B+∠C=180°,∴阴影部分的面积之和等于半径为2的半圆的面积,为2π. 12.12 如图,设正多边形的外接圆为☉O,连接OA,OB,∵∠ADB=15°,∴∠AOB=2∠ADB=30°.360°÷30°=12,∴这个正多边形的边数为12. 13.　由题图可知AC=3,BC=2.∵AB是圆的直径,∴∠ACB=90°.∵∠ADC=∠ABC,∴tan∠ADC=tan∠ABC==. 14.甲、乙　题图(1)中,∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°,∴∠B+∠CAB=90°.∵∠EAC=∠B,∴∠EAC+∠CAB=90°=∠BAE,∴EF⊥AB.∵OA是☉O的半径,∴EF是☉O的切线,故甲的判断正确.如图,作直径AM,连接CM,则∠ACM=90°,∠B=∠M.∵∠EAC=∠B,∴∠EAC=∠M.∵∠CAM+∠M=90°,∴∠CAM+∠EAC=90°=∠MAE,∴EF⊥AO.∵AO是☉O的半径,∴EF是☉O的切线,故乙的判断正确. 15.(1)90°-α　(2)　(1)∵∠AEB-∠BED=2∠BCD,∠BCD=α,∴∠AEB-∠BED=2α.∴∠AEB=2α+∠BED.∵∠AEB+∠BED=180°,∴2α+∠BED+∠BED=180°,∴∠BED=90°-α.(2)如图,连接OD,∵∠BCD=α,∴∠BOD=2∠BCD=2α.∵∠BAD=∠BCD=α,∴∠ADB=2∠BAD=2α.∵AO∥BD,∴∠ADB=∠OAD=2α.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO=2α,∴∠ODB=4α.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB=4α,∴4α+4α+2α=180°,∴α=18°,∴∠OAE=∠BOD=2α=36°,∴∠OBD=∠ODB=72°,∠BDE=36°,∴∠AEO=∠DEB=72°,∴∠AOE=∠AEO=72°,∴AE=AO.在△AEO与△OBD中, ∴△AEO≌△OBD(SAS).∴OE=BD.∵∠BDE=∠BOD=36°,∠DBE=∠OBD,∴△DBE∽△OBD,∴=,∴BD2=OB·BE=OB(OB-BD),∴BD=OB(负值舍去),∴=.∵OA∥BD,∴△DBE∽△AOE,∴===. 16.【解题思路】连接OC,由CD⊥AB,可求得CE的长,利用勾股定理列方程求出半径的长,从而求出直径AB的长. 【参考答案】连接OC(图略). ∵CD⊥AB,AB为☉O的直径,CD=10寸, ∴CE=DE=CD=5寸.(3分) 设OC=OA=x寸,则AB=2OA=2x寸,OE=(x-1)寸. 由勾股定理,得OE2+CE2=OC2,即(x-1)2+52=x2, 解得x=13, ∴AB=26寸,(5分) 故直径AB的长为26寸.(7分) 17.【参考答案】(1)所作☉O如图(1). (3分) 图(1)　　　　图(2) (2)证明:连接OD,如图(2). ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD. ∵OB=OD, ∴∠ABD=∠ODB, ∴∠CBD=∠ODB, ∴OD∥BC, ∴∠ODA=∠C=90°, ∴OD⊥AC. 又OD是☉O的半径, ∴☉O与AC相切于点D.(8分) 18.【参考答案】(1)证明:如图,连接OD. ∵DE是半圆O的切线, ∴OD⊥DE. 由圆周角定理,得∠DOE=2∠DAB=45°, ∴OE=OD. ∵CD∥AB, ∴∠ODC=∠DOE=45°. ∵OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC=45°, ∴∠COD=90°, ∴CD=OD, ∴CD=OE. ∵CD∥OE, ∴四边形COED是平行四边形.(5分) (2)由(1)知CD=OD,CD=OE,四边形COED为平行四边形, ∵CD=2, ∴DE=CO=OD=CD=2,OE=2, ∴BE=OE-OB=2-2,的长==, ∴阴影部分的周长=2+2-2+=2+.(8分) 19.【参考答案】(1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°. ∵∠ADC=∠ABC=60°,∠BDC=∠BAC=60°, ∴∠ADC=∠BDC, ∴DC是∠ADB的平分线.(4分) (2)四边形ADBC的面积S是线段CD的长x的函数. 如图,将△ADC绕点C逆时针旋转60°得到△BHC, 则CD=CH,∠DAC=∠HBC, ∵四边形ADBC是圆内接四边形, ∴∠DAC+∠DBC=180°, ∴∠DBC+∠HBC=180°, ∴D,B,H三点共线. ∵CD=CH,∠CDH=60°, ∴△DCH是等边三角形. ∵四边形ADBC的面积S=S△ADC+S△BDC=S△CDH=CD2, ∴S=x2(2<x≤4).(10分) 20.【解题思路】 (1)根据“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角的度数.”并结合图形写出求证部分,延长AO交☉O于点E,连接BE,根据圆周角定理的推论得到∠ABE=90°,进而得∠E+∠BAE=90°,根据切线的性质得到∠CAE=90°,进而∠CAB+∠BAE=90°,根据同角的余角相等得到结论;(2)连接AC,根据勾股定理求DE,根据弦切角定理得到∠DAE=∠DCA,证明△ADE∽△CDA可得结论. 【参考答案】 (1)求证:∠CAB=∠AOB=∠ADB.(2分) 证明:如图(1),延长AO交☉O于点E,连接BE. ∵AE是☉O的直径, ∴∠ABE=90°, ∴∠E+∠BAE=90°. ∵AC为☉O的切线, ∴∠CAE=90°, ∴∠CAB+∠BAE=90°, ∴∠CAB=∠E. ∵∠ADB=∠E=∠AOB, ∴∠CAB=∠AOB=∠ADB.(6分) 图(1)　　图(2) (2)如图(2),连接AC,∵CD⊥AB, ∴∠ADE=90°.(7分) ∵AD=10,AE=2, ∴DE== =4. ∵AB为☉O的切线, ∴∠DAE=∠DCA. ∵∠ADE=∠CDA, ∴△ADE∽△CDA, ∴=, ∵AD=10,DE=4, ∴=, ∴CE=21.(10分) 21.【参考答案】【问题呈现】①在同圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的弦相等 ②同弧所对的圆周角相等(4分) 【理解运用】1(6分) 解法提示:∵CD=AB+BD,∴CD=(AB+BC)=×(4+6)=5,∴BD=BC-CD=6-5=1. 【变式探究】DB=AB+CD(8分) 解法提示:如图(1),在DB上截取BG=BA,连接MA,MB,MC,MG. 图(1) ∵M是的中点,∴AM=MC,∠MBA=∠MBG. 又MB=MB,∴△MAB≌△MGB, ∴MA=MG,∴MC=MG. 又DM⊥BC,∴DC=DG, ∴AB+DC=BG+DG, 即DB=AB+CD. 【实践应用】∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°. ∵AB=6,☉O的半径为5,∴易得AC=8. (分类讨论思想)如图(2),当∠DAC=45°时,有两种情况: 图(2) ①当点D与点D1重合时,∠D1AC=45°,则D1是的中点. 过点D1作D1G1⊥AC于点G1,易得CG1+AB=AG1. ∴AG1=(AB+AC)=×(6+8)=7,∴AD1=AG1=7; ②当点D与点D2重合时,∠D2AC=45°,过点D2作D2G2⊥AC于点G2,同理易得CG2=AB+AG2, ∴CG2=(AB+AC)=7,∴AG2=1,∴AD2=AG2=. 综上,AD的长为7或.(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$