第二章 二次函数 单元测试-2024-2025学年北师大版数学九年级下册

北师大版数学九下第二章　二次函数（含解析） 时间 90分钟　满分 100分　答案 D08 题号 一 二 三 总分 分数 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 1.(2023·天津和平区期中)用配方法将二次函数y=x2-2x-4化为y=a(x-h)2+k的形式为(　　) A.y=(x-2)2-4 B.y=(x-1)2-3 C.y=(x-1)2-5 D.y=(x-2)2-6 2.[课标新增|二次函数和一元二次方程之间的关系](2023·浙江台州期末)二次函数y=ax2-bx-5的图象与x轴交于(1,0),(-3,0)两点,则关于x的方程ax2-bx=5的解为(　　) A.x=1或3 B.x=1或-5 C.x=-1或3 D.x=1或-3 3.(2023·广东梅州开学考试)若正方形的边长为6,边长增加x,面积增加y,则y关于x的函数表达式为(　　) A.y=(x+6)2 B.y=x2+62 C.y=x2+6x D.y=x2+12x 4.将二次函数y=x2的图象按照以下方式平移或翻折后经过点(2,0)的是(　　) A.向左平移2个单位长度 B.向上平移4个单位长度 C.向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.沿x轴翻折 5.(2023·陕西西安雁塔区四模)若二次函数y=x2-2x+a-2的图象经过第一、二、四象限,则a的取值范围是(　　) A.a≥2 B.a>2 C.a<3 D.2≤a<3 6.(2023·河北石家庄期末)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,并有以下结论:①函数图象与y轴正半轴相交;②当x<0时,y随x的增大而增大,则坐标系的原点O可能是(　　) A.点A B.点B C.点C D.点D 7.已知二次函数y=ax2-2ax+a+2(a>0),若-1≤x≤2时,函数的最大值与最小值的差为4,则a的值为(　　) A.1 B.-1 C.±1 D.无法确定 8.(2023·山东烟台期中)用总长为a米的材料做成如图(1)所示的矩形窗框,设窗框的宽为x米,窗框的面积为y米2,y关于x的函数图象如图(2),则a的值是(　　) 图(1)　　　　　　图(2) A.16 B.12 C.8 D.4 9.(2023·陕西咸阳秦都区二模)鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹,如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面,足球的飞行轨迹可看成抛物线.若把对应的抛物线的函数表达式设为y=ax2+bx+c(a≠0),画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列表如下: x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 -3 … 关于此函数下列说法不正确的是(　　) A.该函数图象开口向下 B.当x=2时,该函数有最大值 C.当x=0时,y=-3 D.若在该函数图象上有两点A(x1,-4),B(x2,-),则x1>x2 10.(2023·广东东莞一模)如图,△ABC是边长为4 cm的等边三角形,动点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿A→C→B运动,到达点B停止运动,过点P作PD⊥AB于点D,设运动时间为x(s),△ADP的面积为y(cm2),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是(　　) ABCD 二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分) 11.若y=(2-a)是二次函数,则a=　　　　.  12.(2023·湖北武汉蔡甸区期末)已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式-2m2+2m+2 023的值为　　　　.  13.(2023·安徽合肥庐阳区期中)若某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s(单位:米)关于滑行的时间t(单位:秒)的函数表达式是s=10t-0.25t2,则无人机着陆后滑行　　　秒才能停下来.  14.(2023·江苏常州模拟)在平面直角坐标系中,若点P的横坐标与纵坐标的和为零,则称点P为“零和点”.已知二次函数y=x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”,则m的值为　　　　.  15.(2023·安徽滁州一模)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-与y轴交于点A,点A关于x轴的对称点为点B. (1)点B的坐标为　　　　(用含a的代数式表示);  (2)已知点P(1,),Q(3,0),若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,则a的取值范围是　　　　　　　　.  三、解答题(共6小题,共55分) 16. (6分)(2022·山东淄博期末)已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(-3,0),(2,-5). (1)求二次函数的表达式; (2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上. 17.(8分)(2022·安徽安庆期中)某小区计划建一个矩形花圃,花圃的一边利用长为a米的墙,另外三边用总长为79米的篱笆围成,围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,并在BC边上留有一扇1米宽的门.设AD边的长为x米,矩形花圃的面积为S平方米. (1)求S与x之间的函数关系式;(不要求写出自变量x的取值范围) (2)若a=30,求S的最大值. 18.(10分)(2022·浙江金华兰溪模拟)如图,“爱心”图案是由抛物线y=-x2+k的一部分及其关于直线y=x的对称图形组成,点A,B是“爱心”图案与其对称轴的两个交点,点C,D,E,F是图案与坐标轴的交点,且点C的坐标为(-,0). (1)求k的值及DF的长; (2)求AB的长. 19.(10分)(2023·北京二模)某蔬菜批发基地为指导下一年的番茄销售,对历年的市场行情和供求情况进行了调查统计,得到番茄的售价x(单位:元/千克)与相应需求量y1(单位:吨)以及供给量y2(单位:吨)的几组数据如下表: 售价x/(元/千克) … 2 3 4 5 6 … 需求量y1/吨 … 9.5 8.875 8 6.875 5.5 … 供给量y2/吨 … 1 2 3 4 5 … (1)根据表中数据,供给量y2与售价x之间满足　　　　函数关系(填“一次”“二次”或“反比例”),它的函数表达式为　　　　　　　;需求量y1与售价x之间近似满足函数关系y1=ax2+c(a<0),它的函数表达式为　.  (2)在如图所示的平面直角坐标系中,画出(1)中所确定的函数的图象. (3)结合函数图象,解决问题(不用计算,直接写出结果):为使番茄的供需平衡(即供给量与需求量相等),售价应定为　　　　元/千克.(结果保留两位小数)  20.(10分)(2023·湖北武汉汉阳区模拟)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段,运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示),落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上,着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点,落地点超过K点越远,飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66 m,基准点K到起跳台的水平距离为75 m,高度为h m(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y=ax2+bx+c(a≠0). (1)c的值为　　　　.  (2)①若运动员落地点恰好到达K点,且此时a=-,b=,求基准点K的高度h; ②若a=-时,运动员落地点要超过K点,则b的取值范围为　　　　.  21.(11分)如图,已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=x2+bx+c经过点A,B,且与x轴交于另一点C. (1)求抛物线的解析式. (2)点P为抛物线上一点,且点P在直线AB的下方,设点P的横坐标为m. ①试求当m为何值时,△PAB的面积最大; ②当△PAB的面积最大时,过点P作x轴的垂线PD,垂足为D,则在直线PD上是否存在点Q,使△QBC为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 第二章　二次函数·B卷 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D C D B A B D B 11.-2 12.2 021 13.20 14.4 15.(1)(0,)　(2)≤a≤或-≤a≤- 1.C 2.D　∵二次函数y=ax2-bx-5的图象与x轴交于(1,0),(-3,0)两点,∴方程ax2-bx=5即ax2-bx-5=0的解为x=1或-3. 3.D　原边长为6的正方形面积为6×6=36,边长增加x后变为x+6,则面积为(x+6)2,∴y=(x+6)2-36=x2+12x. 4.C　向左平移2个单位长度,则平移后的表达式为y=(x+2)2,当x=2时,y=4,所以平移后的抛物线不经过点(2,0);向上平移4个单位长度,则平移后的表达式为y=x2+4,当x=2时,y=8,所以平移后的抛物线不经过点(2,0);向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,则平移后的表达式为y=(x-1)2-1,当x=2时,y=0,所以平移后的抛物线过点(2,0);沿x轴翻折后的表达式为y=-x2,当x=2时,y=-4,所以平移后的抛物线不经过点(2,0).故选C. 抛物线的平移规律 (1)将抛物线的表达式转化为顶点式y= a(x-h)2+k,确定其顶点坐标. (2)在原有函数的基础上,向右平移m个单位长度,则平移后的表达式为y=a(x-h-m)2+k;向左平移m个单位长度,则平移后的表达式为y=a(x-h+m)2+k;向上平移 n个单位长度,则平移后的表达式为y=a(x-h)2+k+n;向下平移 n个单位长度,则平移后的表达式为y=a(x-h)2+k-n. 5.D　∵二次函数y=x2-2x+a-2的图象经过第一、二、四象限,∴Δ=(-2)2-4(a-2)>0且a-2≥0,解得2≤a<3. 6.B 7.A　∵a>0,对称轴为直线x=-=1,∴当-1≤x≤2时,x=1时,y有最小值为2;x=-1时,y有最大值为4a+2,∴4a+2-2=4,解得a=1. 8.B　由图象可知,当x=2时,y最大,最大值为4,∴当x=2时,窗框的最大面积是4米2,∴另一边长为4÷2=2(米),∴材料总长a=3×2+3×2=12. 由题意得,矩形窗框的高度为米,∴y与x的函数关系式为y=x·=-x2+x.设抛物线的表达式为y=m(x-2)2+4,∵抛物线经过点(0,0),∴4m+4=0,∴m=-1,∴抛物线的表达式为y=-(x-2)2+4=-x2+4x,∴=4,解得a=12. 9.D　由表可知,y随x的增大先增大后减小,∴该函数图象开口向下,故A选项不符合题意.∵当x=1时,y=0;当x=3时,y=0,∴对称轴为直线x==2.∵开口向下,∴当x=2时,该函数有最大值,故B选项不符合题意.∵对称轴为直线x=2,当x=4时,y=-3,∴当x=0时,y=-3,故C选项不符合题意.在函数图象上有两点A(x1,-4),B(x2,-),当点A,B都在对称轴左侧时,x1<x2;当点A,B都在对称轴右侧时,x1>x2;当点A在对称轴左侧,点B在对称轴右侧时,x1<x2;当点A在对称轴右侧,点B在对称轴左侧时,x1>x2,故D选项符合题意. 10.B　由题意得AP=2x,当点P在A→C的过程中,AD=x,PD=x,如图(1)所示,则y=AD·PD=x·x=x2(0≤x≤2).当点P在C→B的过程中,BD=(8-2x)×=4-x,PD=(4-x),PC=2x-4,如图(2)所示,连接PA,则y=S△ABC-S△ACP-S△BDP=×4×2-×(2x-4)×2-×(4-x)×(4-x)=-x2+2x(2<x≤4). 图(1)　　　　　　图(2) 11.-2　由题意得a2-2=2且2-a≠0,解得a=-2. 12.2 021　将(m,0)代入y=x2-x-1,得m2-m-1=0,所以m2-m=1,则-2m2+2m+2 023=-2(m2-m)+2 023=-2+2 023=2 021. 13.20　s=10t-0.25t2=-0.25(t-20)2+100,即当无人机着陆后滑行20秒,无人机才能停下来. 14.4　由题意得点P在直线y=-x上,∴y=x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”时,方程x2+3x+m=-x有两个相等的实数解,∴Δ=b2-4ac=42-4m=0,解得m=4. 15.(1)(0,)　(2)≤a≤或-≤a≤-　(1)令x=0,得y=ax2-=-,∴点A(0,-).∵点A关于x轴的对称点为点B,∴点B(0,).(2)当a>0时,如图(1),当抛物线经过点P时,a-=,解得a=或a=- (舍去).当抛物线经过点Q时,9a-=0,解得a=或a=-(舍去),∴当≤a≤时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点.当a<0时,如图(2),当抛物线经过点P时,a-=,解得a=-或a=(舍去).当抛物线经过点Q时,9a-=0,解得a=-或a=(舍去),∴当-≤a≤-时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点.综上所述,≤a≤或-≤a≤-. 图(1)　　　图(2) 16.【参考答案】(1)把(-3,0),(2,-5)代入y=ax2+bx+3, 得 解得 则二次函数的表达式为y=-x2-2x+3.(4分) (2)当x=-2时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3, 即点P(-2,3)在这个二次函数的图象上.　(6分) 17.【参考答案】(1)AB边的长为=(40-x)(米), 根据题意得S=(40-x)x=-x2+40x,(3分) ∴S与x之间的函数关系式为S=-x2+40x.(4分) (2)由(1)知S=-x2+40x=-(x-40)2+800,(5分) ∵-<0, ∴当x≤40时,S随x的增大而增大. ∵x≤a,a=30, ∴当x=30时,S取得最大值,最大值为750.(8分) 18. 【参考答案】 (1)把C(-,0)的坐标代入y=-x2+k,得 0=-6+k, 解得k=6, ∴抛物线的表达式为y=-x2+6, ∴D(0,6), ∴OD=6. ∵C(-,0), ∴OC=, 由对称的性质知,OF=OC=, ∴DF=OD+OF=6+.(4分) (2)∵“爱心”图案是由抛物线y=-x2+6的一部分及其关于直线y=x的对称图形组成, ∴联立 解得或 ∴A(2,2),B(-3,-3).(6分) 如图,过点A作与y轴平行的直线,过点B作与x轴平行的直线,两直线交于点P, 由图可知,AP=yA-yB=5,BP=xA-xB=5, ∴AB==5.(10分) 19.【参考答案】(1)一次　y2=x-1　y1=-x2+10(4分) (2)函数的图象如图所示.(7分) (3)6.11(答案不唯一,或6.12等)(10分) 20.【参考答案】 (1)66(2分) (2)①∵a=-,b=,c=66, ∴y=-x2+x+66. 当x=75时,y=-×752+×75+66=21, ∴h的值为21.(6分) ②b>(10分) 解法提示: 方法一:∵a=-,c=66, ∴y=-x2+bx+66. 将x=75代入,得y=75b-. 运动员落地点要超过K点,则y=75b->21, 解得b>. 方法二:抛物线y=-x2+bx+66与①中抛物线y=-x2+x+66开口方向及开口大小都相同,且与y轴交于同一个点,所以只要满足抛物线y=-x2+bx+66的对称轴在抛物线y=-x2+x+66的对称轴的右侧,落地点就能超过K点. 由->-,得b>. 21. (1)求出点A,B的坐标→代入抛物线解析式→b,c (2)①过点P作PE⊥x轴→用含m的式子表示出PE→S△PAB=PE·OA→△PAB的面积最大时的m值 ②设Q(3,n)→用含n的式子表示出CQ2,BC2,BQ2 n→点Q的坐标 【参考答案】(1)对于直线y=x-3, 令x=0,得y=-3, 令y=0,得x=6, ∴A(6,0), B(0,-3).(2分) 将点A,B的坐标分别代入y=x2+bx+c, 得 解得 故抛物线的解析式为y=x2-x-3.(4分) (2)①由题易知P(m,m2-m-3). 如图,过点P作PE⊥x轴,交AB于点E, (5分) 则E(m,m-3),(6分) ∴PE=m-3-(m2-m-3)=-m2+2m, ∴S△PAB=PE×OA= ×(-m2+2m)×6=-(m-3)2+9.(8分) ∵点P在直线AB下方的抛物线上, ∴0<m<6, ∴当m=3时,△PAB的面积最大,最大值为9. (9分) ②存在,点Q的坐标为(3,)或(3,-).(11分) 解法提示:易得C(-,0). 结合①可知,点Q的横坐标为3, 设Q(3,n), 则CQ2=()2+n2,BC2=9+,BQ2=9+(n+3)2. (分类讨论思想)分以下三种情况讨论. a.当∠QCB=90°时,有CQ2+BC2=BQ2, 即()2+n2+9+=9+(n+3)2, 解得n=. b.当∠CBQ=90°时,有BC2+BQ2=CQ2, 即9++9+(n+3)2=()2+n2, 解得n=-. c.当∠CQB=90°时,有CQ2+BQ2=BC2, 即()2+n2+9+(n+3)2=9+, 该方程无解. 综上可知,点Q的坐标为(3,)或(3,-). 学科网（北京）股份有限公司 $$