7.1.1 条件概率 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

温故而知新——概率 古典概型的特点：①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等； 一般地，设试验E是古典概型， 样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点， 则定义事件A的概率. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 样本空间Ω样本点个数的方法有：列举，列表，树状图，利用计数原理 我们已经知道，对于同一试验中的两个事件A与B， 当事件A与B相互独立时，事件A与B同时发生的概率有P(AB)=P(A)P(B). 当事件A与B不相互独立时，如何表示事件A与B同时发生(即积事件AB)的概率呢？ 选修三《第七章 随机变量及其分布》 7.1.1 条件概率 人教A版(2019)选修第三册 2 问题分析 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示. 在班级里随机选择一个做代表. (1)选到男生的概率是多少？ (2)如果已知选到的是团员，那么选到的是 男生的概率是多少？ 解：（1）记事件B：“选到男生” n(B)=25 n(Ω)=45 记事件A：“选到团员” （2）此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率； “在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率： 在新的样本空间中，事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16 解：用b表示男孩，g表示女孩，则两个小孩的性别构成的样本空间Ω={bb, gg, bg, gb}，且所有样本点是等可能的.事件A：“选择的家庭中有女孩”，则A={ gg, bg, gb}， 事件B：“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则B={gg}. （1） （2） 注：若已知事件A发生，则A成为样本空间；此时，事件B包含的样本点数与事件AB包含的样本点数相同. 问题2：假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭. 随机选择一个家庭，那么： (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 设A, B为随机事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率： . 新知1：条件概率的计算公式 设A, B为随机事件，且P(A)>0， 则在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率： . ③直观意义 探究：在问题1和问题2中，都有，为什么？ 如果，那么事件与应满足什么条件？ 样本空间不同 故事件A与B相互独立. 若事件A与B相互独立， 直观上看A发生的条件下B发生的概率等于B发生的概率，说明A发生与否不影响B发生的概率，故事件A与B相互独立. 当事件A与B不相互独立时，如何表示事件A与B同时发生(即积事件AB)的概率呢？ 新知：条件概率的乘法公式 设A, B为随机事件，且P(A)>0， 则在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率： . ③直观意义 概率的乘法公式： 条件概率只是压小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0 ②若B和C互斥，则P(B∪C|A)= P(B|A)+ P(C|A) ③若和B互为对立事件，则P(|A)= 1－P(B|A) ①P(Ω|A)= 1 例题讲解 例1. 在5道题中有3道代数题和2道几何题，如果不放回地依次随机抽取2道题，求： (1)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率； (2)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； 解：（1）记事件A：第1次抽到代数题；事件B：第2次抽到几何题； 方法三：第1次抽到代数题的条件下，还剩2道代数题和2道几何题 例题讲解 例1. 在5道题中有3道代数题和2道几何题， 如果不放回地依次随机抽取2道题，求： (1)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率； (2)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； 解：（2）记事件A：第1次抽到代数题；事件B：第2次抽到几何题； (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)=1.( ) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于事件A，B同时发生.( ) (3)将一枚硬币任意抛掷两次，事件A={第一次出现正面}，事件B={第二次出现反面}，则P(B|A)=________. × × × 补充题 若已知事件A发生，则A成为样本空间；此时，事件B包含的样本点数与事件AB包含的样本点数相同. 例题讲解 例2. 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 目标：即研究3人中奖的概率是否相等. 析：记3张奖券为n1，n2，z，其中z表示中奖奖券； 记事件A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖； 样本空间Ω={zn1n2 ，zn2n1，n1zn2 ，n2zn1，n1n2z， n2n1z} A={zn1n2 ，zn2n1} B={n1zn2 ，n2zn1} C={n1n2z， n2n1z} 在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关. 例题讲解 例2. 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 目标：即研究3人中奖的概率是否相等. 例题讲解 例3. 已银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求： (1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； (2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率. 析：记事件Ai为“第i次按对密码”， 事件A为“不超过2次就按对”， (2)记事件B为“最后一位为偶数”， P48-1.设A⊆B，且P(A)=0.3，P(B)=0.6. 根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出P(B|A)和P(A|B)的值，再由条件概率公式进行验证. 练习巩固 A B [变式]已知某产品的合格率是，合格品中的一级品率是， 则这种产品的一级品率是_____. 事件A：产品为合格品； 事件B：产品为一级品； B A P48-2.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次随机抽1张，抽出的牌不再放回，已知第1次抽到A牌，求第2次也抽到A牌的概率. 事件A 事件B 法1：第1次抽到A牌的条件下，第2次有51张牌可选，其中有3张A牌， 法2： 练习巩固 P48-3.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球. 每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 求： (1)在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； (2)两次都摸到白球的概率. 练习巩固 事件A 事件B 法1：第1次摸到白球的条件下，第2次有9个球可选，其中有6个白球， 法2： 法1： 法2： 练习——条件概率及其性质 练习1.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 析：记A=“他在这次考试中已经通过”， B=“他获得优秀成绩”， C1=“他抽的6道题中只能答对4道题”， C3=“他抽的6道题全部答对”， C2=“他抽的6道题中只能答对5道题”， 练习——条件概率及其性质 练习2.有5瓶墨水，其中红色1瓶，蓝色、黑色各2瓶，某同学从中任取2瓶，若取得的2瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为(　　) A B 在条件“取得的2瓶中有一瓶是蓝色”下的样本空间为： L1H、L1B1、L1B2、L2H、L2B1、L2B2、L1L2 [改]有5瓶墨水，其中红色1瓶，蓝色、黑色各2瓶，某同学从中依次任取2瓶，若取到的第1次一瓶是蓝色的，则第2瓶是红色或黑色的概率为(　　) 设A, B为随机事件，且P(A)>0， 则在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记为 (1)求P(B|A)：. ② ③直观意义 (3)性质： ①概率的乘法公式： (2)求P(AB)： ②A,B相互独立： ③ 当堂小结 ②若B和C互斥，则P(B∪C|A)= P(B|A)+ P(C|A) ③若和B互为对立事件，则P(|A)= 1－P(B|A) $$